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高考数学微专题集专题22圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点4圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练(原卷版+解析)
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这是一份高考数学微专题集专题22圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点4圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知椭圆，已知双曲线，已知圆M，已知F1在C上等内容，欢迎下载使用。
微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练
(2023·河南·濮阳市油田第二高级中学模拟预测）
1．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．
(2023·山东青岛·二模）
2．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
(2023·全国·模拟预测）
3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
(2023·河南安阳·模拟预测）
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
(2023·重庆南开中学模拟预测）
5．已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①为定值；
②．
(2023·上海闵行·二模）
6．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.
(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
(2023·上海黄浦·二模）
7．已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．
(1)若点的纵坐标为，求的值；
(2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；
(3)证明：存在常数、，使得．
(2023·广东·华南师大附中三模）
8．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）
9．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．
(2023·江苏南通·模拟预测）
10．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
11．设双曲线1，其虚轴长为2，且离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A､B，在线段AB上取点M使得，证明：点M落在某一定直线上；
(3)在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围.
(2023·云南师大附中高三月考）
12．已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
（2023·全国·高三月考）
13．已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
14．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
(2023江苏·星海实验中学高二月考）
15．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
16．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.
（1）求的值；
（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.
18．已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切.
（1）求的值；
（2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上.
19．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
20．已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2），分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求，的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
22．如图，已知点，、为抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），满足.
（1）证明：的中点位于某定直线上；
（2）记内切圆、外接圆的半径分别为、，求的最小值.
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练
(2023·河南·濮阳市油田第二高级中学模拟预测）
1．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．
(2023·山东青岛·二模）
2．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
(2023·全国·模拟预测）
3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
(2023·河南安阳·模拟预测）
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
(2023·重庆南开中学模拟预测）
5．已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①为定值；
②．
(2023·上海闵行·二模）
6．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.
(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
(2023·上海黄浦·二模）
7．已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．
(1)若点的纵坐标为，求的值；
(2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；
(3)证明：存在常数、，使得．
(2023·广东·华南师大附中三模）
8．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）
9．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．
(2023·江苏南通·模拟预测）
10．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
11．设双曲线1，其虚轴长为2，且离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A､B，在线段AB上取点M使得，证明：点M落在某一定直线上；
(3)在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围.
(2023·云南师大附中高三月考）
12．已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
（2023·全国·高三月考）
13．已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
14．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
(2023江苏·星海实验中学高二月考）
15．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
16．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.
（1）求的值；
（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.
18．已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切.
（1）求的值；
（2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上.
19．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
20．已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2），分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求，的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
22．如图，已知点，、为抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），满足.
（1）证明：的中点位于某定直线上；
（2）记内切圆、外接圆的半径分别为、，求的最小值.
参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.
（1）
因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以；
又因为离心率，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为；
代入椭圆方程，可得，
由于直线l交椭圆C于P，Q两点，
所以整理解得,
设点，由于点P与点E关于原点对称，故,
；
因为，所以
故，结论得证.
2．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
分析：（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程.
(2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明.
（ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点.
（1）
解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.
（2）
（i）设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，由题知，
所以，所以，
同理，，
所以，是方程的两根，所以.
（ii）设，，设直线AB的方程为，
将代入得，
所以，①
，②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时AB过点P，舍去.
若，则直线，此时AB恒过点，
所以直线AB过定点.
3．(1)；
(2).
分析：（1）由求出b，再结合离心率列式计算a即可作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，再求出点P，Q的坐标，利用斜率坐标公式计算作答.
（1）
设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
4．(1)
(2)证明过程见解析
分析：（1）利用椭圆定义求轨迹方程；
（2）设出直线l为：，，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长，再求出AB中点，进而表达出AB的垂直平分线，求出P点坐标，得到的长，得到为定值.
（1）
由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，所以，
所以C的方程为
（2）
设直线l为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
AB中点坐标为，
所以AB的垂直平分线为，
令得：，
所以，，
【点睛】直线与椭圆结合问题，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，表达出弦长或面积，进而求解定值或取值范围等.
