上海市交大附中附属嘉定德富中学2024-2025学年九年级上学期期中考数学卷

这是一份上海市交大附中附属嘉定德富中学2024-2025学年九年级上学期期中考数学卷，共9页。试卷主要包含了选择题；，填空题；，解答题；等内容，欢迎下载使用。
（考试时间；100分钟 满分150分）
考生注意；请将所有答案写在答题卡上，写在试卷上不计分
一、选择题；（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．在Rt△ABC中，，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式立的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列等式不成立的是（ ）
A．B．C．D．．
3．在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列四个选项中，能判定DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．长度为1的向量叫做单位向量；
B．如果，且，那么的方向与的方向相同；
C．如果是一个单位向量，是非零向量，；
D．如果，，其中是非零向量，那么
5．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表；
当时，自变量x的取值范围是（ ）
A．－1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜－1或x＞5D．x＜－1或x＞4
6．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，联结PM、PN、MN．以下是甲、乙两位同学得到的研究结果
（甲）当M为AC中点时，△ABC为等边三角形；
（乙）△PMN为等边三角形．
对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确乙错误B．甲错误乙正确C．甲、乙皆正确D．甲、乙皆错误
二、填空题；（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段a＝12cm，b＝6cm，如果b是a、c的比例中项，那么线段c等于______cm．
8．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的对应中线的比为______
9．在锐角△ABC中，锐角A的正切值是，如果将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的余弦值是______
10．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果AB＝2，AC＝5，那么的值是______
11．已知一个斜坡的坡比为，则坡角的度数为______
12．如果抛物线在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是______
13．如图，点D、E、F分别在△ABC边AB、AC、BC上，AD＝AB，AE＝AC，BF＝BC．若△ABC的面积是，那么△DEF的面积是______．
14．如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么a的值等于______
15．如图，△ABC中，点D、点E分别是AB、AC的中点，BE与CD交于点O．若∠ACO＝∠EBC，那么CD：BC的值是______
16．如图，在边长为1的正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．联结AC、BD相交于点O，那么△AOB的面积等于______
17．梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝45°，BC＝12，AC、BD相交于点O，，过点D作DE∥AB，交AC于点E．若△DOE是直角三角形，那么AD＝______
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．把△ABC绕点B逆时针旋转（旋转角小于180°）点A、C的对应点分别是A'、C'，射线CC'与AA'交于点E，若BA'∥CC'，则C'E＝______
三、解答题；（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：
20．（本题满分10分）
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，且EC＝AB，AC与BE交于点F．
（1）若，，请用，来表示、
（2）在原图中直接在图中作出在，方向上的分向量（不要求写作法，但要写出所作图中表示结论的向量）．
21．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BD＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AD＝2，AB＝3．
（1）求AO:CO的值；
（2）求∠ACD的正切值．
22．（本题满分10分）
如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为11.2米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为14.7米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且，求灯杆AB的长度．
23．（本题满分12分，每小题6分）
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且．
（1）求证；AE⊥CD；
（2）联结BF，如果点E是BC中点，求证；．
24．（本题满分12分，每小题4分）
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．联结CB交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点．
（1）联结AC、CD，若∠CED＝45°
①求抛物线解析式；
②线段BC上一点F，∠ACB＝∠FAB，联结FD，求tan∠FDE．
（2）平移抛物线，使新抛物线顶点D'在射线CD上，新抛物线与y轴交于点C'．若C'D平分∠CDE，且CD'＝2CC'，求新抛物线解析．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
△ABC中，BC＝12，D、E分别在AB、AC上，∠ACB＝∠ADE，联结DC，作∠MEN＝∠DCB交DC于M，交BC于N，EN交DC于O．
