2023-2024学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）如图，直线a∥b，直线c是截线，如果∠1＝60°，那么∠2等于（ ）
A．60°B．140°C．120°D．100°
3．（4分）已知甲型流感病毒直径约为0.000000081米，把0.000000081用科学记数法表示为（ ）
A．8.1×10﹣7B．8.1×10﹣8C．8.1×10﹣9D．﹣8.1×10﹣9
4．（4分）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，7cmB．2cm，5cm，8cm
C．4cm，4cm，9cmD．7cm，10cm，15cm
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（6m3﹣4m2+2m）÷2m＝3m2﹣2m
B．（a﹣3）2＝a2﹣9
C．（x﹣3）（﹣x﹣3）＝x2﹣9
D．（y﹣2）（y+1）＝y2﹣y﹣2
6．（4分）如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠BOD＝5∠AOC，则∠AOC的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．36°D．45°
7．（4分）如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C、结果送到B快递点的快递员先到．理由是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
8．（4分）如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB＝35°，∠CBD＝30°，那么∠DAB度数是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．85°
9．（4分）根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入m＝﹣2，n＝2，则输出y的值是（ ）
A．8B．6C．﹣6D．﹣8
10．（4分）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．例如：1+2+3+…+9+10简记为；（x+1）+（x+2）+（x+3）+…+（x+19）+（x+20）简记为；已知，则m+n+b的值是（ ）
A．6B．﹣6C．﹣11D．11
二、填空题（本题共6个小题，满分24分）
11．（4分）已知∠A＝20°，则∠A的余角的度数为 ．
12．（4分）（﹣2x3y）÷（2x2）＝ ．
13．（4分）如图，AE、BD相交于点C，∠A＝70°，∠B＝50°，则∠DCE的度数为 ．
14．（4分）如图，∠DAE＝100°，∠EAB＝65°，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠ABC的度数为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 ．
16．（4分）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．下列说法：①甲乙两地之间的路程为480km；②慢车的速度是60km/h；③出发6h，快慢两车第一次相遇；④快慢两车相距120km时，两车出发的时间为2h或，其中正确的有 .（填序号）
三、解答题（本题共10个小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）计算：．
18．（6分）计算：（2x+y）（2x﹣y）﹣y（x﹣y）．
19．（6分）如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，已知A、B、C都是格点请按以下要求作图．（注：下列求作的点均是格点）
（1）过点B作一条线段BD，使BD平行且等于AC；
（2）过点A作线段BC的垂线段AE；
（3）求△ABC的面积．
20．（8分）先化简，再求值：x（x+2y）﹣（x﹣1）2﹣2x，其中x＝2，y＝﹣1．
21．（8分）小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v米/分，所用时间为m分钟；第二阶段的平均速度为v米/分，所用时间为n分钟．
（1）第一阶段的路程为 米；第二阶段的路程为 米；（用含v，m或n的代数式表示）
（2）下山时，小明的平均速度保持为2v米/分，已知小明上山的路程和下山的路程相同，那么小明下山用了多长时间？
22．（8分）给下列推理补全过程和理由．
已知：如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，EF∥CD，∠1+∠2＝180°，∠GDB＝40°，求∠A的度数．
证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠1+ ＝180° （ ），
∵∠1+∠2＝180° （已知），
∴∠2＝ （ ），
∴AC∥ （ ），
∴∠A＝∠GDB（ ），
∵∠GDB＝40° （已知），
∴∠A＝40° （ ）．
23．（10分）如图所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8厘米，BD＝7厘米，CD＝3厘米，点E是BC上的一个动点，以2厘米/秒的速度由点B向点C运动．在点E的运动过程中，运动时间t（秒）变化时，△AED的面积y（厘米2）也随之变化．
（1）运动时间为 秒时，点E到达C点；
（2）当t由1秒变化到3秒时，△AED的面积y由 厘米2变化到 厘米2；
（3）求在点E的运动过程中，△AED的面积y（厘米2）与运动时间t（秒）之间的关系式．