5．(1)
(2)条件选择见解析，证明见解析
分析：（1）根据已知条件可得出关于、的等式，化简后可得出曲线的方程；
（2）设、、，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证；在第二种情况下，设直线的方程为，由直线与圆相切结合韦达定理可得出.
选①，分析出，利用三角形相似可求得的值；
选②，分析可知，结合勾股定理可证得结论成立.
（1）
解：由题意知，两边平方整即得，
所以，曲线的方程为.
（2）
证明：设、、，
当时，，则不妨设点，则点或，
此时，则；
当时，设直线，
由直线与圆相切可得，即，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则
，
所以，，同理可得.
选①，由及可得，
则，所以，；
选②，出及可得：、、三点共线，则，
又，因此，.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析，定值为1
(3)4
分析：（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出；（2）利用点到直线距离公式得到，，结合∥，求出，结合第一问的结论证明出为定值1；（3）利用向量线性运算及点在直线的同侧得到，结合第二问得到，再用投影向量的知识得出，其中为的夹角），结合第一问结论得到
，利用基本不等式求出最值.
（1）
联立与得：，
由直线与椭圆有一个公共点可知：，
化简得：；
（2）
由题意得：，
因为，所以∥，故，
其中，，
所以，
为定值，该定值为1；
（3）
，
由题意得：点在直线的同侧，
所以，
，（其中为的夹角），
由此可知：，
当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4.
【点睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点.
7．(1)5
(2)，
(3)证明见解析
分析：（1）首先求出点的坐标，即可得到直线的方程，从而求出点坐标，即可得解；
（2）设点的坐标为，由，即可得到、，代入椭圆方程整理可得；
（3）当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴的交点为，点的坐标为．依题意可得又，再由距离公式求出，即可得到，从而求出、的值，再计算点在轴上时的情形，即可得证；
（1）
解：由题意，点的坐标为，将代入双曲线中，可得，所以，
不妨取的坐标为，
于是直线的方程为．
将代入直线的方程，得点的坐标为．
因此．
（2）
解：由题意，点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，由，，又、，
即，
所以，代入双曲线方程，得，整理得．
由，即，结合，解得或．
又，即，结合，解得．
因此，．
（3）
证明：点的坐标为．
当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为．
设直线与轴的交点为，点的坐标为．
，即．
．
由为线段与的交点，得点的坐标满足方程，即．
于是，又，故．
于是．
故存在常数、，使得．
当点在轴上时，，，，
所以，，即，
所以，即上述结论亦成立．
8．(1)
(2)①证明见解析 ；②存在；
分析：（1）利用几何知识可得，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求，，，利用韦达定理证明；②根据①结合题意求的坐标，代入双曲线方程运算求解．
（1）
∵，
∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC，则，
∴，
由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外），
，，则，
∴E的方程是．
（2）
①证明：由已知得，，满足，
设直线l方程为，，，
联立，得，
，，
，
同理，
∴
对，令，得，
∴，，
∴，
∴是定值．
②假设存在m的值，使
由①知，，
则，
∴，
直线QK的方程为，
令，
得；
直线l的斜率为1，直线l的方程为，
令，得；
∴，
∴，
代入，得，
整理得，，
解得，或（∵，舍去）
∴，存在m的值为，使．
9．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）数形结合，由双曲线定义可得；
（2）设直线方程分别解得E、F的坐标，然后可得直线EF方程，化简可证.
（1）
由题知，所以
由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程
（2）
设点由，
设直线DA与曲线另一个交点为E，直线DB与曲线另一个交点为F
（其中，，若等于，此时其中一条直线与其中一条渐近线平行，与曲线C只有一个交点．）
由直线DA：代入曲线C：得
得
由即
直线DB：代入曲线C：中将
，得
由
即
∴
∴EF：
即
故直线恒过一定点
10．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；
（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.
