精品解析：江西省赣州立德虔州高级中学2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2022~2023学年下学期高一数学期中联考试卷

第I卷（选择题）

一、单选题(共40分)

1. 已知，，则点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的坐标表示求解即可.

【详解】∵,∴,解得,

∴点的坐标是.

故选：D.

2. 对于，下列等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式化简即可.

【详解】对于A，，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选:D.

3. 化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（       ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.

【详解】对于①，,故①正确；

对于②，,故②错误；

对于③，，故③正确；

对于④，,故④正确.

故结果为零向量的个数是3.

故选:C.

4. 向量与的夹角为，，，在上投影数量为（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量投影数量的概念计算即可.

【详解】在上投影数量为.

故选：D

5. 已知，且， 则的值为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】根据，可得，利用数量积坐标运算即可得解.

【详解】由，得，

因为，

所以，解得.

故选：A.

6. 下列说法正确的是（    ）

A. 加速度、力、位移、速率、功都是数学中的向量 B.

C. 是的充分不必要条件 D. 单位向量的方向是任意的

【答案】D

【解析】

【分析】A选项，功是标量；B选项，举出反例；C选项，考虑的方向可能为任意方向，故C错误；D选项，根据单位向量的定义进行判断.

【详解】A选项，功只有大小，没有方向，是标量，A错误；

B选项，不妨设，

则，即，B错误；

C选项，，但的方向可能为任意方向，故无法得到，充分性不成立，C错误；

D选项，单位向量的方向是任意的，D正确.

故选：D

7. 已知函数的最小正周期为T．若，把的图象向右平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦型函数的图象变换、奇偶性、周期性进行求解.

【详解】由题知，把函数的图象向右平移个单位长度，

得到的图象．

因为为偶函数，所以，即．

又，所以．

因为的最小正周期为，

所以，即，解得．

所以，

所以．

故选：A．

8. 已知向量，，，若与共线，则（    ）

A. 2或 B. 2或1 C. 或0 D. 0或2

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求出，由向量共线的坐标表示列方程求k的值．

【详解】由则，

因为与共线，

所以，即，解得或.

故选：D

二、多选题(共20分)

9. 已知角的终边经过点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据三角函数的定义计算即可.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，故A正确；

，故B错误；

，故C正确，D错误.

故选：AC.

10. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（    ）

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据不共线的向量可作为一组基底判断.

【详解】解：对于A，与不共线，故可作为一组基底，故A正确；

对于B，和不共线，故可作为一组基底，故B正确；

对于C，，故不能作为一组基底，故C错误；

对于D，和不共线，故可作为一组基底，故D正确.

故选:ABD.

11. 下列命题中，正确的命题为（    ）

A. 对于向量，若，则或

B. 若为单位向量，且，则

C. 若，则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形

D. 四边形中，

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据向量的运算法则，直接判断即可

【详解】对于A，只是代表向量的模相等，向量的方向都可以是任意的，错误；

对于B，，则与方向相同或相反，则，正确；

对于C，，则必有，设，，则有，故，则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形，正确；

对于D，根据向量的平行四边形法，四边形中，因为，所以，，整理得，正确；

故选：BCD

12. 已知函数，将函数图像向右平移个单位长度后所得的函数图像过点，则函数满足（    ）

A. 是的一个对称中心 B. 在区间上单调递增

C. 是的一条对称轴 D. 在区间上单调递减

【答案】ACD

【解析】

【分析】先利用条件求出，再逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】因为，将函数图像向右平移个单位长度后得到，

又过点，所以，得到，

又，所以，故

选项A，因为，故选项A正确；

选项B，当时，，由的图像与性质知，在区间上单调递减，故选项B错误；

选项C，由，得到，取时，，故选项C正确；

选项D，当时，，由的图像与性质知，在区间上单调递减，故选项D正确.

故选：ACD

第II卷（非选择题）

三、填空题(共20分)

13. 已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的周长是_____________．

【答案】4

【解析】

【分析】由圆心角为，半径为1，通过弧长公式算出弧长，再根据周长等于二倍的半径加弧长可得答案.

【详解】根据弧长公式，可得弧长为，则扇形的周长为，

故答案为:4.

14. 已知，且，写出一个满足条件的的值：______.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】利用特殊角的三角函数值求解的值.

【详解】因为，所以，，

则，或，，

又.所以可取.

故答案为：（答案不唯一）

15. 已知向量，的夹角是，若，，则_____．

【答案】2

【解析】

【分析】由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值．

【详解】向量，的夹角是，，，

则，

则

，

即有．

故答案为：2．

16. 如图所示，在中，为边上的一点，且.若，则____.

【答案】-3

【解析】

【分析】根据平面向量基本定理得到，得到答案.

【详解】因为，所以，

故，

故，所以.

故答案为：-3

四、解答题(共70分)

17 已知.

（1）将写成的形式，并指出它是第几象限角；

（2）求与终边相同的角，满足．

【答案】（1），是第四象限角；   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）利用，将角度值化为弧度制，并得到所在象限；

（2）由，根据的范围求出的值，从而可求解.

【小问1详解】

因为,，

所以

因为，所以是第四象限角.

【小问2详解】

，

所以与终边相同的角可表示为,

令，解得，

所以.

当时， ；

当时， .

所以或.

18. 已知向量.

（1）求向量的坐标；

（2）求与垂直单位向量的坐标.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据条件，利用向量的坐标运算即可求出结果；

（2）设出所求向量，再根据条件建立方程组，解出，即可求出结果.

【小问1详解】

因为，所以，，，

则，.

【小问2详解】

设与垂直的单位向量的为，则，解得或，

故或

19. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求得定点M的坐标，利用三角函数的定义可求出，，从而求出答案；

（2）利用诱导公式化简，再将，，代入，即可得出答案.

【小问1详解】

∵函数（且）的定点M的坐标为，

∴角的终边经过点，

∴（O为坐标原点），

根据三角函数的定义可知，，

∴.

【小问2详解】

，，，

.

20. 已知向量，满足，，且.

（1）若，求实数的值；

（2）求与的夹角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）0

【解析】

【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解；

（2）利用数量积的夹角公式求解即可.

【小问1详解】

因为，所以，

即，解得，

若，则，

即，即，解得.

【小问2详解】

因为，

所以，

即与的夹角的余弦值为0.

21. 如图，在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．

（1）用和分别表示和；

（2）若直线交于点，交于点，交于点，，求最小值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；

（2）先将用表示，再根据三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解.

【小问1详解】

由题意，

，

；

【小问2详解】

由，

得，

，

因为三点共线，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以最小值为.

22. 已知函数的部分图象如图．

（1）求的表达式；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象．若关于方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由图可知，求出周期，再利用周期公式求出，然后将代入函数中可求出的值，从而可求出的表达式；

（2）先由三角函数图象变换规律求出的解析式，令，，则将问题转化为与的图象在有两个不同的公共点，作出函数图象，利用图象求解即可.

【小问1详解】

函数的周期为，由图象可得，得

所以，

所以，

因为的图象经过点，

所以，解得，得，

因为，所以，

所以，

【小问2详解】

将函数图象向左平移个单位长度得到曲线：，

因为再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，

所以，

因为关于的方程在上有两个不同的实数解，

所以在上有两个不同的实数解，

令，则，

因为，所以，

所以，

所以，

所以只需与的图象在有两个不同的公共点，

作出在上的简图如下，

由图可知当或时，与的图象有两个不同的公共点，

所以实数的取值范围为