浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2的相反数为
A．B．C．D．
2．（3分）四个有理数，1，0，，其中最小的数是
A．1B．0C．D．
3．（3分）2022年全国教育事业统计主要结果发布，统计数据显示，全国共有各级各类学校有52.93万所，将52.93万用科学记数法表示应为
A．B．C．D．
4．（3分）下列有理数大小关系判断正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）实数在哪两个相邻的整数之间
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
6．（3分）下列说法正确的有
A．是整式B．是单项式C．不是整式D．是多项式
7．（3分）若，则的值为
A．2B．C．5D．8
8．（3分）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤．其中正确的是
A．①②③④B．①②③⑤C．①③⑤D．②③④
9．（3分）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是
A．B．C．D．
10．（3分）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有
①小长方形的较长边为；
②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；
④当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）单项式的系数是 ，次数是 ．
12．（3分）16的算术平方根是 ．
13．（3分）单项式与单项式是同类项，则 ．
14．（3分）已知与互为相反数，与互为倒数，且，则 ．
15．（3分）已知：，，若，则 ， ．
16．（3分）已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的是 （写出正确的序号）．
三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：17题14分，18-19每题6分，20-22每题8分，23题10分，24题12分．
17．（14分）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
18．（6分）先化简，再求值：，其中，．
19．（6分）已知的立方根是，的平方根是．
（1）求，的值．
（2）求的平方根．
20．（8分）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）．
（1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？
（2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？
（3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元箱，那么该果农本周总共收入多少元？
21．（8分）已知，为有理数，如果规定一种运算“”，即，试根据这种运算完成下列各题．
（1）求；
（2）求；
（3）任意选择两个有理数，，分别计算和，并比较两个运算结果，你有何发现？
22．（8分）如图1所示的是一个长为，宽是的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个同等大小的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积．
方法一： ；
方法二： ．
（3）观察图2，你能写出，，这三个代数式之间的数量关系吗？
（4）当，求阴影部分的面积．
23．（10分）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若，则 ；
（2）已知，，求代数式的值；
（3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值．
24．（12分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
，即，
的整数部分是2，小数部分为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，求的值．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题；本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目．
1．（3分）2的相反数为
A．B．C．D．
【分析】由相反数的定义可知：2的相反数是．
【解答】解：2的相反数是，
故选：．
【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）四个有理数，1，0，，其中最小的数是
A．1B．0C．D．
【分析】根据有理数的大小比较，即可求解．
【解答】解：，
最小的数为，
故选：．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键．
3．（3分）2022年全国教育事业统计主要结果发布，统计数据显示，全国共有各级各类学校有52.93万所，将52.93万用科学记数法表示应为
A．B．C．D．
【分析】根据科学记数法的表示为的形式，其中，为整数，求解即可．
【解答】解：52.93万，
故选：．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示为的形式是解题关键．
4．（3分）下列有理数大小关系判断正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据有理数比较大小的方法：化简后比较即可．
【解答】解：、，，所以；
、；
、；
、．
所以选．
【点评】比较两个有理数的大小时，需先化简，再比较．有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．
5．（3分）实数在哪两个相邻的整数之间
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
【解答】解：，
，
即，
故选：．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
6．（3分）下列说法正确的有
A．是整式B．是单项式C．不是整式D．是多项式
【分析】根据整式包括单项式和多项式逐项分析判断即可．
【解答】解：、是整式，原说法正确，符合题意；
、是多项式，原说法错误，不符合题意；
、是整式，原说法错误，不符合题意；
、是分式，原说法错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了多项式、整式、单项式，熟练掌握相关概念是关键．
7．（3分）若，则的值为
A．2B．C．5D．8
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，再代入进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得，，，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了偶次方的非负数的性质，绝对值的非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
8．（3分）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤．其中正确的是
A．①②③④B．①②③⑤C．①③⑤D．②③④
【分析】根据图示，可得，，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得，，
（1），故正确；
（2），故正确；
（3），故正确；
（4），故错误；
（5），故正确．
正确的是①②③⑤．
故选：．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、的取值范围．
9．（3分）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是
A．B．C．D．
【分析】根据题目中的例子，可以设，然后可以得到，然后作差整理即可得到所求式子的值．
【解答】解：设，
则，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
10．（3分）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有
①小长方形的较长边为；
②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；
③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；
④当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用图形求得阴影，的长与宽，利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：小长方形的较短的边长为，
阴影的较长边为，较短边为；
阴影的较长边为．
阴影的较长边与小长方形的较长边相等，
小长方形的较长边为：．小长方形的较短边为：．
①正确；
阴影的较短边和阴影的较短边之和为：
．
②错误；
阴影和阴影的周长和为：
，
若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值．
③正确；
阴影和阴影的面积和为：
，
当时，
，
当时，阴影和阴影的面积和为定值．
④正确．
综上，正确的结论有：①③④，
故选：．
【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影，的长与宽是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）单项式的系数是 ，次数是 ．
【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．