24．（10分）王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到表中的数据：
（1）在这个问题中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）该轿车油箱的容量为 L，行驶200km时，油箱中的剩余油量为 L；将油箱加满油后，轿车最多能行驶 km；
（3）油箱剩余油量Q（L）与行驶的路程s（km）的关系式： ；
（4）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，王师傅离A地的距离S（km）与离开A地的时间t（h）之间的关系图象如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：
①A地与B地的路程是 km；王师傅中途有事停了 h；
②王师傅从A地到B地的平均速度是 km/h；
③王师傅到达B地后，继续开车到C地，到达C地时油箱中的剩余油量（中途不加油）为17L，请直接写出B、C两地之间的距离是 km．
25．（12分）（1）计算：（2a+b）（a+b）＝ ；
（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：
图2： ；
图3： ；
（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系：
做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：a2+b2＝c2．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即a2+b2＝c2．
（4）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度．
26．（12分）如图1，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB、CD上．
（1）在平行线AB、CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
探究：∠AEP，∠EPF，∠CFP之间满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间的一个动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图2，当点P在EF的左侧时，请求出∠AEP，∠EPF，∠CFP之间的数量关系．
②如图3，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠EPF，∠CFP满足的数量关系为 ；
（2）如图4，点P在EF的右侧时，∠BEP，∠DFP的角平分线相交于点P1，猜想∠EP1F与∠EPF的数量关系，并说明理由；
（3）如图5，在（2）的条件下，若∠BEP1与∠DFP1的角平分线交于点P2，∠BEP2与∠DFP2的角平分线交于点P3，以此类推，试写出∠EP2024F与∠EPF满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
2023-2024学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，满分40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【解答】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．
故选：B．
2．（4分）如图，直线a∥b，直线c是截线，如果∠1＝60°，那么∠2等于（ ）
A．60°B．140°C．120°D．100°
【分析】根据对顶角相等求出∠3，根据平行线性质得出∠2+∠3＝180°，代入求出即可．
【解答】解：
∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝120°，
故选：C．
3．（4分）已知甲型流感病毒直径约为0.000000081米，把0.000000081用科学记数法表示为（ ）
A．8.1×10﹣7B．8.1×10﹣8C．8.1×10﹣9D．﹣8.1×10﹣9
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000081＝8.1×10﹣8．
故选：B．
4．（4分）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，7cmB．2cm，5cm，8cm
C．4cm，4cm，9cmD．7cm，10cm，15cm
【分析】根据三角形三边之间的关系对各选项中的三条线段逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：∵3cm+4cm＝7cm，
∴选项A中的三条线段不能构成三角形，
故选项A不符合题意；
∵2cm+5cm＜8cm，
∴选项B中的三条线段不能构成三角形，
故选项B不符合题意；
∵4cm+4cm＜9cm，
∴选项C中的三条线段不能构成三角形，
故选项C不符合题意；
∵7cm+10cm＞15cm，
∴选项D中的三条线段能构成三角形，
故选项D符合题意．
故选：D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（6m3﹣4m2+2m）÷2m＝3m2﹣2m
B．（a﹣3）2＝a2﹣9
C．（x﹣3）（﹣x﹣3）＝x2﹣9
D．（y﹣2）（y+1）＝y2﹣y﹣2
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：（6m3﹣4m2+2m）÷2m＝3m2﹣2m+1，故选项A错误，不符合题意；
（a﹣3）2＝a2﹣6m+9，故选项B错误，不符合题意；
（x﹣3）（﹣x﹣3）＝﹣x2+6x﹣9，故选项C错误，不符合题意；