（1）
设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
11．(1)
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）由题意可得22b，e，又c2=a2﹣b2，解得b2=2，a2，即可求出双曲线的方程，
（2）设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1（3）由（2）可设点M的坐标为（x0，y0）且x0<3，x0，令点M到直线OP的距离为h，根据点到直线的距离和三角形的面积公式即可求出.
（1）
设双曲线1，其虚轴长为2，且离心率为，
∴22b，e，
∵c2=a2﹣b2，
∴b2=2，a2，
∴双曲线C的方程为.
（2）
设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1∵，
∴，则有，
即[6﹣(x1+x2)]x=3(x1+x2)﹣2x1x2，①
设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣3)，②
将②代入4x22中整理，得(4﹣k2)x2+(6k2﹣2k)x﹣(3k﹣1)2﹣2=0，
∴x1+x2，x1x2，代入①，
整理可得，得12x﹣3=k(x﹣3)，联立②消k得，12x﹣y﹣2=0
∴点M落在定直线12x﹣y﹣2=0上.
（3）
由（2）可设点M的坐标为（x0，y0）且x0<3，x0，
令点M到直线OP的距离为h，则h，
∵点M在线段AB上，当过点P动直线的斜率在（﹣2，2）之间时与双曲线两支有交点，
当k=﹣2，与12x﹣y﹣2=0，解得x，当k=2，与12x﹣y﹣2=0，解得x，
∴x0x0，
∴S△OPMOP•h，
∴△OPM面积的取值范围为（0，）.
12．(1)
(2)在，定直线为
分析：（1）由离心率得，从而，再把双曲线所过点的坐标代入可求得各双曲线方程；
（2）设，，直线，代入双曲线方程应用韦达定理得，写出两条切线方程，记，代入两个切线方程相加，并代入可得的一个关系式，相减又得一个关系式，两者结合消去参数可得，从而得出结论．
（1）
据题意，
则，，是双曲线上的一个点，则，
所以双曲线的方程为.
（2）
设，，直线，
联立直线与双曲线：
，，
由题知，切线，切线，
记，则
①+②得，
将代入得③；
①−②得，
由得④，联立③和④得，
故，又，所以，则，
故点的轨迹方程为，所以点在定直线上.
13．(1)
(2)或
(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析
分析：（1）根据题意，列出方程组，结合，求得的值，得出双曲线的标准方程，
（2）设，则，联立方程组，求得的坐标，即可求得直线的方程；
（3）设，得到，联立方程组，求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解．
（1）
由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为.
（2）
方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
（3）
方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
14．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）依题意可得，，再根据，即可求出，即可得解；
（2）设点，A，的坐标分别为，，，且，依题意可得，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入整理即可得解；
（1）
解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，
∴，，∵，
∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
解：设点，A，的坐标分别为，，，且，
∵，∴，
即，①
设直线的方程为，②
将②代入中整理，得，
∴，，代入①，
整理可得，得，联立②消得，
∴点落在某一定直线上．
15．(1)
(2)机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险
分析：（1）设机器鼠位置为点P，结合双曲线的定义求得点的轨迹方程，从而求得时机器鼠所在位置的坐标.
（2）先求得与平行的点轨迹对应图象的切线方程，结合两平行线间的距离公式作出判断.
（1）
设机器鼠位置为点P，由题意，，，
由题意可得，即，
可得点P的轨迹以A，B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支，
则点P的轨迹方程为C：，
时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为．
（2）
由题意知直线l：，设直线l的平行线的方程为，
联立，可得，
令，解得，
此时与双曲线的右支相切，∴，∴：．
此时l与的距离为，即机器鼠距离l的最小距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
16．（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到
，进而证明点恒在定直线上.
试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，
故双曲线的方程为；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，
则，，
，因此点的坐标为，
故直线的斜率，直线的斜率为，
因此直线与直线的斜率之积为，
由于点在双曲线上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，
设，则，即，
整理得，
由①③，②④得，，
将，，代入⑥得，⑦，
将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；
证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，
消去得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，
则有，
设点，由，得，
整理得，
将②③代入上式得，
整理得，④
因为点在直线上，所以，⑤
联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.
