2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin30°的值等于( )
A. 12B. 22C. 32D. 33
2.比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地间的图上距离为2厘米，则两地间的实际距离是千米．( )
A. 0.2B. 2C. 20D. 200
3.如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且AD=CB，∠A=40°，则∠DEB的度数为( )
A. 50°
B. 100°
C. 70°
D. 80°
4.对于抛物线y=−13(x−2)2+1，下列说法中错误的是( )
A. 抛物线与x轴没有交点B. 抛物线开口向下
C. 顶点坐标是(2,1)D. 函数有最大值，且最大值为1
5.如图，AB/​/CD/​/EF，AF与BE相交于点G(点G在CD，EF之间)，若AC=3，CG=2，GF=4，则BDDE的值为( )
A. 12
B. 35
C. 23
D. 34
6.已知点C是AB的黄金分割点(AC>BC)，若AB=4cm，则AC的长为( )
A. (2 5−2)cmB. (6−2 5)cmC. ( 5−1)cmD. (3− 5)cm
7.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为( )
A. 4B. 6C. 4 2D. 4 3
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：
则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是( )
A. −12C. −19.如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC.则以下五个结论中①OH=12BF；②∠CHF=60°；③BC=(2+ 2)GH；④HF2=HE⋅HB，正确结论有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.已知抛物线y=k(x+1)(x−3k)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形抛物线的条数是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若xy=34，则x+yy=______．
12.在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球.这些球除颜色外都相同.若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为34，则a= ______ ．
13.某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用.则宾馆获得的利润y(元)与房价x(元)(x为10的倍数)之间的函数解析式为______ ，宾馆利润最大利润是______ 元.
14.在直角三角形ABC中，若3AB=AC，则sinC=______．
15.二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0)，(2,3)，在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为−5，则a的取值范围为______ ．
16.如图，四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形，将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转，连接AG，DF，CE.则AG和CE的数量关系为______ ；在正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转的过程中，DFCE的值为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使O、C、A在同一直线上，此OD=6m，DB=12m．
(1)证明：△OCD与△OAB相似．
(2)求旗杆AB的高．
19.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD/​/BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
(1)求证：点D为AC的中点；
(2)若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．
20.(本小题8分)
一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm.当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′//EF(如图3)．
(1)求点D转动到点D′的路径长；
(2)求点D到直线EF的距离(结果精确到0.1cm)．
(参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08)
21.(本小题8分)
四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE．
(1)如图1，若∠A=∠B=∠DEC=50°，证明：△ADE∽△BEC．
(2)如图2，若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．
22.(本小题8分)
2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军.女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前.投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练．
(1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；

②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______ m，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=a(x−3)2+4.25，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d ______ 5(填“>”，“=”或“<”)．
23.(本小题12分)
已知二次函数y=(x+1)(x+3k)．
(1)若当x=2时，该函数有最小值，求k的值．
(2)若将二次函数的图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值．
(3)若k≥1，当x≥m时，y随着x的增大而增大，求m的范围．
24.(本小题12分)
如图，半圆⊙O中，直径AB=4，点C为弧AB中点，点D在弧BC上，连接CD并延长交AB的延长线于点E，连接AD交⊙O于点F，连接EF．
