浙江省杭州市拱墅区拱宸中学 2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区拱宸中学 2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）下列三角形中，不是等腰三角形的是
A．B．
C．D．
3．（3分）下列命题属于假命题的是
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的对应角相等
C．三条边对应相等的两个三角形全等
D．三个角对应相等的两个三角形全等
4．（3分）若，则下列式子中一定成立的是
A．B．C．D．
5．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，在中，，过点作交的平分线于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
7．（3分）如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）如图，线段，的垂直平分线、相交于点．若，则
A．B．C．D．
9．（3分）若，，，则的最小值为
A．0B．3C．6D．9
10．（3分）意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共有6题，每题4分，共24分）
11．（4分）已知命题：“对顶角相等．”写出它的逆命题： ．
12．（4分）“的3倍与2的差小于9”用不等式表示为 ．
13．（4分）如图，数轴上的点表示原点，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为 ．
14．（4分）关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
15．（4分）如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是 ．
16．（4分）如图，在中，，，分别是，上的点，，，且，则 ．
三、解答题（本题共有8题，共66分）
17．（6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（6分）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．（6分）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
20．（8分）如图，中，，．
（1）用直尺和圆规作的平分线交于点（保留作图痕迹）；
（2）过点画的边上的高，交线段于点，若的周长是，求的长．
21．（8分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）不等式 （选填“是”或“不是” 的“云不等式”．
（2）若关于的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求的取值范围．
22．（10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．灯塔市公交公司购买一批，两种型号的新能源汽车，已知购买3辆型汽车和1辆型汽车共需要55万元，购买2辆型汽车和4辆型汽车共需要120万元．
（1）求购买每辆型和型汽车各需要多少万元？
（2）若该公司计划购买型汽车和型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买型汽车多少辆？
23．（10分）已知和都是等腰直角三角形，．
（1）若为内部一点，如图，吗？说明理由；
（2）若为边上一点，，，求的长．
24．（12分）教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．
（1）操作发现
如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形 全等（填“一定”或“不一定” ．
（2）探究证明
阅读补全证明
已知：如图2，在和中，，，．
求证：．
证明：在上取一点，使．
，
．
又，而，
．
，

又
．
．
（3）拓展应用
在中，，点在射线上，点在的延长线上，且，连接，与边所在的直线交于点．
①当点在线段上时，如图3所示，求证：．
②过点作交直线于点，若，，则 （直接写出答案）．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列三角形中，不是等腰三角形的是
A．B．
C．D．
【分析】由三角形的内角和判定选项中的三角形是否为等腰三角形，选项由等腰三角形的定义判断．
【解答】解：、由三角形的内角和为知：第三个角的大小为：，
选项中的图形不是等腰三角形．故选项符合题意；
、由三角形的内角和为知：第三个角的大小为：，
选项中的图形是等腰三角形．故选项不符合题意；
、由三角形的内角和为知：第三个角的大小为：，
选项中的图形是等腰三角形．故选项不符合题意；
、由图形中有两边长为5知：选项中的图形是等腰三角形．故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和与等腰三角形的判定和定义．利用三角形的内角和为求出第三角是突破点．
3．（3分）下列命题属于假命题的是
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的对应角相等
C．三条边对应相等的两个三角形全等
D．三个角对应相等的两个三角形全等
【分析】利用全等三角形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；
、全等三角形的对应角相等，正确，是真命题，不符合题意；
、三条边对应相等的两个三角形全等，正确，是真命题，不符合题意；
、三个角对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质及判定方法，难度不大．
4．（3分）若，则下列式子中一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：、，，原变形错误，故此选项不符合题意；
、，，原变形正确，故此选项符合题意；
、原变形错误，如，，则，故此选项不符合题意；
、，，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为
A．B．C．D．
【分析】利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，，
少走的路长为，
故选：．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解题的关键．
6．（3分）如图，在中，，过点作交的平分线于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】利用角平分线的定义求出，利用三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（3分）如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答．
【解答】解：连接，
，是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键．
8．（3分）如图，线段，的垂直平分线、相交于点．若，则
A．B．C．D．
【分析】连接，并延长到，根据线段的垂直平分线的性质得和，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，，相加可得结论．
【解答】解：连接，并延长到，
，
．
线段，的垂直平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（3分）若，，，则的最小值为
A．0B．3C．6D．9
【分析】把问题转化为一次函数，利用一次函数的性质解决最值问题．
【解答】解：，
，
，
，
时，的值最小，最小值为6，
故选：．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
10．（3分）意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【解答】解：由勾股定理得：，
由题意得：，
故①、②、③、④正确，
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共有6题，每题4分，共24分）
11．（4分）已知命题：“对顶角相等．”写出它的逆命题： 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．
12．（4分）“的3倍与2的差小于9”用不等式表示为 ．
【分析】先表示的3倍，再表示“差”，最后由“”可得答案．