【解答】解：单项式的系数是，次数是3．
故答案为：，3．
【点评】本题考查了单项式，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．
12．（3分）16的算术平方根是 4 ．
【分析】运用算术平方根知识进行求解．
【解答】解：，
的算术平方根是4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了算术平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
13．（3分）单项式与单项式是同类项，则 5 ．
【分析】根据同类项的意义，列方程求解即可．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：单项式与单项式是同类项，
，，
解得，，
．
故答案为：5．
【点评】本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提．
14．（3分）已知与互为相反数，与互为倒数，且，则 ．
【分析】先根据相反数、绝对值和倒数的性质得出，，，再分别代入代数式求解．
【解答】解：根据题意得，，．
当时，．
当时，．
故答案为：．
【点评】此题考查了相反数、绝对值和倒数的性质，要求掌握相反数、绝对值和倒数的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中进行有理数的运算．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
15．（3分）已知：，，若，则 10或 ， ．
【分析】根据题意，因为，，可得，，因为，所以，，或，，据此算出、的值．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，或，，
所以，或，．
故答案为：10或；或．
【点评】本题考查了有理数的乘法、绝对值、有理数的加法、有理数的减法，解决本题的关键是求出、的值．
16．（3分）已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的是 ①②④ （写出正确的序号）．
【分析】①除0外，互为相反数的商为，可作判断；
②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；
③由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断；
④由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断；
⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断．
【解答】解：①若，且，互为相反数，则，本选项正确；
②若，则与同号，由，则，，则，本选项正确；
③，即，
，即，本选项错误；
④，
，
，
，，
当时，，
，不符合题意；
所以，，
，
则，
本选项正确；
则其中正确的有3个．
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：17题14分，18-19每题6分，20-22每题8分，23题10分，24题12分．
17．（14分）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【分析】（1）根据去绝对值和有理数减法法则运算即可；
（2）根据乘法交换律和有理数乘法运算法则运算即可；
（3）根据开平方和开立方及有理数加减混合运算法则运算即可；
（4）根据乘方立方和去绝对值运算法则运算即可；
（5）根据乘法分配律运算即可；
（6）根据有理数混合运算法则运算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）．
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数运算法则是关键．
18．（6分）先化简，再求值：，其中，．
【分析】本题应对代数式进行去括号，合并同类项，将代数式化为最简式，然后把，的值代入即可．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
【解答】解：
，
当，时，
原式
．
【点评】本题考查了整式的加减法，掌握合并同类项的法则是关键．
19．（6分）已知的立方根是，的平方根是．
（1）求，的值．
（2）求的平方根．
【分析】（1）根据平方根立方根的性质进行运算即可．
（2）将、代入代数式计算数值后再求它的平方根即可．
【解答】解：（1）的立方根是， 的平方根是．
；，
解得；
（2）当， 时，
．
则25的平方根是．
的平方根是．
【点评】本题考查了平方根立方根的性质，正数有两个平方根，它们互为相反数．
20．（8分）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）．
（1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？
（2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？
（3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元箱，那么该果农本周总共收入多少元？
【分析】（1）将前五天的销售量相加即得结论；
（2）将表格中记录的数据相加得出结果，结果的符号表示达到或不足，结果的绝对值表示达到或不足的数量；
（3）利用本周的总收入减去总运费即得结论．
【解答】解：（1）（箱，
答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱；
（2），
答：本周实际销售总量达到了计划数量；
（3）（元，
答：该果农本周总共收入5840元．
【点评】此题考查正数和负数的问题，此题的关键是读懂题意，列式计算．
21．（8分）已知，为有理数，如果规定一种运算“”，即，试根据这种运算完成下列各题．
（1）求；
（2）求；
（3）任意选择两个有理数，，分别计算和，并比较两个运算结果，你有何发现？
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（3）两数利用新定义化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：；
（2）根据题中的新定义得：；
（3）根据题中的新定义得：，，
则．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）如图1所示的是一个长为，宽是的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个同等大小的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积．
方法一： ；
方法二： ．
（3）观察图2，你能写出，，这三个代数式之间的数量关系吗？
（4）当，求阴影部分的面积．
【分析】（1）直接写出边长：长边一短边；
（2）直接根据边长的平方计算面积或根据面积差计算面积；
（3）根据图形利用面积可得结论；
（4）把代入（2）中的一种方法计算可得答案．
【解答】解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；
故答案为：；
（2）方法一：；
方法二：分成的四块小长方形形状和大小都一样，
每一个小长方形的长为，宽为，
阴影部分的正方形的边长为，
，
故答案为：，；
（3）由图2得：；
（4），
．
．
即阴影部分的面积是36．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式、图形的面积是解决此题的关键，利用数形结合的思想，注意观察图形．
23．（10分）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若，则 ；
（2）已知，，求代数式的值；
（3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值．
【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）根据已知条件先求出的值，再整体代入到所求代数式中即可；
（3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可．
【解答】解：（1）因为，
所以
故答案为：．
（2），，
，
；
（3）当，时，代数式的值为8，
即，
可得，
当，时，代数式．
【点评】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想．
24．（12分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
，即，
的整数部分是2，小数部分为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ；
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，求的值．
【分析】（1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分；
（2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出、的值，从而计算的值；
（3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出、的值，从而计算出的值．
【解答】解：（1），
，
的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2），
，
，
，，
；
（3），
，
，
的整数部分是12，小数部分是，
，，
．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解题意并掌握题干中给出的方法是解题的关键．
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一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值