考点：1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理
17．（1）1；（2）证明见解析.
分析：（1）当直线过点且垂直于轴时，由知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得的值；
（2）设直线的方程，与抛物线方程联立，消去化简得关于的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线的方程，再根据垂直关系求出直线的方程，由此求得两直线的交点坐标，并判断点在定直线上．
【详解】（1）因为过，且当垂直于轴时，，
所以抛物线经过点，
代入抛物线方程，得，解得.
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，
设直线方程为：，，.
联立消去，得，
则，.
因为为中点，所以，
则直线方程为：.
因为直线过点且与垂直，则直线方程为：，
联立，解得即，所以，点在定直线上.
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题．
18．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）依题意设直线的方程为，解方程即得的值；
（2）依题意设，，根据四边形为平行四边形，求出，即得解.
【详解】（1）依题意设直线的方程为，
由已知得，圆的圆心，半径因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离.
即，解得或（舍去），
所以.
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，所以，
所以，设，则以为切点的切线的斜率为，
所以切线的方程为.
令，，即交轴于点坐标为.
四边形为平行四边形，所以，
所以，，
，
.
设点坐标为，则，
所以点在直线上.
【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查抛物线中的定直线问题 ，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题知，解方程即可得，，故椭圆的方程是.
（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线，的交点的坐标是.当直线斜率存在时，设直线方程为，，，进而联立方程结合韦达定理得，，直线的方程是，直线的方程是，进而计算得时的纵坐标，并证明其相等即可.
【详解】解：（1）因为，椭圆离心率为，
所以，解得，.
所以椭圆的方程是.
（2）①若直线的斜率不存在时，如图，
因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.
所以点的坐标是，点的坐标是.
所以直线的方程是，
直线的方程是.
所以直线，的交点的坐标是.
所以点在直线上.
②若直线的斜率存在时，如图.
设斜率为.所以直线的方程为.
联立方程组
消去，整理得.
显然.不妨设，，
所以，.
所以直线的方程是.
令，得.
直线的方程是.
令，得.
所以
分子
.
.
所以点在直线上.
【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设，，写出直线的方程是和直线的方程是，进而计算得时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.
20．（1）；（2）是，该定直线方程为.
分析：（1）根据椭圆的几何性质求出可得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到和，写出直线和的方程，联立直线和的方程，得到，结合和化简可得，从而可得点在定直线上.
【详解】（1）由题意得：，，则，，，
椭圆的标准方程为.
（2）由题知，，，，设，，
设直线的方程为，将其与联立，
消去并整理得，
由韦达定理得①，②，
联立①②得，
设直线方程为③，
直线方程为④，
联立③④得
，
则，解得，即点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：利用直线和的方程联立, 结合和化简求出交点的横坐标为定值是解题关键.
21．（1），；（2）直线恒在定直线上.
分析：（1）利用椭圆关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果；
（2）根据四点的位置关系可知，由此可得中，将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理形式，整理可求得，代入直线方程可知恒成立，由此可确定结论.
【详解】（1）以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭圆短轴的端点，
，解得：，.
（2）设，，，
，，
，即，
即，整理可得：，
设直线：，
联立直线与椭圆：，整理得：，
，，
在线段上，则，
点恒在定直线上.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，通过化简整理确定所求的定直线.
.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为，得到得到直线的斜率，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，可求得中点坐标得到答案；
（2）由正弦定理和面积公式得到外接圆半径，根据三角形面积得到内切圆的半径，作比值结合导数法求最值可得答案.
【详解】（1）由题意可知，过点作轴的平行线，如图所示，作为，
因为，所以，则直线的斜率为，
设直线的方程为，设点、，
联立，整理得，
所以，， ，
的中点，即，则在直线上；
（2）设、，则直线的斜率为，所以，
由抛物线的定义可得，，
，
，，
，
由正弦定理得，可得，
又由，
所以内切圆半径为，
所以，
将代入可得
可得，
令，由图形可得，则，
设，
则，
对于方程，，
所以，对任意的，，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以，函数在区间上单调递减，
，，所以，存在，使得，
即，则且，
当时，，，此时函数单调递减；
当时，，，此时函数单调递增.
