2023-2024学年江西省赣州市全南中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市全南中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为﹣1的直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a7＝6，a12＝17，则S16＝（ ）
A．120B．140C．160D．180
3．已知空间向量，若，则x＝（ ）
A．B．3C．D．2
4．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展．某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．小王经营了一家小型餐馆，自去年疫情管控宣布结束后的第1天开始，经营状况逐步有了好转，该店第一周的营业收入数据（单位：百元）统计如下：
其中第4天和第6天的数据由于某种原因造成模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与天数序号x可以用经验回归直线方程拟合，且第7天的残差是﹣0.6，则的值是（ ）
A．10.4B．6.2C．4.2D．2
7．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（1+3λ）x+（1﹣2λ）y﹣（7+λ）＝0（λ为任意实数）的距离的最大值为（ ）
A．B．6C．D．5
8．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知圆C方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆C的圆心坐标为（1，2）
B．圆C的半径为3
C．圆C与直线x＝2相切
D．点P（3，2）在圆外
（多选）10．一个装有6个小球的口袋中，有编号为1，3的两个红球，编号为2，4的两个蓝球，编号为5，6的两个黑球．现从中任意取出两个球，设事件A＝“取出的两球颜色相同”，B＝“取出的两球编号之差的绝对值为1”，C＝“取出的两球编号之和为6或7”，D＝“取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B相互独立
B．事件A与事件C相互独立
C．事件B与事件C相互独立
D．事件B与事件D互斥
（多选）11．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列，在数列的每相邻两项之间插入此两项的和后，与原数列构成新的数列，再把所得的数列按照同样的方法不断的构造出新的数列．如：将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n（n∈N+）次得到数列1，x1，x2，x3，…，2现将数列1，1用上述方法进行构造，记第n（n∈N+）次构造后所得新数列的所有项的和为an，则对于数列{an}，下列结论正确的是（ ）
A．a4＝84
B．an+1＝3an﹣2
C．若，n∈N+，则f（n）的最小值为21
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c＝10，则a＝ ．
13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 ．
14．已知平面直角坐标系中，曲线C上的点到定直线l：x＝2的距离与到定点F（﹣2，0）的距离相等，P为曲线C上一点，过点P作PM⊥l，垂足为M．若|PF|＝|MF|，则|OP|＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn＝an2+5an+6且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an．
16．某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目．
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝4，CD＝3，M为侧棱PC的中点．
（1）求点D到平面PBC的距离；
（2）求二面角M﹣AD﹣B的正切值．
18．（17分）已知椭圆过点，椭圆C的右焦点与点Q（2，﹣2）所在直线的斜率为﹣2．（1）求椭圆C的方程；
（2）若过Q的直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（3，0）．直线PA，PB分别交椭圆C于点M，N，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
19．（17分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为L（M，N）操作．设数列{an}是无穷非减正整数数列．
（1）若an＝2n﹣1，n∈N+，{an}进行L（2，1）操作后得到{bn}，设an+bn前n项和为Sn
①求Sn．
②是否存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差？若存在，求出所有的（p，q，r）；若不存在，说明理由．
（2）若an＝n，n∈N+，对{an}进行L（4，0）与L（4，1）操作得到{bn}，再将{bn} 中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到{cn} 证明：每个大于1的奇平方数都是{cn} 中相邻两项的和．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为﹣1的直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系以及直线方程的定义，即可得出结论．
解：平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为﹣1的直线如图所示，
则该直线不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了直线方程的定义与应用问题，是基础题．
2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a7＝6，a12＝17，则S16＝（ ）
A．120B．140C．160D．180
【分析】根据题意，利用下标和性质先求出a5+a12的值，然后根据前n项和公式结合下标和性质求解出S16的值．
解：根据题意，数列{an}为等差数列，
因为a3+a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5+a12＝3+17＝20，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