【解答】解：“的3倍与2的差小于9”用不等式表示为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
13．（4分）如图，数轴上的点表示原点，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为 ．
【分析】和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数．
【解答】解：在中，，
，
点表示的数为，
故答案为：．
【点评】本题考查实数与数轴，求出圆弧的半径是本题的关键．
14．（4分）关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【分析】先求出方程的解，再根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：解方程得：，
关于的方程的解为正数，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程、一元一次方程的解，能得出关于的不等式是解此题的关键．
15．（4分）如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是 ．
【分析】根据折叠的性质可得：，然后设，从而可得，在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：由折叠得：，
设，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，在中，，，分别是，上的点，，，且，则 ．
【分析】在上取一点，使，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，过点作于点，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在上取一点，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
过点作于点，
，
，
就是等腰三角形，
，，
，
，
在中，由勾股定理可得，，
在中，由勾股定理可得，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，全等三角形的判定和性质，解题的关键正确的作出辅助线．
三、解答题（本题共有8题，共66分）
17．（6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为计算即可得出不等式的解集，再将其在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
化系数为，
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．
18．（6分）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据，全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：，，即
，，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
，
故的长为4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（6分）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义以及题目要求画出图形即可
【解答】解：如图中，图形即为所求．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，中，，．
（1）用直尺和圆规作的平分线交于点（保留作图痕迹）；
（2）过点画的边上的高，交线段于点，若的周长是，求的长．
【分析】（1）利用尺规周长的角平分线即可．
（2）利用尺规过点作即可．证明的周长即可．
【解答】解：（1）如图，线段即为所求．
（2）如图，线段即为所求．
，，，
，
，，
，
，
的周长，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）不等式 是 （选填“是”或“不是” 的“云不等式”．
（2）若关于的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求的取值范围．
【分析】（1）根据云不等式的定义，即可解答；
（2）先分别解两个不等式，然后根据题意可得，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）与有一个公共解，
不等式是的“云不等式”，
故答案为：是；
（2）解不等式，得，
解不等式，得，
关于的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，
，
解得：，
的取值范围是：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解云不等式是解题的关键．
22．（10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．灯塔市公交公司购买一批，两种型号的新能源汽车，已知购买3辆型汽车和1辆型汽车共需要55万元，购买2辆型汽车和4辆型汽车共需要120万元．
（1）求购买每辆型和型汽车各需要多少万元？
（2）若该公司计划购买型汽车和型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买型汽车多少辆？
【分析】（1）找出等量关系列出方程组再求解即可．本题的等量关系为“购买3辆型汽车和1辆型汽车共需要55万元”和“购买2辆型汽车和4辆型汽车共需要120万元”．
（2）设购买型汽车辆，则购买型汽车辆，根据总费用不超过220万元，列出不等式计算即可求解．
【解答】解：（1）设购买每辆型汽车需要万元，每辆型汽车需要万元．
依题意有：，
解得：．
答：购买每辆型汽车需要10万元，每辆型汽车需要25万元；
（2）设购买型汽车辆，则购买型汽车辆．
依题意有：，
，
解得：，
取正整数，
最小取11．
答：最少能购买型汽车11辆．
【点评】本题考查不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出（1）合适的等量关系：“购买3辆型汽车和1辆型汽车共需要55万元”和“购买2辆型汽车和4辆型汽车共需要120万元”．（2）根据总费用不超过220万元列出不等式再求解．
23．（10分）已知和都是等腰直角三角形，．
（1）若为内部一点，如图，吗？说明理由；
（2）若为边上一点，，，求的长．
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长．
【解答】解：（1），
理由如下：和都是等腰直角三角形，
，，，
，且，，
；
（2）如图，
由（1）可知：，
，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明是本题的关键．
24．（12分）教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．
（1）操作发现
如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形 不一定 全等（填“一定”或“不一定” ．
（2）探究证明
阅读补全证明
已知：如图2，在和中，，，．
求证：．
证明：在上取一点，使．
，
．
又，而，
．
，

又
．
．
（3）拓展应用
在中，，点在射线上，点在的延长线上，且，连接，与边所在的直线交于点．
①当点在线段上时，如图3所示，求证：．
②过点作交直线于点，若，，则 （直接写出答案）．
【分析】（1）观察图形，可知两个三角形不一定全等．
（2）由等腰三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案；
（3）①过点作交于点，证明，由全等三角形的性质得出．
②分两情况画出图形，当点在线段上，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）由图形可知两个三角形不一定全等；
故答案为：不一定；
（2）证明：在上取一点，使．
，
．
又，
而，
．
，
，
又，
．
．
故答案为：，，，；
（3）①证明：过点作交于点，如图，
，，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
②解：如图，当点在线段上，
，，
，
，，
，
；
如图，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，
同理可得，，
，，
，
，
．
的长为1或3．
故答案为：1或3．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？