所以，.
因此，的最小值为.
【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练
(2023·河南·濮阳市油田第二高级中学模拟预测）
1．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．
(2023·山东青岛·二模）
2．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
(2023·全国·模拟预测）
3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
(2023·河南安阳·模拟预测）
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
(2023·重庆南开中学模拟预测）
5．已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①为定值；
②．
(2023·上海闵行·二模）
6．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.
(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
(2023·上海黄浦·二模）
7．已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．
(1)若点的纵坐标为，求的值；
(2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；
(3)证明：存在常数、，使得．
(2023·广东·华南师大附中三模）
8．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）
9．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．
(2023·江苏南通·模拟预测）
10．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
11．设双曲线1，其虚轴长为2，且离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A､B，在线段AB上取点M使得，证明：点M落在某一定直线上；
(3)在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围.
(2023·云南师大附中高三月考）
12．已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
（2023·全国·高三月考）
13．已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
14．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
(2023江苏·星海实验中学高二月考）
15．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
16．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.
（1）求的值；
（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.
18．已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切.
（1）求的值；
（2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上.
19．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
20．已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2），分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求，的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
22．如图，已知点，、为抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），满足.
（1）证明：的中点位于某定直线上；
（2）记内切圆、外接圆的半径分别为、，求的最小值.
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练
(2023·河南·濮阳市油田第二高级中学模拟预测）
1．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．
(2023·山东青岛·二模）
2．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
(2023·全国·模拟预测）
3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
(2023·河南安阳·模拟预测）
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
(2023·重庆南开中学模拟预测）
5．已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①为定值；
②．
(2023·上海闵行·二模）
6．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.
(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
(2023·上海黄浦·二模）
7．已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．
(1)若点的纵坐标为，求的值；
(2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；
(3)证明：存在常数、，使得．
(2023·广东·华南师大附中三模）
8．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）
9．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．
(2023·江苏南通·模拟预测）
10．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
11．设双曲线1，其虚轴长为2，且离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A､B，在线段AB上取点M使得，证明：点M落在某一定直线上；
(3)在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围.
(2023·云南师大附中高三月考）
12．已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
（2023·全国·高三月考）
13．已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
14．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
(2023江苏·星海实验中学高二月考）
15．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
16．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.
（1）求的值；
（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.
18．已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切.
（1）求的值；
（2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上.
19．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
20．已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2），分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求，的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
22．如图，已知点，、为抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），满足.
（1）证明：的中点位于某定直线上；
（2）记内切圆、外接圆的半径分别为、，求的最小值.
参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.
（1）
因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以；
又因为离心率，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为；
代入椭圆方程，可得，
由于直线l交椭圆C于P，Q两点，
所以整理解得,
设点，由于点P与点E关于原点对称，故,
；
因为，所以
故，结论得证.
2．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
分析：（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程.
(2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明.
（ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点.
（1）
解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.
（2）
（i）设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，由题知，
所以，所以，
同理，，
所以，是方程的两根，所以.
（ii）设，，设直线AB的方程为，
将代入得，
所以，①
，②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时AB过点P，舍去.
若，则直线，此时AB恒过点，
所以直线AB过定点.
3．(1)；
(2).
分析：（1）由求出b，再结合离心率列式计算a即可作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，再求出点P，Q的坐标，利用斜率坐标公式计算作答.
（1）
设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
4．(1)
(2)证明过程见解析
分析：（1）利用椭圆定义求轨迹方程；
（2）设出直线l为：，，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长，再求出AB中点，进而表达出AB的垂直平分线，求出P点坐标，得到的长，得到为定值.
（1）
由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，所以，
所以C的方程为
（2）
设直线l为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
AB中点坐标为，
所以AB的垂直平分线为，
令得：，
所以，，
【点睛】直线与椭圆结合问题，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，表达出弦长或面积，进而求解定值或取值范围等.