3．已知空间向量，若，则x＝（ ）
A．B．3C．D．2
【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可．
解：由题意可得，
因为，
所以，
解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
4．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】在A中，推导出线面垂直，从而得到AB⊥CD；在B中，AB与CD成60°角；在C中，AB与CD成45°角；在D中，AB与CD所成角的正切值为．
解：在A中，CD⊥BE，CD⊥AE，BE∩AE＝E，
∴CD⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，∴AB⊥CD，故A正确；
在B中，AB与CD成60°角，故B错误；
在C中，AB与CD成45°角，故C错误；
在D中，AB与CD所成角的正切值为，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查两异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展．某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别求出“甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可．
解：甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34＝81种；
每个地区至少安排1名专家的安排方法有：种；
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．小王经营了一家小型餐馆，自去年疫情管控宣布结束后的第1天开始，经营状况逐步有了好转，该店第一周的营业收入数据（单位：百元）统计如下：
其中第4天和第6天的数据由于某种原因造成模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与天数序号x可以用经验回归直线方程拟合，且第7天的残差是﹣0.6，则的值是（ ）
A．10.4B．6.2C．4.2D．2
【分析】根据残差的定义求出，结合样本中心点满足回归方程，列方程组求出，，由此可得结论．
解：由残差得，即，
所以①，
又，，因为回归直线经过中心点，
所以②，
联立①②解得，，
所以，
故选：A．
【点评】本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．
7．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（1+3λ）x+（1﹣2λ）y﹣（7+λ）＝0（λ为任意实数）的距离的最大值为（ ）
A．B．6C．D．5
【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距离．
解：将直线方程变形为l：（x+y﹣7）+（3x﹣2y﹣1）λ＝0，由，解得直线过定点Q（3，4），
P在单位圆上运动，圆O（0，0），圆的半径r＝1
故原点到直线l距离的最大值为，
则P点到直线l的距离的最大值为r+|OQ|＝1+|OQ|＝1+5＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
8．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知结合双曲线的定义可得，，，进而根据同角三角函数的基本关系式得出．在△F1F2P中，由余弦定理可得出方程，整理化简即可得出a，c的关系式．
解：如图，
不妨设点P为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点．
由已知结合双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝3|PF2|＝2a，
∴，，，且∠F1F2P为锐角．
又，，
∴．
又|F1F2|＝2c，在△F1F2P中，由余弦定理可得：
＝＝，
整理可得，3c2＝7a2，
∴，．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知圆C方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆C的圆心坐标为（1，2）
B．圆C的半径为3
C．圆C与直线x＝2相切
D．点P（3，2）在圆外
【分析】由圆的标准方程可判断选项A、B，由圆心到直线的距离与半径比较可判断选项C，将点P（3，2）代入圆的方程可判断D．
解：已知圆C方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝9，
故圆C的圆心坐标为（﹣1，2），半径为3，故A错误，B正确．
圆C（﹣1，2）到直线x＝2的距离为3，故C正确．
点P（3，2）代入圆C方程为（3+1）2+（2﹣2）2＝16＞9，故点P（3，2）在圆外，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．
（多选）10．一个装有6个小球的口袋中，有编号为1，3的两个红球，编号为2，4的两个蓝球，编号为5，6的两个黑球．现从中任意取出两个球，设事件A＝“取出的两球颜色相同”，B＝“取出的两球编号之差的绝对值为1”，C＝“取出的两球编号之和为6或7”，D＝“取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B相互独立
B．事件A与事件C相互独立
C．事件B与事件C相互独立
D．事件B与事件D互斥
【分析】列出6个小球任意取出两个球的全部结果，从而可以求解事件A，B，C，D，AB，AC，BC的概率，再结合互斥事件与独立事件的定义即可判断．
解：根据题意可知，6个小球任意取出两个球，共有15种可能，分别为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）．
事件A包含3种可能，即（1，3），（2，4），（5，6），∴；
事件B包含5种可能，即（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），∴；
事件C包含5种可能，即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（3，4），∴＝；
事件D包含1种可能，即（1，5），∴．
事件AB，AC，BC分别为（5，6），（2，4），（3，4），各1种可能，
对于A，，A对；
对于B，，B对；