(1)①求证：△DCA∽△ACE；
②若点D为CE中点，求AE的长．
(2)求证：△ACE面积与△AFE的面积差为定值，并求出该定值．
(3)若tan∠FEA=16，求tan∠FAO的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：sin 30°=12．
故选：A．
直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
2÷11000000=2000000(厘米)，
2000000厘米=20千米．
故选：C．
根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．
此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
3.【答案】B
【解析】解：∵AD=CB，
∴∠A=∠C=40°，
∴∠AEC=180°−40°−40°=100°，
∴∠DEB=∠AEC=100°．
故选：B．
根据圆周角定理得到∠A=∠C=40°，由三角形内角和求出∠AEC的度数，进而求出∠DEB的度数．
本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：抛物线y=−13(x−2)2+1的开口向下，顶点坐标为(2,1)，抛物线的对称轴为直线x=2，函数有最大值，最大值为1；
令y=0，则−13(x−2)2+1=0，即(x−2)2=3，
解得x1=2+ 3，x2=2− 3，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：A．
根据二次函数的性质对B、C、D进行判断；通过判断方程−13(x−2)2+1=0的实数解的个数可对A进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次根式的性质．
5.【答案】A
【解析】解：∵AB/​/CD/​/EF，
∴BDDE=ACCF，
又∵AC=3，CG=2，GF=4，
∴CF=CG+GF=2+4=6，
∴BDDE=36=12．
故选：A．
由AB/​/CD/​/EF，利用平行线分析线段成比例定理，可得出BDDE=ACCF，再结合各边的长度，即可得出BDDE的值．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意知：AC= 5−12AB=4× 5−12=2( 5−1)=2 5−2．
故选A．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 5−12)叫做黄金比，AC=4× 5−12=2( 5−1)．
本题主要考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算，难度适中．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是证出△CBA∽△CAD，是一道基础题．
根据AD是中线，得出CD=4，再证出△CBA∽△CAD，得出ACBC=CDAC，求出AC即可．
【解答】
解：∵BC=8，AD是中线，
∴CD=4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴ACBC=CDAC，
∴AC2=CD⋅BC=4×8=32，
∴AC=4 2；
故选C．
8.【答案】D
【解析】解：结合图表，∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的两个根x1，x2，
根据现有的条件确定x1，x2的取值范围，
∴即y=0时，x的取值范围，
∴−12故选：D．
在函数值由负值到正值，由正值到负值的过程中，就会有一个x的值使y=0，方程的根就在这个范围内．
此题主要考查了二次函数的性质，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．
9.【答案】B
【解析】解：①在正方形ABCD中，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠HBD=∠HBF，
∵BH=BH，
∴△BHD≌△HBF(ASA)，
∴DH=HF，
∵OD=OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH=12BF，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(SAS)，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°−∠CDF=90°−22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°−∠DCH=90°−22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°−∠HCF−∠BFH=180°−67.5°−67.5°=45°，
故②不正确；
③∵OH是△DBF的中位线，
∴OH//BF，OH=12BF，OG=12BC，
∴∠OHB=∠HBF，
∵BE是∠DBF的平分线，
∴∠DBH=∠HBF，
∴∠OHB=∠HBO，
∴OH=BO，
设正方形的边长为2a，则BC=2a，OG=a，BD=2 2a，
∴OB=OH= 2a，
∴GH=OH−OG= 2a−a=( 2−1)a，
∴BCGH=2a( 2−1)a=2+2 2，
∴BC=(2+2 2)GH，
故③不正确；
④∵∠DBF=45°，BE是∠DBF的平分线，
∴∠DBH=22.5°，
由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，
∵∠BHD=∠BHD，
∴△DHE∽△BHD，
∴DHBH=HEDH，
∴DH2=HE⋅HB，
故④正确；
故选：B．
①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；
②根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论；
③OH是△DBF的中位线等已知条件可得出OH=BO，设正方形的边长为2a，表示出GH、BC即可得出结论；
④由相似三角形的判定定理得出△DHE∽△BHD，根据相似三角形的对角边成比例即可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．
10.【答案】B
【解析】解：y=k(x+1)(x−3k)=(x+1)(kx−3)，
所以，抛物线经过点A(−1,0)，C(0,−3)，
AC= OA2+OC2= 12+32= 10，
点B坐标为(3k,0)，
①k>0时，点B在x正半轴上，
若AC=BC，则 (3k)2+32= 10，解得k=3，
若AC=AB，则3k+1= 10，解得k=3 10−1= 10+13，
若AB=BC，则3k+1= (3k)2+32，解得k=34；
②k<0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC=AB，则−1−3k= 10，解得k=−3 10+1=− 10−13，