（y﹣2）（y+1）＝y2﹣y﹣2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
6．（4分）如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠BOD＝5∠AOC，则∠AOC的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．36°D．45°
【分析】先根据垂直定义得∠AOB＝90°，∠COD＝90°，再根据周角定义得∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC＝360°，据此得90°+5∠AOC+90°+∠AOC＝360°，由此可求出∠AOC的度数．
【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
又∵∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC＝360°，∠BOD＝5∠AOC，
∴90°+5∠AOC+90°+∠AOC＝360°，
∴∠AOC＝30°，
故选：B．
7．（4分）如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C、结果送到B快递点的快递员先到．理由是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
【分析】根据题意可直接进行求解．
【解答】解：由题意可知送到B快递点的快递员先到的理由是：垂线段最短；
故选：A．
8．（4分）如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB＝35°，∠CBD＝30°，那么∠DAB度数是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．85°
【分析】先根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAB＝35°，∠DAB＝∠CBA，然后计算出∠CBA＝65°，从而得到∠DAB的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△BAD，
∴∠DBA＝∠CAB＝35°，∠DAB＝∠CBA，
∴∠CBA＝∠DAB+∠CBD＝35°+30°＝65°，
∴∠DAB的度数是65°．
故选：B．
9．（4分）根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入m＝﹣2，n＝2，则输出y的值是（ ）
A．8B．6C．﹣6D．﹣8
【分析】先判断m与n的大小关系，然后代入适合的关系式计算即可．
【解答】解：∵﹣2＜2，
∴m＜n，
∴y＝﹣2n+m＝﹣2×2﹣2＝﹣6，
故选：C．
10．（4分）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．例如：1+2+3+…+9+10简记为；（x+1）+（x+2）+（x+3）+…+（x+19）+（x+20）简记为；已知，则m+n+b的值是（ ）
A．6B．﹣6C．﹣11D．11
【分析】根据所给的求和运算方式，将所给算式进行展开即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，
因为，
则x2项的系数为2，
所以此等式的右边只有两项，
故b＝3，
则（x﹣2）2+（x﹣3）2＝2x2﹣10x+13，
所以m＝﹣10，n＝13，
所以m+n+b＝﹣10+13+3＝6．
故选：A．
二、填空题（本题共6个小题，满分24分）
11．（4分）已知∠A＝20°，则∠A的余角的度数为 70° ．
【分析】根据和为90°的两个角互为余角，计算即可．
【解答】解：因为∠A＝20°，
所以∠A的余角的度数为90°﹣20°＝70°，
故答案为：70°．
12．（4分）（﹣2x3y）÷（2x2）＝ ﹣xy ．
【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（﹣2x3y）÷（2x2）＝﹣xy，
故答案为：﹣xy．
13．（4分）如图，AE、BD相交于点C，∠A＝70°，∠B＝50°，则∠DCE的度数为 60° ．
【分析】先根据三角形内角和定理可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE，∠A＝70°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°120°＝60，
∴∠DCE＝60°．
故答案为：60°．
14．（4分）如图，∠DAE＝100°，∠EAB＝65°，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠ABC的度数为 35° ．
【分析】利用基本作图得到∠ABC＝∠DAB，再计算出∠DAB＝42°，从而得到∠ABC的度数．
【解答】解：由作法得∠ABC＝∠DAB，
∵∠DAE＝100°，∠EAB＝65°，
∴∠DAB＝100°﹣65°＝35°，
∴∠ABC＝35°．
故答案为：35°．
15．（4分）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 18 ．
【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵BD为AC边上的中线，
∴AD＝DC，
∵△ABD的周长为15，
∴AB+BD+AD＝15，
∵AB＝5，
∴BD+AD＝10，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝8+10＝18，
故答案为：18．
