山东省济南市章丘区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份山东省济南市章丘区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了 已知．下列不等式变形正确的是等内容，欢迎下载使用。
选择题部分
一．选择题
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2. 已知．下列不等式变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴变形错误，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴变形正确，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∴变形错误，故选项C不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴变形错误，选项D不符合题意．
故选：B．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从等式的左边到右边的变形是错误，是因式分解错误，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，
不等式两边同除以2得：，
将解集表示在数轴上，如图所示：

故选：D．
5. 如图，在中，，是的平分线，若，则点D到的距离是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】作，如图所示：
∵，是的平分线，
∴
∵，
∴
∴点D到的距离是：
故选：A
6. 如图，点A，B的坐标分别为(﹣2，1)，(0，﹣2)．若将线段AB平移至A1B1，且点A1，B1的坐标分别为(1，4)，(a，1)，则a的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】由点A，B的坐标分别为（-2，1），（0，-2）．若将线段AB平移至A1B1，且点A1，B1的坐标分别为（1，4），（a，1）知，线段AB向上平移了4-1=3个单位，线段AB向右平移了1-（-2）=3个单位，
则a=3，
故选：D．
7. 如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是中边上的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长为，
故选：B.
8. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9. 如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ）

A. 9.6B. 10C. 12D. 12.8
【答案】A
【解析】过点作于点，交于点，

由作图过程可知，为的平分线，
，
垂直平分，
，，．
当点与点重合，点于点重合时，，为最小值．
在中，由勾股定理得，，
，
，，
的最小值为9.6．
故选：A．
10. 对于任意实数p、q，定义一种运算：,如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组有2个整数解，
∴，
解得：，
故选：A．
非选择题部分
二．填空题
11. 因式分解：_____
【答案】
【解析】a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
12. 在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后点的坐标为______．
【答案】
【解析】点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得点的坐标，即，
故答案为：．
13. 如图，正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是_____．

【答案】
【解析】∵正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
由图象可知：不等式的解集是；
故答案为：．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________．

【答案】4
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，ADBE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于20，
∴AC•BE=20，即5BE=20，
∴BE=4，即平移距离等于4．
故答案为：4．
15. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为cm．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿交点在尺上准确读数为________cm
【答案】
【解析】如图，作于，于，
，
是等腰直角三角形，
cm，
cm，
，
cm，
在中，cm．
故答案为：．
16. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_________（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③④
【解析】，
，即，
又，，
，，故①正确；
，
，
，
设与相交于点，
，；故②正确；
过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
，，
，
又，
，
，，
故③正确，
同理，
，
，
，，
，
，
，
，故④正确．
故选：①②③④．
三．解答题
17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的所有正整数解有1，2，3．
18. 把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
19. 如图，是的角平分线，，求证：是等腰三角形．
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20. 如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西，该船以30海里时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．
解：为的外角，，，
，
，
，
，
在中，，
，
从到用的时间为小时分钟，
则当船继续航行，10时15分到达灯塔在正东方向．
21. 如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F．
（1）求证：；
（2）求的度数．
（1）证明：∵为等边三角形，，
在和中，
，．
（2）解：由（1）已证：，，
．
22. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）的形状为 三角形；
（2）把向右平移5个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的；
（3）画出绕点A顺时针旋转的，并写出点的坐标．
解：（1）由勾股定理得，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
（2）如图，即为所求．
（3）如图，即所求．
由图可得，点的坐标为．
23. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元．
（1）求，两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
（1）解：设种跳绳单价为元，种跳绳的单价为元．
由题意可得，
解得：，
答：种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元
（2）解：设购买型跳绳根．
班级计划购买，两型跳绳共48根
购买型跳绳根．
根据题意得：
解得：．
设购买跳绳所需费用为元，
则
即
，
随的增大而减小．
当时，取得最小值，最小值为（元）．
答：购买跳绳所需最少费用是元．
24. 先阅读以下材料，然后解答问题：


以上分解因式的方法称为分组分解法．
（1）请用分组分解法分解因式：
①
②
（2）拓展延伸
①若，求x，y的值；
②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？
（1）解：

；
②解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，，∴，
②
∵，，
∴，时，代数式有最小的值，最小的值是．此时，∴，，
即当，时，代数式有最小的值，最小的值是．
25. 如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知，，
，，
，
，
，，
，
，
，；
（3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．
26. 如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点．
（1）求B、C两点的坐标．
（2）若点是第一象限内的直线上的一个动点，则当点A运动到什么位置（求出点A 的坐标）时，的面积是3．
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令，得到，即；
令，得到，即；
（2）解：点是第一象限内的直线上，且，
由（1）知，
，
，
当时，，
；
（3）解：在（2）成立的情况下，x轴上存在点P，使是等腰三角形，
设，
，
，，，
分三种情况考虑：
当时，即，
解得：或，
点P的坐标为或；
当时，即，
整理得：，
解得：，
点P的坐标为；
当时，即，
即，
，
解得：（舍去，不符合题意）或，
点P的坐标为；
综上，P的坐标为或或或．