5．(1)
(2)条件选择见解析，证明见解析
分析：（1）根据已知条件可得出关于、的等式，化简后可得出曲线的方程；
（2）设、、，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证；在第二种情况下，设直线的方程为，由直线与圆相切结合韦达定理可得出.
选①，分析出，利用三角形相似可求得的值；
选②，分析可知，结合勾股定理可证得结论成立.
（1）
解：由题意知，两边平方整即得，
所以，曲线的方程为.
（2）
证明：设、、，
当时，，则不妨设点，则点或，
此时，则；
当时，设直线，
由直线与圆相切可得，即，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则
，
所以，，同理可得.
选①，由及可得，
则，所以，；
选②，出及可得：、、三点共线，则，
又，因此，.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析，定值为1
(3)4
分析：（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出；（2）利用点到直线距离公式得到，，结合∥，求出，结合第一问的结论证明出为定值1；（3）利用向量线性运算及点在直线的同侧得到，结合第二问得到，再用投影向量的知识得出，其中为的夹角），结合第一问结论得到
，利用基本不等式求出最值.
（1）
联立与得：，
由直线与椭圆有一个公共点可知：，
化简得：；
（2）
由题意得：，
因为，所以∥，故，
其中，，
所以，
为定值，该定值为1；
（3）
，
由题意得：点在直线的同侧，
所以，
，（其中为的夹角），
由此可知：，
当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4.
【点睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点.
7．(1)5
(2)，
(3)证明见解析
分析：（1）首先求出点的坐标，即可得到直线的方程，从而求出点坐标，即可得解；
（2）设点的坐标为，由，即可得到、，代入椭圆方程整理可得；
（3）当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴的交点为，点的坐标为．依题意可得又，再由距离公式求出，即可得到，从而求出、的值，再计算点在轴上时的情形，即可得证；
（1）
解：由题意，点的坐标为，将代入双曲线中，可得，所以，
不妨取的坐标为，
于是直线的方程为．
将代入直线的方程，得点的坐标为．
因此．
（2）
解：由题意，点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，由，，又、，
即，
所以，代入双曲线方程，得，整理得．
由，即，结合，解得或．
又，即，结合，解得．
因此，．
（3）
证明：点的坐标为．
当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为．
设直线与轴的交点为，点的坐标为．
，即．
．
由为线段与的交点，得点的坐标满足方程，即．
于是，又，故．
于是．
故存在常数、，使得．
当点在轴上时，，，，
所以，，即，
所以，即上述结论亦成立．
8．(1)
(2)①证明见解析 ；②存在；
分析：（1）利用几何知识可得，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求，，，利用韦达定理证明；②根据①结合题意求的坐标，代入双曲线方程运算求解．
（1）
∵，
∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC，则，
∴，
由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外），
，，则，
∴E的方程是．
（2）
①证明：由已知得，，满足，
设直线l方程为，，，
联立，得，
，，
，
同理，
∴
对，令，得，
∴，，
∴，
∴是定值．
②假设存在m的值，使
由①知，，
则，
∴，
直线QK的方程为，
令，
得；
直线l的斜率为1，直线l的方程为，
令，得；
∴，
∴，
代入，得，
整理得，，
解得，或（∵，舍去）
∴，存在m的值为，使．
9．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）数形结合，由双曲线定义可得；
（2）设直线方程分别解得E、F的坐标，然后可得直线EF方程，化简可证.
（1）
由题知，所以
由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程
（2）
设点由，
设直线DA与曲线另一个交点为E，直线DB与曲线另一个交点为F
（其中，，若等于，此时其中一条直线与其中一条渐近线平行，与曲线C只有一个交点．）
由直线DA：代入曲线C：得
得
由即
直线DB：代入曲线C：中将
，得
由
即
∴
∴EF：
即
故直线恒过一定点
10．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；
（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.