16．（4分）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．下列说法：①甲乙两地之间的路程为480km；②慢车的速度是60km/h；③出发6h，快慢两车第一次相遇；④快慢两车相距120km时，两车出发的时间为2h或，其中正确的有 ①② .（填序号）
【分析】①观察图象即可判断；
②快车在OA段与BD段行驶的路程相等、速度相等，根据“时间＝路程÷速度”可知快速在这两段时间相等，从而求出D点坐标，进而求出E点坐标，根据“速度＝路程÷时间”求出慢车的速度；
③快车在开往乙地的途中与慢车第一次相遇，根据“快车与甲地的距离+慢车与乙地的距离＝甲乙两地的距离”列方程并求解即可；
④根据题意，作出慢车距甲发地的路程y（km）与所用的时x（h）的图象，利用待定系数法分别求出快车和慢车y与x的函数关系式，快慢两车相距120km时列绝对值方程并求解即可．
【解答】解：①由图象可知，甲乙两地之间的路程为480km，
∴①正确；
②∵快车在OA段与BD段行驶的路程相等、速度相等，
∴快车在OA段与BD段所用时间相等，均为5﹣1＝4（小时），
∵5+4＝9（小时），
∴点D的坐标为（9，0），
∵9﹣1＝8（小时），
∴点E的坐标为（8，480）．
480÷8＝60（km/h），
∴慢车的速度是60km/h，
∴②正确；
③快车的速度为480÷（5﹣1）＝120（km/h），
设出发t h，快慢两车第一次相遇，根据“快车与甲地的距离+慢车与乙地的距离＝甲乙两地的距离”，得120t+60t＝480，解得t＝，
∴出发h，快慢两车第一次相遇，
∴③不正确；
④如图，FG是慢车距甲发地的路程y（km）与所用的时x（h）的图象，各点的坐标为A（4，480），B（5，480），D（9，0），F（0，480），G（8，0）．
设FG的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标F（0，480）和G（8，0）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴FG的函数关系式为y＝﹣60x+480（0≤x≤8）．
设OA的函数关系式为y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．
将坐标A（4，480）代入y＝k1x，
得4k1＝480，
解得k1＝120，
∴OA的函数关系式为y＝120x（0≤x≤4）；
AB的函数关系式为y＝480（4＜x≤5）；
设BD的函数关系式为y＝k2x+b1（k2、b1为常数，且k2≠0）．
将坐标B（5，480）和D（9，0）代入y＝k2x+b1，
得，
解得，
∴BD的函数关系式为y＝﹣120x+1080（5＜x≤9）．
综上，快车的函数关系式为y＝．
当0≤x≤4时，快慢两车相距120km时，|﹣60x+480﹣120x|＝120，解得x＝2或x＝；
当4＜x≤5时，快慢两车相距120km时，|﹣60x+480﹣480|＝120，解得x＝2（不符合题意，舍去）；
当5＜x≤8时，快慢两车相距120km时，|﹣60x+480﹣（﹣120x+1080）|＝120，解得x＝8或x＝12（不符合题意，舍去）；
当8＜x≤9时，快慢两车相距120km时，|0﹣（﹣120x+1080）|＝120，解得x＝8（不符合题意，舍去）或x＝10（不符合题意，舍去）．
综上，快慢两车相距120km时，两车出发的时间为2h或h或8h．
∴④不正确．
综上，①②正确．
故答案为：①②．
三、解答题（本题共10个小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）计算：．
【分析】根据绝对值的性质，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质进行运算即可．
【解答】解：原式＝3+1×（﹣2）+4，
＝3+（﹣2）+4
＝5．
18．（6分）计算：（2x+y）（2x﹣y）﹣y（x﹣y）．
【分析】利用平方差公式及单项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣y2﹣xy+y2
＝4x2﹣xy．
19．（6分）如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，已知A、B、C都是格点请按以下要求作图．（注：下列求作的点均是格点）
（1）过点B作一条线段BD，使BD平行且等于AC；
（2）过点A作线段BC的垂线段AE；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据垂线段的定义画出图形；
（3）不三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求；
（2）如图线段AE即为所求；
（3）．
20．（8分）先化简，再求值：x（x+2y）﹣（x﹣1）2﹣2x，其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2+2xy﹣x2+2x﹣1﹣2x
＝2xy﹣1，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2×（﹣1）﹣1＝﹣4﹣1＝﹣5．
21．（8分）小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v米/分，所用时间为m分钟；第二阶段的平均速度为v米/分，所用时间为n分钟．
（1）第一阶段的路程为 mv 米；第二阶段的路程为 nv 米；（用含v，m或n的代数式表示）
（2）下山时，小明的平均速度保持为2v米/分，已知小明上山的路程和下山的路程相同，那么小明下山用了多长时间？
【分析】（1）由速度乘以时间可得答案；
（2）用路程除以平均速度可得答案．
【解答】解：（1）根据已知得，第一阶段的路程为mv米，第二阶段的路程为nv米；
故答案为：mv，nv；
（2）由（1）知，小明上山的路程和下山的路程都为（mv+nv）米，
∵（mv+nv）÷2v＝m+n＝（分），
∴小明下山用了分钟．