对于C，，C错；
对于D，事件B与事件D不能同时发生，故事件B与事件D互斥，D对．
故选：ABD．
【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列，在数列的每相邻两项之间插入此两项的和后，与原数列构成新的数列，再把所得的数列按照同样的方法不断的构造出新的数列．如：将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n（n∈N+）次得到数列1，x1，x2，x3，…，2现将数列1，1用上述方法进行构造，记第n（n∈N+）次构造后所得新数列的所有项的和为an，则对于数列{an}，下列结论正确的是（ ）
A．a4＝84
B．an+1＝3an﹣2
C．若，n∈N+，则f（n）的最小值为21
D．若，则
【分析】通过计算求出a1，a2，a3，a4的值可判断A；运用归纳法得到an，an+1之间的关系可判断B；由递推关系求出数列{an}，，求f（n）的最小值可判断C；由，结合等比数列的前n项和可判断D．
解：由题意可知，第1次得到数列1，2，1，
第2次得到数列1，3，2，3，1，
第3次得到数列1，4，3，5，2，5，3，4，1，
第4次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，7，5，8，3，7，4，5，1，
由题意得：a1＝4，a2＝10＝3×4﹣2，a3＝28＝3×10﹣2，a4＝82＝3×28﹣2，
所以有an+1＝3an﹣2，因此选项A不正确，B正确；
an+1＝3an﹣2⇒an+1﹣1＝3（an﹣1），
所以数列{an﹣1}是以a1﹣1＝3为首项，3为公比的等比数列，
因此有，
，n∈N+，
令t＝3n，所以，
由双勾函数的性质知：g（t）在（0，10）上单调递减，在（10，+∞）上单调递增，
因为，
当n＝2时，f（n）的最小值为，因此选项C不正确；
因为3n﹣2•3n﹣1＝3n﹣1＞1，所以3n﹣1＞2•3n﹣1，
所以，
所以＝，
所以选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查数列的通项和前n项和的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c＝10，则a＝ ﹣4 ．
【分析】设这三个数为b﹣d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．
解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a＝b﹣d，c＝b+d，
由题设得，
∵d≠0，∴b＝2，d＝6，
∴a＝b﹣d＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查学生的计算能力，属于中档题．
13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 18π ．
【分析】借助球体体积公式及圆柱表面积公式计算即可得．
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，母线长为2R，
则球的体积为，所以，
所以圆柱表面积为2πR2+2πR×2R＝6πR2＝18π．
故答案为：18π．
【点评】本题考查了球体体积公式及圆柱表面积公式应用问题，是基础题．
14．已知平面直角坐标系中，曲线C上的点到定直线l：x＝2的距离与到定点F（﹣2，0）的距离相等，P为曲线C上一点，过点P作PM⊥l，垂足为M．若|PF|＝|MF|，则|OP|＝ 2 ．
【分析】根据抛物线的定义求出抛物线的方程，根据条件得到△PMF是正三角形，利用抛物线的定义求出P的坐标，然后进行求解即可．
解：∵曲线C上的点到定直线l：x＝2的距离与到定点F（﹣2，0）的距离相等，
∴曲线C的轨迹是以F为焦点的抛物线，则抛物线方程为y2＝﹣8x，
连接MF，
由抛物线的定义得|PF|＝|PM|，
∵|PF|＝|MF|，∴△PMF是正三角形，
则∠PMF＝60°，∠FMA＝30°，
则AF＝4，|MF|＝8，
设P（m，n），则|PF|＝|MF|＝8，
则2﹣m＝8，得m＝﹣6，
则n2＝﹣8×（﹣6）＝48，
则|OP|＝＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查抛物线定义的应用，根据条件求出抛物线的方程，利用抛物线的定义进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn＝an2+5an+6且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an．
【分析】先根据10Sn＝an2+5an+6求出a1的值，再结合10Sn﹣1＝an﹣12+5an﹣1+6可得到（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣5）＝0，进而得到an﹣an﹣1＝5可求出an＝5n﹣3．
解：∵10Sn＝an2+5an+6，①∴10a1＝a12+5a1+6，解之得a1＝2或a1＝3．
又10Sn﹣1＝an﹣12+5an﹣1+6（n≥2），②
由①﹣②得 10an＝（an2﹣an﹣12）+5（an﹣an﹣1），即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣5）＝0
∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝5 （n≥2）．
当a1＝3时，a3＝13，a15＝73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3；
当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，有 a32＝a1a15，∴a1＝2，∴an＝5n﹣3．
【点评】本题主要考查求数列通项公式、等差数列的前n项和公式．考查综合运用能力．
16．某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目．
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望．
【分析】（1）由题意分析知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解；
（2）由题意知X的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望．
解：（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以．
（2）由题意可知X的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得X的分布列为
