精品解析：江西省赣州市立德虔州高级中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

立德高级中学2023年上学期第二次月考高一数学试题

（满分值150分，考试时间120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 计算（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案.

【详解】.

故选：D．

2. 一条弧长等于半径的3倍，则此弧所对的圆心角是（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由此弧所对的圆心角与弧长及半径三者之间的关系解之即可

【详解】设该弧对应半径为r，则弧长l=3r，则此弧所对圆心角

故选：B

3. 求值（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据辅助角公式，化简计算即可得出答案.

【详解】.

故选：A．

4. 已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（　　）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D. 任意三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量运算求得，由此判断出正确答案.

【详解】，

由于，所以，

所以三角形是直角三角形.

故选：B

5 设向量满足，则（    ）

A. 1 B. -1 C. 4 D. -4

【答案】A

【解析】

【分析】利用平方的方程求得.

【详解】由两边平方得

，

两式相减得.

故选：A

6. 函数y=sin2x的图象可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

7. 设的三个内角为A，B，C，向量，，若，则C的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据数量积的坐标表示得出，结合已知可推得.然后根据的范围，即可得出答案.

【详解】因为，

，

所以，

所以,

所以.

因为，，

所以，

所以．

故选：C.

8. 函数的部分图象如所示，则（    ）

A.  B. 0 C. 3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知得出，求出的值可推得.代入，结合的范围，即可得出解析式.计算得出的值，结合函数的周期性，即可得出答案.

【详解】由图可知，，

由，可得，所以.

由得，，

所以，.

又，可得，

所以．

所以，，，，，，

所以.

所以

．

故选：A.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．）

9. 下面向量与向量平行的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示，逐项检验，即可得出答案.

【详解】对于A，因为，所以，故A正确；

对于B，因为，所以不平行，故B错误；

对于C，因为，所以，故C正确；

对于D，因为，所以，故D错误．

故选：AC．

10. 已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A. 在方向上的投影数量为

B. 在方向上的投影数量为

C.

D

【答案】BD

【解析】

【分析】由已知解出，该局投影向量的概念，求解即可判断A、B项；根据坐标求模，即可判断C、D项.

【详解】由已知得，.

所以，，故C项错误，D项正确；

．

所以在方向上的投影为，故B项正确；

在方向上的投影数量为，故A项错误.

故选：BD.

11. 向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ）

A. 2 B. －2 C. 11 D. －11

【答案】BC

【解析】

【分析】由已知求出的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案.

【详解】由已知可得，

．

因为A，B，C三点共线，所以，

所以，整理得，

解得k＝－2或11．

故选：BC．

12. 已知函数，则下列说法中不正确的是（    ）

A. 函数的周期是π

B. 函数的最小值是

C. 函数的图象的一条对称轴方程是

D. 函数是偶函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】化简可得，即可得出A、B项；代入即可判断C项；取特殊值，即可判断D项.

【详解】对于A项，

所以的周期是，而的周期是，故A项错误；

对于B项，显然的最小值是0，故B项错误；

对于C项，为最大值，故C项正确；

对于D项，因为，，，所以不是偶函数，故D项错误．

故选：ABD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）．

13. _________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：由题意得

.

考点：两角差的余弦函数.

14. 已知向量,满足：，则与的夹角为________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据求出，利用夹角公式可得答案.

【详解】因为，，所以；

所以，

因为，所以.

故答案为：.

15. 若与互余，则______．

【答案】2

【解析】

【分析】根据已知可知，根据两角和的正切公式展开，即可得出.然后展开，即可得出答案.

【详解】依题意，即，

所以，

则有.

所以.

故答案为：2.

16. 甲，乙两楼相距30m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的楼高为__________m．

【答案】

【解析】

【分析】结合图象，解直角三角形求得乙楼的高.

【详解】依题意,，所以,

，所以,

所以乙楼的高为m.

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解法一：根据两角和的正切公式展开，化简得出关于的方程，求解即可得出答案；解法二：配角，根据两角差的正切公式，化简计算即可得出答案；

（2）根据诱导公式以及二倍角公式化简可得，代入的值，即可得出答案.

【小问1详解】

解法一：，

解得．

解法二：．

【小问2详解】

化简可得，

.

因为，所以原式．

18. 已知平面向量

（1）若，求x的值：

（2）若，求

【答案】（1）或   

（2）或

【解析】

【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解；

（2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模.

【小问1详解】

，

，

解得或；

【小问2详解】

，

，解得或，

当时，，，；

当时，，，，

或

19. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，．

（1）求A；

（2）若，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理角化边，整理可得.然后根据余弦定理，结合的范围，即可得出答案；

（2）根据（1）可知，然后根据基本不等式可得出，代入面积公式，即可得出答案.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得，则.

由余弦定理得，

又，故．

【小问2详解】

由（1）可得，.

由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，

所以有，即，此时有．

所以面积的最大值．

20. 如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里.乙船每小时航行多少海里？

【答案】.

【解析】

【分析】先连接A1B2，利用时间速度求A1A2，判断△A1A2B2是等边三角形，得到∠B1A1B2＝45°，，再利用余弦定理解三角形△A1B2B1中的边，计算速度即可.

【详解】解：连接A1B2，如下简图，

由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10＝A2B2，

又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，

故∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，，

在△A1B2B1中，由余弦定理得，

故(海里)，时间为（小时）

因此乙船的速度大小为 (海里/小时).

21. 已知函数的一段图像如图所示．

（1）求此函数的解析式；

（2）求此函数在上的递增区间．

【答案】（1）   

（2）和

【解析】

【分析】（1）由最大值求，由周期求，代特殊点求，得函数的解析式；

（2）利用整体代入法求此函数的递增区间．

【小问1详解】

由函数的图像知，，，∴周期T＝16，

∵，∴，

∴，

∵函数图像经过点，∴，，

即，，又，∴，

∴函数的解析式为．

【小问2详解】

由，，

解得，，

∴函数的单调递增区间为，，

当k＝－1时，单调递增区间为；

当k＝0时，单调递增区间为，

∵，，，

∴函数在上的递增区间为和．

22. 已知，，函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和对称中心．

【答案】（1）   

（2）最大值为，对称中心为和

【解析】

【分析】（1）根据数量积的坐标表示，结合辅助角公式化简可得，然后即可求出周期；

（2）根据已知的范围得出，结合正弦函数的性质即可得出最大值.整体法求出的对称中心为.分别求出时的对称中心，结合的范围，即可得出答案.

【小问1详解】

由已知可得，，

所以，，

所以的最小正周期为．

【小问2详解】

因为，所以，所以.

根据正弦函数的性质可知，当，即时，在区间上的最大值为．

由可得，，

所以，的对称中心为.

当时，；

当时，，所以是的对称中心；

当时，，所以是的对称中心；

当时，.

所以，的对称中心为和.