22．（8分）给下列推理补全过程和理由．
已知：如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，EF∥CD，∠1+∠2＝180°，∠GDB＝40°，求∠A的度数．
证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠1+ ∠ACD ＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠1+∠2＝180° （已知），
∴∠2＝ ∠ACD （ 同角的补角相等 ），
∴AC∥ DG （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠A＝∠GDB（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠GDB＝40° （已知），
∴∠A＝40° （ 等量代换 ）．
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵EF∥CD（已知）
∴∠1+∠ACD＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180° （已知），
∴∠2＝∠ACD（同角的补角相等），
∴AC∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠GDB（两直线平行，同位角相等），
∠GDB＝40° （已知）
∴∠A＝40° （等量代换）．
故答案为：∠ACD；两直线平行，同旁内角互补；∠ACD；同角的补角相等；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换．
23．（10分）如图所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8厘米，BD＝7厘米，CD＝3厘米，点E是BC上的一个动点，以2厘米/秒的速度由点B向点C运动．在点E的运动过程中，运动时间t（秒）变化时，△AED的面积y（厘米2）也随之变化．
（1）运动时间为 5 秒时，点E到达C点；
（2）当t由1秒变化到3秒时，△AED的面积y由 20 厘米2变化到 4 厘米2；
（3）求在点E的运动过程中，△AED的面积y（厘米2）与运动时间t（秒）之间的关系式．
【分析】（1）（7+3）÷2＝5（秒）；
（2）当t＝1秒时，△AED的面积y＝8（7﹣2×1）÷2＝20，当t＝3秒时，△AED的面积y＝8（7﹣2×3）÷2＝4；
（3）点E在BD上运动时，﹣8t；点E在DC上运动时，8．
【解答】解：（1）（7+3）÷2＝5（秒）；
故答案为：5；
（2）当t＝1秒时，△AED的面积y＝8（7﹣2×1）÷2＝20，
当t＝3秒时，△AED的面积y＝8（7﹣2×3）÷2＝4；
故答案为：20，4；
（3）点E在BD上运动时，﹣8t；
点E在DC上运动时，8．
24．（10分）王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到表中的数据：
（1）在这个问题中，自变量是 行驶的路程s ，因变量是 油箱剩余油量Q ；
（2）该轿车油箱的容量为 45 L，行驶200km时，油箱中的剩余油量为 25 L；将油箱加满油后，轿车最多能行驶 450 km；
（3）油箱剩余油量Q（L）与行驶的路程s（km）的关系式： Q＝45﹣0.1s ；
（4）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，王师傅离A地的距离S（km）与离开A地的时间t（h）之间的关系图象如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：
①A地与B地的路程是 120 km；王师傅中途有事停了 0.5 h；
②王师傅从A地到B地的平均速度是 60 km/h；
③王师傅到达B地后，继续开车到C地，到达C地时油箱中的剩余油量（中途不加油）为17L，请直接写出B、C两地之间的距离是 160 km．
【分析】（1）根据函数的相关概念结合实际问题求解；
（2）由表中的数据可得油箱中的剩余油量Q与行驶的路程s之间的关系式为Q＝﹣0.1s+45，再将Q＝0代入该函数关系式进行求解；
（3）由题意可得油箱中的剩余油量Q与行驶的路程s之间的关系式为Q＝﹣0.1s+45，
（4）①根据图象可得答案；
②根据图象得A地与B地的路程是120km，用时2小时，即可得答案；
③将Q＝17代入该函数关系式可得从A地到B地再到C地的路程，减去A地与B地的路程即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，该问题中的自变量是行驶的路程s，因变量是油箱剩余油量Q，
故答案为：行驶的路程s，油箱剩余油量Q；
（2）由题意得，轿车油箱的容量为45L，行驶200km时，油箱中的剩余油量为25L；
该车每公里耗油量为（45﹣35）÷100＝0.1（L），
∴油箱中的剩余油量Q与行驶的路程s之间的关系式为Q＝﹣0.1s+45，
将Q＝0代入得s＝450，
将油箱加满油后，轿车最多能行驶450km；
故答案为：45，25，450；
（3）由题意得，油箱剩余油量Q（L）与行驶的路程s（km）的关系式为Q＝﹣0.1s+45，
故答案为：Q＝﹣0.1s+45；
（4）①由图象得，A地与B地的路程是120km；王师傅中途有事停了0.5h；
②王师傅从A地到B地的平均速度是120÷2＝60（km/h）；
③将Q＝17代入Q＝﹣0.1s+45得，
17＝﹣0.1s+45，解得s＝280，
∵A地与B地的路程是120km，
∴B、C两地之间的距离是280﹣120＝160（km）．
故答案为：①120，0.5；②60；③160．
25．（12分）（1）计算：（2a+b）（a+b）＝ 2a2+3ab+b2 ；
（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：