（1）
设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
11．(1)
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）由题意可得22b，e，又c2=a2﹣b2，解得b2=2，a2，即可求出双曲线的方程，
（2）设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1
（1）
设双曲线1，其虚轴长为2，且离心率为，
∴22b，e，
∵c2=a2﹣b2，
∴b2=2，a2，
∴双曲线C的方程为.
（2）
设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1
∴，则有，
即[6﹣(x1+x2)]x=3(x1+x2)﹣2x1x2，①
设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣3)，②
将②代入4x22中整理，得(4﹣k2)x2+(6k2﹣2k)x﹣(3k﹣1)2﹣2=0，
∴x1+x2，x1x2，代入①，
整理可得，得12x﹣3=k(x﹣3)，联立②消k得，12x﹣y﹣2=0
∴点M落在定直线12x﹣y﹣2=0上.
（3）
由（2）可设点M的坐标为（x0，y0）且x0<3，x0，
令点M到直线OP的距离为h，则h，
∵点M在线段AB上，当过点P动直线的斜率在（﹣2，2）之间时与双曲线两支有交点，
当k=﹣2，与12x﹣y﹣2=0，解得x，当k=2，与12x﹣y﹣2=0，解得x，
∴x0x0，
∴S△OPMOP•h，
∴△OPM面积的取值范围为（0，）.
12．(1)
(2)在，定直线为
分析：（1）由离心率得，从而，再把双曲线所过点的坐标代入可求得各双曲线方程；
（2）设，，直线，代入双曲线方程应用韦达定理得，写出两条切线方程，记，代入两个切线方程相加，并代入可得的一个关系式，相减又得一个关系式，两者结合消去参数可得，从而得出结论．
（1）
据题意，
则，，是双曲线上的一个点，则，
所以双曲线的方程为.
（2）
设，，直线，
联立直线与双曲线：
，，
由题知，切线，切线，
记，则
①+②得，
将代入得③；
①−②得，
由得④，联立③和④得，
故，又，所以，则，
故点的轨迹方程为，所以点在定直线上.
13．(1)
(2)或
(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析
分析：（1）根据题意，列出方程组，结合，求得的值，得出双曲线的标准方程，
（2）设，则，联立方程组，求得的坐标，即可求得直线的方程；
（3）设，得到，联立方程组，求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解．
（1）
由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为.
（2）
方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
（3）
方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
14．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）依题意可得，，再根据，即可求出，即可得解；
（2）设点，A，的坐标分别为，，，且，依题意可得，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入整理即可得解；
（1）
解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，
∴，，∵，
∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
解：设点，A，的坐标分别为，，，且，
∵，∴，
即，①
设直线的方程为，②
将②代入中整理，得，
∴，，代入①，
整理可得，得，联立②消得，
∴点落在某一定直线上．
15．(1)
(2)机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险
分析：（1）设机器鼠位置为点P，结合双曲线的定义求得点的轨迹方程，从而求得时机器鼠所在位置的坐标.
（2）先求得与平行的点轨迹对应图象的切线方程，结合两平行线间的距离公式作出判断.
（1）
设机器鼠位置为点P，由题意，，，
由题意可得，即，
可得点P的轨迹以A，B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支，
则点P的轨迹方程为C：，
时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为．
（2）
由题意知直线l：，设直线l的平行线的方程为，
联立，可得，
令，解得，
此时与双曲线的右支相切，∴，∴：．
此时l与的距离为，即机器鼠距离l的最小距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
16．（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到
，进而证明点恒在定直线上.
试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，
故双曲线的方程为；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，
则，，
，因此点的坐标为，
故直线的斜率，直线的斜率为，
因此直线与直线的斜率之积为，
由于点在双曲线上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，
设，则，即，
整理得，
由①③，②④得，，
将，，代入⑥得，⑦，
将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；
证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，
消去得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，
则有，
设点，由，得，
整理得，
将②③代入上式得，
整理得，④
因为点在直线上，所以，⑤
联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.
考点：1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理
17．（1）1；（2）证明见解析.