所以．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝4，CD＝3，M为侧棱PC的中点．
（1）求点D到平面PBC的距离；
（2）求二面角M﹣AD﹣B的正切值．
【分析】（1）根据题设条件，由等体积法即可求得点D到平面PBC的距离；
（2）由二面角的平面角定义，可作出并证明∠MHO为二面角M﹣AD﹣B的一个平面角，解三角形即可求得二面角的正切值．
解：（1）由PA⊥平面ABCD，可得，
设点D到平面PBC的距离为d，
则由V三棱锥D﹣PBC＝V三棱锥P﹣BCD，可得，
则，
由∠ABC＝90°，BC＝4，CD＝3，可得：，
由PA⊥平面ABCD，∠ABC＝90°，可得BC⊥PB，
则，则，
即点D到平面PBC的距离为；
（2）设O为AC的中点，过O作OH⊥AD交AD于H，连结OM，HM，
∵M是PC的中点，∴OM∥PA，
又PA⊥平面ABCD，∴OM⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，∴OM⊥AD，
又OH⊥AD，OM∩OH＝O，
∴AD⊥平面MOH，又MH⊂平面MOH，
∴AD⊥MH，
∴∠MHO为二面角M﹣AD﹣B的一个平面角，
又，
且，可得，
则，
即二面角M﹣AD﹣B的正切值为．
【点评】本题考查点到平面距离的求法，考查二面角的正切值求法，属中档题．
18．（17分）已知椭圆过点，椭圆C的右焦点与点Q（2，﹣2）所在直线的斜率为﹣2．（1）求椭圆C的方程；
（2）若过Q的直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（3，0）．直线PA，PB分别交椭圆C于点M，N，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【分析】（1）依题意，列出a、b、c的方程，求解a、b、c的值，即可求解椭圆方程；
（2）设l的方程为x＝m（y+2）+2，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，表示出kMN，即可判断结果．
解：（1）由题意得：椭圆过点，所以，……①
又椭圆C的右焦点与点Q（2，﹣2）所在直线的斜率为﹣2，
所以，……②
且a2＝b2+c2，……③
由①②③解得c＝1，a2＝3，b2＝2，
所以C的方程为：；
（2）设l的方程为x＝m（y+2）+2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
则直线PA的方程为，
由，消去x可得，
结合，可得，
可得，解得，
代入，解得，
同理可得，
故
＝
＝
＝，
故的斜率是定值，且定值为2．
【点评】本题考查了椭圆的方程及性质，考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想及数学运算能力，属于中档题．
19．（17分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为L（M，N）操作．设数列{an}是无穷非减正整数数列．
（1）若an＝2n﹣1，n∈N+，{an}进行L（2，1）操作后得到{bn}，设an+bn前n项和为Sn
①求Sn．
②是否存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差？若存在，求出所有的（p，q，r）；若不存在，说明理由．
（2）若an＝n，n∈N+，对{an}进行L（4，0）与L（4，1）操作得到{bn}，再将{bn} 中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到{cn} 证明：每个大于1的奇平方数都是{cn} 中相邻两项的和．
【分析】（1）①由an＝2n﹣1，n∈N+，得bn＝2n，n∈N+．由此能求出Sn．
②假设存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差，设p＜q＜r∈N+，2Sq＝Sp+Sr，p，q，r∈N+，从而2q﹣p+1＝1+2r﹣q，左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差．
（2）由题意知a4n＝4n，a4n﹣3＝4n﹣3，a4n﹣2＝4n﹣2，a4n﹣1＝4n﹣1，保留a4n﹣2，a4n+1，则b2n﹣1＝4n﹣2，b2n＝4n﹣1．将b4n，b4n+1删去，得到．由此能证明每个大于1的奇平方数都是{cn} 中相邻两项的和．
解：（1）①解：今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，
并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，
每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为L（M，N）操作，
由an＝2n﹣1，n∈N+，{an}进行L（2，1）操作后得到{bn}，
当n≥2时，N+，故bn＝2n，n∈N+．
则Sn＝＝3×＝3（2n﹣1），n∈N*．
②解：假设存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差，
由Sn单调递增，不妨设p＜q＜r∈N+，2Sq＝Sp+Sr，p，q，r∈N+，
化简得2q﹣p+1＝1+2r﹣q，
左式为偶数，右式为奇数，矛盾，
故不存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差．
（2）证明：∵an＝n，n∈N+，∴由题意知a4n＝4n，a4n﹣3＝4n﹣3，a4n﹣2＝4n﹣2，a4n﹣1＝4n﹣1，
所以保留a4n﹣2，a4n+1，则b2n﹣1＝4n﹣2，b2n＝4n﹣1．
又b4n+1＝8n+2，b4n+2＝8n+3，b4n+3＝8n+6，b4n+4＝8n+7，
将b4n，b4n+1删去，得到cn，则c2n+1＝8n+3，c2n+2＝8n+6，
也即．
记，下面证明：．
由，，，
知：＝+＝8（4m2+m）﹣2+8（4m2+m+1）﹣5＝[2（4m）+1]2，
＝＝[2（4m+1）+1]2，
同理可得：＝[2（4m+2）+1]2，＝[2（4m+3）+1]2，
合并以上四式，便证明了对任意的k∈N*，都有（2k+1）2＝．
故每个大于1的奇平方数都是{cn} 中相邻两项的和．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
天数序号x
1
2
3
4
5
6
7
营业收入y
11
13
18
※
28
※
35
天数序号x
1
2
3
4
5
6
7
营业收入y
11
13
18
※
28
※
35
X
0
1
2
3
P