（1）如图1，AB＝AC，BD＝2AD，DC＝10．
①求∠DCB的正弦值；
②若DM：MO＝7：18，求DM
（2）如图2，∠MEN＝∠ABC＝45°，EC＝DE，联结MN，若四边形MNCE为梯形，请直接写出DM的长．

图1 图2
2024学年第一学期九年级数学期中检测 评分标准
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C
7．38．9．10．
11．30°12．a＜－213．414．2
15．16．17．818．
19．原式＝
20．（1）
（2）作图略
结论；每个方向上的分向量各1分
21．（1）过点D作DE⊥BC交BC于E，∵BD＝DC，DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，又∵∠ABC＝90°
∴∠ABC＝∠DEC，∴AB∥DE，又∵AB∥CD，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE
∵BD＝DC，DE⊥BC，∴BE＝EC＝BC；∴BC＝2AD，∵AD＝2，∴BC＝4，∵AD∥BC
∴AO：OC＝AD：BC，∴AD：BC＝
（2）过点D作DF⊥AC交AC于F，过点C作CG⊥AD交AD延长线于G
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，∴AC＝，又∵CG⊥BC；∴∠GCB＝90°，∴∠ABC＋∠GCB＝180°，∴CG∥AB，∵AG∥BC；∴四边形ABCG是平行四边形，∴CG＝AB＝3
又∵，∴
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，，∴
∴，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，
22．过点A作AQ⊥EC交EC于点Q，过点B作BP⊥AQ交AQ于P
设DQ＝x米，在Rt△AQD中，∠AGD＝90°，，米
在Rt△AQB中，∠AQB＝90°，，∴BQ＝AQ＝6x米，∵DE＝DQ＋QE，∴x＋6x＝14.7米；∴x＝2.1米，∴AQ＝12.6米，∵AQ⊥CE，BC⊥CE，∴∠BCE＝∠AQE＝90°，∴BC⊥AQ
∵BP⊥AQ，CE⊥AQ，；∴∠APB＝∠AQC＝90°，∴BP∥CE，∴四边形BCQP是平行四边形
∴PQ＝BC＝11.2米，∠CBP＝∠BPA＝90°，∴AP＝AQ－PQ＝12.6－11.2＝1.4米，在Rt△BPA中，∠BPA＝90°，∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝120°－90°＝30°，∴，∴AB＝2AP＝2.8米
答：灯杆AB的长度的是2.8米．
23．证明；（1）∵，∴，又∵∠ACB＝∠ECA＝90°，∴
∴∠ABC＝∠EAC，∵点D是AB的中点，∠ACB＝90°；∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠CAD
∵∠CAD＋∠ABC=90°，∴∠ACD＋∠EAC=90°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD，（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC＝90°，∴∠ACE＝∠EFC，又∵∠AEC＝∠CEF，∴，∴
∵点E是BC的中点，∴CE＝BE，∴，∵∠BEF＝∠AEB，∴
∴，∴，∵CD＝AB，∴AB＝2CD，∴
24．解：①对于抛物线，令x＝0，则y＝3
∴C的坐标为（0，3），∵∠CED＝∠BEF，∠CED＝45°，∴∠BEF＝45°
在Rt△BCO中，∠BOC＝90°，∴，∴，∴BO＝3
∴B的坐标为（3，0）
将B的坐标代入抛物线的解析式中；，解得：m＝2，所以抛物线的解析式为
②∵抛物线的解析式为，可得A（－1，0），B（3，0），D（1，4），∴AB＝4，BC＝
∵∠AFB＝∠CAB，∠FBA＝∠ABC，∴，∴，∴FB＝
设F（x，－x＋3），则FB＝，∴，解得：x＝
∴点F的坐标为，过点F作DE的垂线，垂足为H，则H的坐标为，所以FH＝．DH＝
在Rt△FHD，∠FHD＝90°，∴，
（2）如图所示
∵C'D平分∠CDE，∴∠CDC'＝∠EDC'，∵CC'∥DE，∴∠CC'D＝∠C'DE，∴∠C'DC＝∠CC'D
∴C'C＝CD，∵CD＝2CC'，∴CD'＝2CD，∴D是CD'的中点，∵原抛物线的解析式为
∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为，∴点D'的坐标为．
∴CD＝，∴新抛物线的解析式为，∴点C的坐标为
∴CC'＝，∵CC'＝CD，∴，解得；m＝（舍去负值）
所以新抛物线的解析式为
25．解（1）①分别过点D、E作BC的垂线，垂足为H、P
∴∠DHP＝∠DHB＝90°，∠EPH＝∠EPC＝90°，∴∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADE
∴，∴∠AED＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED
∴AD＝AE，∵DB＝AB－AD，EC＝AC－AE，∴BD＝CE，∴，∴DE∥BC
∴∠HDE＝∠DHB＝90°，在四边形DEHP中，∠DHP＝∠EPH＝∠HDE＝90°
∴四边形DEHP为矩形；∴DE＝HP，DH＝EP，∴DE∥BC，∴
∵BD＝2AD，∴，∴，∵BC＝12，∴DE＝4；∴HP＝4
在Rt△BHD与Rt△CPE中；∵BD＝CE，DH＝EP，所以（H.L）
∴BH＝CP，∵BH＋HP＋CP＝BC，∴CP＋4＋CP＝12，∴CP＝4，∴CH＝CP＋PH＝4＋4＝8
在Rt△DHC中，∵∠DHC＝90°，∴，∵CH＝8，CD＝10，∴DH＝6
在Rt△DHC中，∵∠DHC＝90°，∴
②过点O作DE的垂线，垂足为点F
∴∠DFO＝∠EFO＝90°，设DM＝7k，OM＝18k，∴DO＝DM＋OM＝25k，∵DE∥BC，∴∠DCB＝∠CDE，∵∠MEN＝∠DCB，∴∠MEO＝∠EDO，又∵∠EOM＝∠DOE，∴，∴，∴，∴OE＝，∵∠ODF＝∠DCB，sin∠DCB＝，∴sin∠ODF＝，
在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，∴sin∠ODF＝，∴OF＝OD·sin∠ODF＝15k，
在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，∴，∴
∵EF＝DE－DF，∴DF＝4－20k，在Rt△OEF中，∠OFE＝90°，∴
∴，解得：，当时，OD＝25k＝20＞10，舍去
∴，∴DM＝7k＝
（2）DM＝或x
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