2024-2025学年上海市同济大学附属嘉定实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市同济大学附属嘉定实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列线段中，能成比例的是
A．、、、B．、、、
C．、、、D．、、、
2．（4分）在中，，那么下列关系中，正确的是
A．B．C．D．
3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是
A．B．C．D．
4．（4分）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式能成立的是
A．B．C．D．
5．（4分）在△中，点、、分别在边、、上，联结、，如果，，且，那么的值是
A．B．C．D．
6．（4分）如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别联结、、，如果，那么下列结论正确的是
A．B．C．D．．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分，在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案）
7．（4分）如果，那么的值等于 ．
8．（4分）甲、乙两地的实际距离是35千米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离是 厘米．
9．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是 ．
10．（4分）已知点、，那么直线与轴夹角的正弦值是 ．
11．（4分）如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，若，则可表示为 ．
12．（4分）如图，与交于点，，若点是线段的中点，且．则的长等于 ．
13．（4分）在中，，，点、分别在边、上，且与相似，如果，那么线段的长是 ．
14．（4分）如图，在△中，点、分别在边，上，与相交于点，，如果，那么的值等于 ．
15．（4分）如图，正方形内接于△，，，如果△的面积是30，那么正方形的边长是 ．
16．（4分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，
，与交于点，连接，若，，则 ．
17．（4分）在△中，，，，点、分别是边、的中点，将△绕着点旋转，点、旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点时，线段的长为 ．
18．（4分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△是“中垂三角形”， 、、是中线，，，那么的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分0分，将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上）
19．计算：．
20．如图，与相交于点，，点在的延长线上，连接，若平分，，．
（1）求的长；
（2）设，，用含、的式子表示．
21．如图，在△中，点在边上，点、点在边上，且，．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的值．
22．如图，在中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求的正弦值．
23．如图，在中，是边上的高，点在边上，联结交于点，且，是的平分线，交于点，交于点．
求证：（1）；
（2）．
24．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图象与反比例函数图象相交于点和，点，是该反比例函数图象上的一个动点，连接，与轴的正半轴交于点．
（1）求一次函数解析式及△的面积；
（2）当时，求点到轴的距离；
（3）当与轴夹角与相等时，求的值．
25．如图，是边长为2的等边三角形，点与点分别位于直线的两侧，且，联结、，交直线于点．
（1）当时，求线段的长．
（2）过点作，垂足为点，直线交于点，
①当时，设，（其中表示的面积，表示的面积），求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
②当时，请直接写出线段的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂）
1．（4分）下列线段中，能成比例的是
A．、、、B．、、、
C．、、、D．、、、
解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有符合，，故选：．
2．（4分）在中，，那么下列关系中，正确的是
A．B．C．D．
解：，
，错误；错误；
，错误，
，
，正确，
故选：．
3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是
A．B．C．D．
解：、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
、计算正确，故本选项符合题意．
、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：．
4．（4分）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式能成立的是
A．B．C．D．
解：根据黄金分割定义可知：
是和的比例中项，
即，
．
故选：．
5．（4分）在△中，点、、分别在边、、上，联结、，如果，，且，那么的值是
A．B．C．D．
解：在△中，点、、分别在边、、上，，，，如图，
，
，
，
故选：．
6．（4分）如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别联结、、，如果，那么下列结论正确的是
A．B．C．D．．
解：，
，
，，
，
，
，
，
．
选项的结论正确．
，
，
，
显然与不一定相等，
与不一定相等，
与不一定平行，
，不一定正确，
与不一定相等，
不一定正确．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分，在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案）
7．（4分）如果，那么的值等于 3 ．
解：，
，
故
．
故答案为：3．
8．（4分）甲、乙两地的实际距离是35千米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离是 7 厘米．
解：35千米厘米，
在比例尺为的地图上甲乙两地的距离为：
（厘米），
故答案为：7．
9．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是 6 ．