分析：（1）当直线过点且垂直于轴时，由知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得的值；
（2）设直线的方程，与抛物线方程联立，消去化简得关于的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线的方程，再根据垂直关系求出直线的方程，由此求得两直线的交点坐标，并判断点在定直线上．
【详解】（1）因为过，且当垂直于轴时，，
所以抛物线经过点，
代入抛物线方程，得，解得.
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，
设直线方程为：，，.
联立消去，得，
则，.
因为为中点，所以，
则直线方程为：.
因为直线过点且与垂直，则直线方程为：，
联立，解得即，所以，点在定直线上.
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题．
18．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）依题意设直线的方程为，解方程即得的值；
（2）依题意设，，根据四边形为平行四边形，求出，即得解.
【详解】（1）依题意设直线的方程为，
由已知得，圆的圆心，半径因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离.
即，解得或（舍去），
所以.
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，所以，
所以，设，则以为切点的切线的斜率为，
所以切线的方程为.
令，，即交轴于点坐标为.
四边形为平行四边形，所以，
所以，，
，
.
设点坐标为，则，
所以点在直线上.
【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查抛物线中的定直线问题 ，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题知，解方程即可得，，故椭圆的方程是.
（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线，的交点的坐标是.当直线斜率存在时，设直线方程为，，，进而联立方程结合韦达定理得，，直线的方程是，直线的方程是，进而计算得时的纵坐标，并证明其相等即可.
【详解】解：（1）因为，椭圆离心率为，
所以，解得，.
所以椭圆的方程是.
（2）①若直线的斜率不存在时，如图，
因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.
所以点的坐标是，点的坐标是.
所以直线的方程是，
直线的方程是.
所以直线，的交点的坐标是.
所以点在直线上.
②若直线的斜率存在时，如图.
设斜率为.所以直线的方程为.
联立方程组
消去，整理得.
显然.不妨设，，
所以，.
所以直线的方程是.
令，得.
直线的方程是.
令，得.
所以
分子
.
.
所以点在直线上.
【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设，，写出直线的方程是和直线的方程是，进而计算得时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.
20．（1）；（2）是，该定直线方程为.
分析：（1）根据椭圆的几何性质求出可得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到和，写出直线和的方程，联立直线和的方程，得到，结合和化简可得，从而可得点在定直线上.
【详解】（1）由题意得：，，则，，，
椭圆的标准方程为.
（2）由题知，，，，设，，
设直线的方程为，将其与联立，
消去并整理得，
由韦达定理得①，②，
联立①②得，
设直线方程为③，
直线方程为④，
联立③④得
，
则，解得，即点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：利用直线和的方程联立, 结合和化简求出交点的横坐标为定值是解题关键.
21．（1），；（2）直线恒在定直线上.
分析：（1）利用椭圆关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果；
（2）根据四点的位置关系可知，由此可得中，将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理形式，整理可求得，代入直线方程可知恒成立，由此可确定结论.
【详解】（1）以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭圆短轴的端点，
，解得：，.
（2）设，，，
，，
，即，
即，整理可得：，
设直线：，
联立直线与椭圆：，整理得：，
，，
在线段上，则，
点恒在定直线上.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，通过化简整理确定所求的定直线.
.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为，得到得到直线的斜率，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，可求得中点坐标得到答案；
（2）由正弦定理和面积公式得到外接圆半径，根据三角形面积得到内切圆的半径，作比值结合导数法求最值可得答案.
【详解】（1）由题意可知，过点作轴的平行线，如图所示，作为，
因为，所以，则直线的斜率为，
设直线的方程为，设点、，
联立，整理得，
所以，， ，
的中点，即，则在直线上；
（2）设、，则直线的斜率为，所以，
由抛物线的定义可得，，
，
，，
，
由正弦定理得，可得，
又由，
所以内切圆半径为，
所以，
将代入可得
可得，
令，由图形可得，则，
设，
则，
对于方程，，
所以，对任意的，，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以，函数在区间上单调递减，
，，所以，存在，使得，
即，则且，
当时，，，此时函数单调递减；
当时，，，此时函数单调递增.
所以，.
因此，的最小值为.
【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
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