图2： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ；
图3： （a+b ）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系：
做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：a2+b2＝c2．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即a2+b2＝c2．
（4）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据图形的两种面积计算方法即可得出的答案；
（3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出 ，然后化简即可求证；
（4）先求出AB＝5，再根据等面积法即可求得．
【解答】解：（1）原式＝2a2+2ab+ab+b2＝2a2+3ab+b2．
故答案为：2a2+3ab+b2．
（2）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
（a+b ）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（a+b ）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即 ，
化简，得 a2+b2＝c2．
（4）在 Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴由勾股定理得AB2＝AC2+BC2＝42+32＝25
∴AB＝5，
∵CD⊥AB，
∴，
∴．
26．（12分）如图1，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB、CD上．
（1）在平行线AB、CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
探究：∠AEP，∠EPF，∠CFP之间满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间的一个动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图2，当点P在EF的左侧时，请求出∠AEP，∠EPF，∠CFP之间的数量关系．
②如图3，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠EPF，∠CFP满足的数量关系为 ∠AEP+∠EPF+∠CFP＝360° ；
（2）如图4，点P在EF的右侧时，∠BEP，∠DFP的角平分线相交于点P1，猜想∠EP1F与∠EPF的数量关系，并说明理由；
（3）如图5，在（2）的条件下，若∠BEP1与∠DFP1的角平分线交于点P2，∠BEP2与∠DFP2的角平分线交于点P3，以此类推，试写出∠EP2024F与∠EPF满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【分析】（1）①过点P作PH∥AB，证AB∥PH∥CD，则∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP，由此可得∠AEP，∠EPF，∠CFP之间的数量关系；
②过点P作PK∥AB，证AB∥PK∥CD，则∠AEP+∠EPK＝180°，∠KPF+∠CFP＝180°，由此可得∠AEP，∠EPF，∠CFP之间的数量关系；
（2）根据角平分线定义得∠BEP＝2∠BEP1，∠DFP＝2∠DFP1，则∠BEP+∠DFP＝2（∠BEP1+∠DFP1），由（1）①得∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∠EP1F＝∠BEP1+∠DFP1，由此可得∠EP1F与∠EPF的数量关系
（3）由（2）可知∠EPF＝2∠EP1F，则∠EP1F＝∠EPF，同理：∠EP2F＝∠EP1F＝∠EPF，∠EP3F＝∠EP2F＝∠EPF，以此类推即可得出∠EP2024F与∠EPF满足怎样的数量关系．
【解答】解：（1）①过点P作PH∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥PH∥CD，
∴∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
即∠EPF＝∠AEP+∠CFP；
②∠AEP+∠EPF+∠CFP＝360°，理由如下：
过点P作PK∥AB，如图3所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥PK∥CD，
∴∠AEP+∠EPK＝180°，∠KPF+∠CFP＝180°，
∴∠AEP+∠EPK+∠KPF+∠CFP＝360°，
即∠AEP+∠EPF+∠CFP＝360°，
（2）∠EP1F与∠EPF的数量关系是∠EPF＝2∠EP1F，理由如下：
∵∠BEP，∠DFP的角平分线相交于点P1，
∴∠BEP＝2∠BEP1，∠DFP＝2∠DFP1，
∴∠BEP+∠DFP＝2（∠BEP1+∠DFP1），
由（1）①得：∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∠EP1F＝∠BEP1+∠DFP1，
∴∠EPF＝2∠EP1F；
（3）由（2）可知：∠EPF＝2∠EP1F，
∴∠EP1F＝∠EPF，
同理：∠EP2F＝∠EP1F＝∠EPF，∠EP3F＝∠EP2F＝∠EPF，
…，以此类推，．
行驶的路程s（km）
0
100
200
300
…
油箱剩余油量Q（L）
45
35
25
15
…
行驶的路程s（km）
0
100
200
300
…
油箱剩余油量Q（L）
45
35
25
15
…