山东省济南市长清区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（解析版）

这是一份山东省济南市长清区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
2. 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的点的坐标为，即，
故选：B．
3. 若，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，，，，故A、B、C选项错误，D选项正确，
故选：D．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
在数轴上表示为
，
故选：B．
5. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，得，解得，
∴图象与x轴交点为
由图象可知时，图象在x轴上方，
∴．
故选D．
6. 若关于x的方程有增根，那么k的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：，
解得．
故选：D．
7. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得，当点B的对应的D恰好落在上时，的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵将绕点C顺时针旋转得，
∴，，
∴，故选：C．
8. 化简：的结果是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】原式
，
故选：B
9. 如图，在中，已知，．点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，点为的中点，
，，
，
，
，，
点的坐标为，
将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点，如图，作轴于点，
，
，
，
将是向右平移了2个单位长度，
点的对应点的坐标为．
故选：B．
10. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为( )
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF=AP，∠PAF=90°，
∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，
∴∠FAE=∠PAG，
在△AEF和△AGP中，
∴△AEF≌△AGP（SAS），
∴PG=EF=2，
∵BC=3，CE=2BE，
∴BE=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
，
∵AG=AE，∠GAE=90°，
∴，
在△GPE中，PE＞GE-PG，
∴PE的最小值为GE-PG=，
故选：B．
二、填空题
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】原式；
故答案为：．
12. 若分式有意义，则的值可以是_________．（写出一个即可）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】若分式有意义，则，
∴的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
13. 关于x的方程3x+a＝x﹣7的根是正数，则a的取值范围是_____．
【答案】a＜﹣7
【解析】3x+a=x-7
3x-x=-a-7
2x=-a-7
x=，
∵＞0，
∴a＜-7，
故答案为a＜-7
14. 一次生活常识知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，乐乐想要在这次竞赛中得分不低于90分，则他至少要答对的题数是_____．
【答案】13
【解析】设乐乐答对了道题，则答错或不答道题，
根据题意得：，解得：，
又为正整数，
的最小值为13，
他至少要答对的题数是13．故答案为：13．
15. 如图，在中，，，，将沿着方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为________．
【答案】12
【解析】三角形沿方向平移得到三角形，
，，，
阴影部分的周长为，
故答案为：12．
16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式______．
【答案】
【解析】作交于，过点作轴于，
一次函数的图象分别交，轴于点，，
，，
，，
，，
又，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
把代入得，，
解得，
，
设直线为，
，
，
直线的函数表达式为．
故答案为：．
三、解答题
17. 因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 解不等式组：并写出它的所有整数解．
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：
19. 计算：
解：
==
=
20. 解分式方程：
（1）；
（2）．
解：（1）两边都乘以，得，即
解得，经检验，是原方程的解，所以原方程的解为；
（2）两边都乘以，得，
去括号得，
移项得，解得，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），
B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）三角形形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，
即OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
22. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求长．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴；
∴；
∵，
∴，∴．
（2）解：连接，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴是等边三角形，
∴；
∵，，，
∴；
∴；
∴．
23. 如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求m，n的值；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标．
（1）解：把点代入得，，
∴，
把点代入得，，
解得；
（2）解：由图可得，当时，；
（3）解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，
把代入得，，
解得，
∴，
由对称的性质可得， ，，
∴，
∴当点A、P、B三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
把代入得，，∴．
24. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共24件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
（1）解：设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
．
答：甲种农机具一件需4.2万元，乙种农机具一件需3万元；
（2）解：设甲种农机具购买a件，则乙农机购买件，根据题意得：
，
解得：，
∵a为正整数，
∴甲种农机具最多能购买6件．
25. 【问题探究】
某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集：
首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究．
列表：
描点与连线：

（1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）若为该函数图象上不同的两点，则__________________；
（3）观察图象，当时，自变量的取值范围是__________________；
【拓展运用】
函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积．
【问题探究】
解：（1）填表如下：
描出各点，画出函数图象如下：

（2）当时，，
当时，，解得：或5，
∴；
故答案为：
（3）观察图象，当或时，，
即当时，自变量的取值范围是或；
故答案为：或
【拓展运用】
解：设两图象交于点A，B，直线交x轴于点C，
对于，
当时，，解得：，∴点，即，
当时，，
∴直线与y轴的交点为，
画出函数的图象草图如下：

对于，
当时，，解得：，
∴点，即，联立得：，
解得：或，∴点，
∴它与函数的图象所围成的图形面积等于
．
26. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．
（1）操作发现
如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空：
①线段与的位置关系是 ；
②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ．
（2）猜想论证
当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4）．若在射线上存在点F，使，请直接写出相应的的长
（1）解：①绕点旋转，点恰好落在边上，
，
，
是等边三角形，
，
又，
，
；
故答案为：；
②，，
，
，
根据等边三角形性质，的边、上的高相等，
的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即；
故答案为：；
（2）证明：是由绕点旋转得到，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即；
（3）解：如图，过点作，连接，
四边形是平行四边形，
，
是的平分线，
，
，
，四边形是菱形，
，且、上的高相等，
此时；，，
，
解得：；
过点作，连接，
，，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，，点是角平分线上一点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点也是所求的点，
，
综上，的长为或．
…
0
1
2
3
4
…
…
…
…
0
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2
3
4
…
…
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1
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…