所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．
故选：B．
整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k>0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k<0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．
11.【答案】47
【解析】解：∵xy=34，
∴设x=3k，y=4k，
∴x+yy=3k+4k4k=74，
故答案为：74．
根据xy=34，设x=3k，y=4k，代入求出即可．
本题考查了比例的性质的应用，能选择适当的方法进行计算是解此题的关键．
12.【答案】12
【解析】解：根据题意，得：aa+4=34，
解得a=12，
经检验：a=12是分式方程的解，
故答案为：12．
根据摸到红球的概率为34，利用概率公式建立关于a的方程，解之可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13.【答案】y=−10(x−18)2+10240 10240
【解析】解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：
y=(180+10x−40)(50−x)
=−10x2+360x+7000
=−10(x−18)2+10240，
即：y=−10(x−18)2+10240，
∵a=−10<0，抛物线开口向下，
∴当x=18时，y有最大值，为10240．
此时房间定价为180+10×18=360(元)．
∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为：y=−10(x−18)2+10240，10240．
设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，根据利润等于(定价−40)×有人居住的房间数，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14.【答案】13或 1010
【解析】解：如图1，若∠B=90°，
由于3AB=AC，可设AB=k，则AC=3k，
在Rt△ABC中，
sinC=ABAC=13；
如图2，若∠A=90°，
由于3AB=AC，可设AB=k，则AC=3k，
由勾股定理得，BC= AB2+AC2= 10k，
∴sinC=ABBC=1 10= 1010；
故答案为：13或 1010．
根据锐角三角函数的定义，设辅助未知数，由勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解决问题的关键．
15.【答案】0≤a≤3
【解析】解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0)，(2,3)，
∴−1+b+c=0−4+2b+c=3，
解得：b=6c=−5，
∴二次函数为y=−x2+6x−5，
∵y=−x2+6x+5=−(x−3)2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=3，函数有最大值4，
把y=−5代入y=−x2+6x−5得，−5=−x2+6x−5，即−x2+6x=0，
解得x1=0，x2=6，
在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为−5，
∴0≤a≤3．
故答案为：0≤a≤3．
先将点(1,0)，(2,3)代入y=−x2+bx+c求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在a≤x≤6时的最大值和最小值即可．
本题主要考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
16.【答案】AG=CE 2
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形，
∴∠ABC=∠GBE=90°，AB=BC，BG=BE，
∴∠ABC−∠GBC=∠GBE−∠GBC，
即∠ABG=∠CBE．
在△ABG和△CBE中，
AB=BC∠ABG=∠CBEBG=BE，
∴△ABG≌△CBE(SAS)，
∴AG=CE；
如图，连接BD，BF．
∵∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3．
在Rt△DBC中，BDBC= 2，在Rt△FBE中，BFBE= 2，
∴BDBC=BFBE，
∴△BDF∽△BCE，
∴DFCE=BDBC= 2．
故答案为：AG=CE； 2．
根据SAS证明△ABG≌△CBE得出AG=CE；
连接BD，BF，证明△BDF∽△BCE，得出DFCE=BDBC= 2.即可得出结果．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是14；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是112．
【解析】(1)直接利用概率公式求解；
(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18.【答案】(1)证明：∵CD⊥OB，AB⊥OB，
∴∠ABD=∠CDO，
∵∠O=∠O，
∴△OCD∽△OAB；
(2)解：由(1)知△OCD∽△OAB，
∵CDAB=ODOB，
∵OD=6m，DB=12m，CD=3m，
∴3AB=66+12，
解得AB=9(m)．
答：旗杆AB的高是9m．
【解析】(1)根据CD⊥OB，AB⊥OB可得出∠ABD=∠CDO，∠O=∠O，据此可得出结论；
(2)根据(1)中△OCD∽△OAB即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD/​/BC，
∴∠OFA=∠C=90°，
∴OF⊥AC，
∴AD=CD，
∴点D为AC的中点；
(2)解：∵OF⊥AC，
∴AF=12AC=8，
在Rt△AFO中，AO2=AF2+OF2，
∴OA2=64+(OD−DF)2，
∴OA2=64+(OA−4)2，
∴OA=10，
∴⊙O的直径为20．
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA=∠C=90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；
(2)利用垂径定理可得AF=12AC=8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵BD′/​/EF，∠BEF=108°，
∴∠D′BE=180°−∠BEF=72°，
∵∠DBE=108°，
∴∠DBD′=∠DBE−∠D′BE=108°−72°=36°，
∵BD=6，
∴点D转动到点D′的路径长为36π×6180=65π；
(2)过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H，如图：
Rt△BDG中，DG=BD⋅sin36°≈6×0.59=3.54，
