江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高三上学期10月第一次月考 数学试卷

这是一份江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高三上学期10月第一次月考 数学试卷，共7页。试卷主要包含了28-29，已知等比数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知数列为等差数列，，则的公差为（ ）
A．2B．6C．1D．14
2．在等比数列中， ， ，则的值为（ ）
A．B．0C．D．1
3．记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．64B．80C．96D．120
4．已知等比数列的公比，则（ ）
A．B．5C．10D．20
5.已知等比数列满足，则（ ）
A．16B． C．D．8
6．设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
7．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．为的最小值
10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线与平面的夹角正切值为
D．
填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
在等差数列中，，则 .
13.已知数列的首项，且满足，则 ..
14．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
在等比数列中.
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求；
(3)若a4＝2，a7＝8，求an.
16.（本题满分15分）
已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
17.（本题满分15分）
已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18.（本题满分17分）
已知数列满足，．
(1)证明：对任意的成立．
(2)记，求数列的前项和．
(3)证明：．
19.（本题满分17分）
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格：
(1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）；
(2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望．
参考数据及公式：，，
立德高中2023-2024学年第二学期高二第一次月考
数学答案及解析
1．B
【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解.
【详解】根据题意，因为等差数列中，，
所以公差.
故选：B．
2．C
【分析】
利用等比数列的通项公式求解.
【详解】∵为等比数列，
∴公比，
∴，
∴，
故选：C .
3．C
【分析】设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案.
【详解】设公差为，
则，解得，
故.
故选：C
4．C
【分析】利用等比数列的通项公式即可得解.
【详解】因为是等比数列，且，
所以.
故选：C.
5.B
6．C
【分析】
结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可.
【详解】抛物线，则焦点，准线，
最小时，即最小，根据抛物线的定义，，
所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时，
最小，且最小值为，解得.
故选：C.
7．C
【分析】根据概念，先写出等差数列的前几项，得到通项公式，再求数列的第8项.
【详解】由题意，数列的前几项为：，且数列为等差数列，所以：，故.
故选：C
8．B
【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可.
【详解】由，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
即，
所以有，显然当时，，
因此中最小的一项是，
故选：B
9.AC
10．ABD
【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可.
【详解】因为数列满足，，
所以
，
所以，
所以AB正确，C错误，
因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而，
所以，所以D正确，
故选：ABD
11．BC
【分析】
对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可.
【详解】对于A：因为，
所以，
则，A错误；
对于B：因为，为线段中点，
所以，
又面面，面面，面，
所以面，又面，
所以，B正确；
对于C：因为面，
所以面，
所以为直线与平面的夹角，
又，C正确；
对于D：
，
又，
所以，D错误.
故选：BC.
12．9
【分析】根据等差数列的性质可得的值.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：9
13.
14．
【分析】求出点的坐标，由可得出关于、的齐次等式，变形可得出关于的方程，解之即可.
【详解】将代入椭圆的方程可得，可得，
因为上位于第一象限的点满足，则，

又因为，即，即，即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得.
故答案为：.
15．(1)405
(2)5
(3)an＝
【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可.
【详解】（1）易知，，故.
（2）由.
（3）.所以.
16．(1)；
(2)时取得最大值为.
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
故，
所以.
（2）由，且，
所以，
故时取得最大，最大值为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）将条件变形，可得构造数列为常数数列，据此可求出数列的通项公式，根据其为等差数列可得结论；
（2）利用等比数列求和公式计算即可；
（3）利用裂项相消法可求和并证明不等式.
【详解】（1）由得，
即，
即，
故数列为常数数列，
所以，
整理得，即数列为等差数列，
所以；
（2）由（1）得，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（3）由（1），
所以
因为，
所以.
19．(1)，预测该店月份的成交量为辆
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算出、的值，可求出，利用最小二乘法求出、的值，可得出回归直线方程，再将代入回归方程即可得出店月份的成交量的预测值；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：由题意可得，，
，
，，
故线性回归方程为，
当时，，故预计月份的成交量为辆．
（2）解：由题意可得，获得“一等奖”的概率为，
的所有可能取值为、、、、、，
，，
，，
，，
故的分布列为：
故
1
2
3
4
5
6
7
28
32
37
45
47
52
60