解：，
，
，
，
解得：，
故答案为：6
10．（4分）已知点、，那么直线与轴夹角的正弦值是 ．
解：，
过作轴，交轴于点，则，
在△中，，
直线与轴夹角的正弦值，
故答案为：．
11．（4分）如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，若，则可表示为 ．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
故答案为；
12．（4分）如图，与交于点，，若点是线段的中点，且．则的长等于 ．
解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为．
13．（4分）在中，，，点、分别在边、上，且与相似，如果，那么线段的长是 8或 ．
解：如图
，
当，
，
即，
解得：，
当，
，
即，
解得：，
故答案为：8或
14．（4分）如图，在△中，点、分别在边，上，与相交于点，，如果，那么的值等于 ．
解：，△与△等高，
，
在△中，点、分别在边，上，，
，，
△△，
，
，
，
△△，
，
故答案为：．
15．（4分）如图，正方形内接于△，，，如果△的面积是30，那么正方形的边长是 ．
解：正方形内接于△，，如图，过点作于点，交于点，
，，，
△△，
，
，△的面积是30，
，
，
，
，四边形是矩形，
，
，
解得，
故答案为：．
16．（4分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，
，与交于点，连接，若，，则 ．
解：如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
在中，，，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，
，
在中，，
，，
在中，
，
在中，
，
，，
，
，
方法二：如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
在中，，，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，
，
在中，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
17．（4分）在△中，，，，点、分别是边、的中点，将△绕着点旋转，点、旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点时，线段的长为 或 ．
解：如图1，当时，
，，，点、分别是边、的中点，将△绕着点旋转，点、旋转后的对应点分别为点、，
，，，
，
，
，，，，
直线经过点，
，
，
根据题意，得，
，
，
△△，
，
，
解得；
如图2，根据题意，得，
，
，
△△，
，
，
解得；
故答案为：或．
18．（4分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△是“中垂三角形”， 、、是中线，，，那么的长为 或 ．
解：△为“中垂三角形”，即于点，
又，，
，
，
、分别是中线，连接，
是△的中位线，
，
，，
△△，
，
，
，
，
；
如图，当时，
同理可得，，，，
，
；
如果△是“中垂三角形”，设三条中线相交于，当时，取中点，连接，过作于，
为中点，
，
为中点，
，
又，
，
，，，
，
，这与垂线段最短相矛盾，
不存在；
综上，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，满分0分，将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上）
19．计算：．
解：原式
．
20．如图，与相交于点，，点在的延长线上，连接，若平分，，．
（1）求的长；
（2）设，，用含、的式子表示．
解：（1），
，，
平分，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
．
21．如图，在△中，点在边上，点、点在边上，且，．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的值．
【解答】（1）证明：在△中，，，
，
，
△△，
，
；
（2）解：，，
，，
，
，，
，，
，
，
△△，
．
22．如图，在中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求的正弦值．
解：（1）过作于，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
，
，
，，
，
，
．
23．如图，在中，是边上的高，点在边上，联结交于点，且，是的平分线，交于点，交于点．
求证：（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
是边上的高，
，和是直角三角形，
，
，
又，，．
，
；
（2）在和中，
，，
，
，即，
在和中
，．
，
是的平分线，
，即．
24．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图象与反比例函数图象相交于点和，点，是该反比例函数图象上的一个动点，连接，与轴的正半轴交于点．
（1）求一次函数解析式及△的面积；
（2）当时，求点到轴的距离；
（3）当与轴夹角与相等时，求的值．
解：（1）在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象相交于点和，
设反比例函数的解析式为，将点坐标代入得：
，
解得，
则反比例函数的解析式为．
当时，，
故点，
设一次函数解析式为，将点，点的坐标代入得：
，
解得，
故解析式为；．
设直线与轴的交点为，如图1，
则，
故，
．
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，如图2，
则，
故△△，
，
，，
，
解得，
故，
，
点到轴的距离为；
（3）过点作于点，如图3，
点和，
，，
，
，
点，是该反比例函数图象上的一个动点，
，，
过点作轴于点，
根据题意，得，
，
整理，得，（舍去），
，
解得（舍去），
．
25．如图，是边长为2的等边三角形，点与点分别位于直线的两侧，且，联结、，交直线于点．
（1）当时，求线段的长．
（2）过点作，垂足为点，直线交于点，
①当时，设，（其中表示的面积，表示的面积），求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
②当时，请直接写出线段的长．
解：（1）是等边三角形，
，．
，
，
，
，，，
．
过点作，垂足为点．
设，则．
在中，，
，，
，
在中，，
，
解得．
所以线段的长是．
（2）①设，则，．
，，
，
又，
，
，
又，
，
，
由（1）得在中，，，
，
．
②当时，
，则有，
整理得，
解得或（舍弃），
．
当时，同法可得
当时，，
整理得，
解得（舍弃）或1，
．