Rt△BEH中，HE=BE⋅sin72°≈4×0.95=3.80，
∴DG+HE=3.54+3.80=7.34≈7.3，
∵BD′/​/EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm，
答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．
【解析】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．
(1)由BD′/​/EF，求出∠D′BE=72°，可得∠DBD′=36°，根据弧长公式即可求出点D转动到点D′的路径长为36π×6180=65π；
(2)过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H，Rt△BDG中，求出DG=BD⋅sin36°≈3.54，Rt△BEH中，HE=3.80，故DG+HE≈7.3，即点D到直线EF的距离为7.3cm，
21.【答案】(1)证明：∵点E在边AB上，且∠A=∠DEC=50°，
∴∠ADE=180°−50°−∠AED=130°−∠AED，∠BEC=180°−50°−∠AED=130°−∠AED，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC；
(2)如图2、如图3，

分两种情况：
设AE=x，
∵AB=5，AD=BC=2，
当△ADE∽△BEC时，
∴ADBE=AEBC，
∴25−x=x2，
解得x1=1，x2=4；
△ADE∽△BCE时，
∴ADBC=AEBE，
∴22=x5−x，
解得：x=2.5，
综上，AE的长为1或4或2.5．
【解析】(1)由点E在边AB上，且∠A=∠DEC=50°，得∠ADE=130°−∠AED，∠BEC=130°−∠AED，所以∠ADE=∠BEC，又因为∠A=∠B，所以根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明△AED∽△BCE；
(2)分两种情况：△ADE∽△BEC或△ADE∽△BCE，设AE=x，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可．
此题考查相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、矩形的性质等知识，找出图形中的相似三角形并根据已知条件证明三角形相似是解题的关键．
22.【答案】−0.2 >
【解析】【小问1详解】
解：①如图，即为所求；
②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是3.8m；
设y与x满足的函数解析式为y=m(x−3)2+3.8，
把点(0,2)代入得：2=m(0−3)2+3.8，
解得：m=−0.2，
∴y与x满足的函数解析式为y=−0.2(x−3)2+3.8；
③成功，理由如下：
当y=3时，3=−0.2(x−3)2+3.8，
解得：x=5或1(舍去)，
即韩旭距篮筐中心的水平距离5m时，篮球运行的高度为3m，
∴韩旭第一次投篮练习是成功；
【小问2详解】
解：把点(0,2)代入y=a(x−3)2+4.25得：
2=a(0−3)2+4.25，
解得：a=0.25，
∴此时y与x满足的函数解析式为y=−0.25(x−3)2+4.25，
当y=3时，3=−0.25(5−3)2+4.25，
解得：x=3+ 5或3− 5(舍去)，
∵3+ 5>5，
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离d>5．
故答案为：>．
(1)①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为y=m(x−3)2+3.8，再把点(0,2)代入，求出m的值，即可；③把y=3代入②中函数解析式，即可；
(2)把点(0,2)代入y=a(x−3)2+4.25，求出函数解析式，再把y=3代入，求出x，即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)y=x2+(3k+1)x+3k，
∵a=1>0，
∴当x=−3k+12时，y有最小值，
即−3k+12=2，
解得k=−53；
(2)二次函数图象向上平移4个单位所得抛物线解析式为y=x2+(3k+1)x+3k+4，
根据题意得Δ=(3k+1)2−4(3k+4)=0，解得k1=−1，k2=53，
∴k的值为−1或53；
(3)抛物线y=x2+(3k+1)x+3k的对称轴为直线x=−3k+12，
∵k≥1，
∴抛物线的对称轴在直线x=−2的左侧(或对称轴为直线x=−2)，
∵抛物线开口向上，
∴当x≥−2时，y随着x的增大而增大．
【解析】(1)先二次函数的解析式化为一般式，写出抛物线的对称轴方程，利用二次函数的性质得到−3k+12=2，然后解方程即可；
(2)写出平移后的抛物线解析式，再利用判别式的意义得到Δ=(3k+1)2−4(3k+4)=0，然后解关于k的方程；
(3)利用k≥1和二次函数的性质得到当x≥−2时，y随着x的增大而增大，从而得到m≥−2．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
24.【答案】解：(1)①证明：∵点C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，
∵OC=OA，
∴∠CDA=∠CAE=45°，
又∵∠DCA=∠ACE，
∴△DCA∽△ACE；
②∵D为CE的中点，AC=2 2，
由(1)知，△DCA∽△ACE，
∴ACCD=CEAC，
∴AC2=CD⋅CE=CD⋅2CD，
即CD=2，
∴CE=4，
∴OE=2 3，
即AE=AO+OE=2+2 3．
(2)证明：∵△DCA∽△ACE，
∴∠CAF=∠CEA，
又∵∠ACF=∠CAE=45°，
∴△ACF∽△EAC，
∴AECA=ACCF，
∴S△ACE−S△AEF=12AE⋅CF=12AC2=4．
(3)∵tan∠FEA=OFOE=16，
设OF=a，
∴OE=6a，
∵AC2=AE⋅CF，
∴8=(2+6a)(2−a)，
得(3a−2)(a−1)=0，
即a=1或a=23，
当OF=1时，tan∠FAOOFOA=12，
当OF=23时，tan∠FAO=OFOA=232=13，
∴tan∠FAO=12或13．
【解析】(1)①证得∠CDA=∠CAE=45°，∠DCA=∠ACE，则可得出结论；
②得出AC2=CD⋅CE=CD⋅2CD，求出CD=2，求出CE=4，则可求出OE，则答案可求出；
(2)证明△ACF∽△EAC，则S△ACE−S△AEF=12AE⋅CF=12AC2=4.则结论得证；
(3)设OF=a，则OE=6a，得出8=(2+6a)(2−a)，解得a=1或a=23，可求出答案．
本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．x
−1
−12
0
12
1
32
2
52
3
y
−2
−14
1
74
2
74
1
−14
−2
水平距离x/m
0
1
2
3
4
…
竖直高度y/m
2.0
3.0
3.6
3.8
3.6
…