2024届新疆乌鲁木齐市第四十中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届新疆乌鲁木齐市第四十中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则
A．{－1，0，1}B．{0，1}C．D．{0}
【答案】D
【分析】分别解出M与N，求出两集合的交集即可．
【详解】∵M＝{x|x＝sin，n∈Z}＝{，0，}，
N＝{x|x＝cs，n∈N}＝{﹣1，0，1}，
∴M∩N＝{0}，
故选D．
【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由复数除法运算化简，再由复数线性运算及共轭复数即可求.
【详解】，∴.
故选：D
3．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（ ）
A．0B．1C．D．7
【答案】D
【分析】建立坐标系，可得的坐标，再由建立方程求解即可．
【详解】解：将向量放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，
则，
，
，
即，解得，
..
故选：D.
【点睛】本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．
4．函数在单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数为开口向上的抛物线，且对称轴为．
∵函数在单调递增，
∴，解得．
∴实数的取值范围是．选B．
5．已知双曲线与椭圆：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的标准方程为
A．B．C．D． 
【答案】C
【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．
【详解】由椭圆，得，，
则，
双曲线与椭圆的焦点坐标为，，
椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．
设双曲线的实半轴长为m，则，得，
则虚半轴长，
双曲线的方程是．
故选C．
【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察角的关系，用诱导公式化为，，展开后化简可得，用诱导公式，然后用余弦的二倍角公式可得．
【详解】由
，
所以
，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查诱导公式，两角和与差的正弦余弦公式、二倍解公式，同角间的三角函数关系，解题关键是确定角的联系，从而选用恰当的公式进行计算化简，本题属于中档题．
7．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】等价于等价于点为重心.
【详解】充分性：
等价于：
等价于：
等价于：
所以为的靠近的三等分点，所以点为重心；
必要性：若点为重心，由重心性质知，故
故选：C
8．计算下列几个式子，①,
②, ③ , ④ ，结果为的是
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】分别求出①②③④式的值，即可判断.
【详解】因为，则，
所以.则正确；
，则②正确；
，则③正确；
，则④不正确.
故选：．
二、多选题
9．甲､乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中环数如下：
下列说法正确的是（ ）
A．甲､乙成绩的中位数､众数､平均数均相同
B．甲成绩的标准差为4，乙成绩的极差为4
C．甲成绩的下四分位数为5，乙成绩的第70百分位数为7.5
D．若从甲､乙中选择一名参加比赛，应该选择乙
【答案】ACD
【分析】分别根据极差，中位数，平均数和方差的计算公式，以及百分位数的计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】甲成绩按从小到大排列：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，可知甲成绩的中位数为7.众数为7.平均数为，标准差为，因为，所以甲成绩的下四分位数为第三个数；
乙成绩按从小到大排列：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，可知乙成绩数的中位数为7，众数为7，平均数为，极差为，由，故乙成绩的第70百分位数是从小到大排列后的第7和第8个数的平均数，计算得7.5；乙得标准差为
故由上计算可得AC正确，甲成绩标准差为2，所以B错误，甲的标准差大于乙的标准差，故乙成绩更稳定，所以D对.
故选：ACD.
10．已知，，且.则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为1
C．D．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式以及导数证明不等式，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】因为，，且，所以.
选项A：，当且仅当，即，时取等号，故A正确；
选项B：由，当且仅当，时取等号，故B错误；
选项C：因为，，且，所以，得，当且仅当，时取等号，所以，故C错误；
选项D：因为，所以，所以，
令，，
则，易知在上单调递增，
因为，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，即，故D正确.
故选：AD
11．若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域内的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域内的任意，，当时，恒有，则称函数为“二维函数”．现给出下列四个函数：①；②；③；④，是“二维函数”的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BD
【分析】满足（i）函数为奇函数，满足（ii）函数在定义域内是减函数，逐个判断函数是否满足条件，即可得出结论.
【详解】函数同时满足：（ⅰ）对于定义域内的任意，
恒有，则为奇函数，
（ⅱ）对于定义域内的任意，，当时，
恒有，则在定义域内单调递减，
所以“二维函数”是在定义域内单调递减的奇函数.
①，在定义域内不具有单调性，不是“二维函数”；
②，是奇函数，
且在定义域单调递减，是“二维函数”；
③定义域为，不是奇函数，
不是“二维函数”；
④，
是奇函数，又单调递减，
单调递减，且在是连续的，
所以在上单调递减，是“二维函数”.
故选：BD.
12．在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（ ）
A．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥SO的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
【答案】ACD
【分析】求出圆锥母线l与底面圆半径r的关系，利用圆锥侧面展开图判断A；求出圆锥轴截面顶角的大小，计算判断B；求出圆锥外接球半径判断C；求出圆锥内切球半径，棱长为的正四面体外接球半径判断D作答.
【详解】依题意，，
对于A，当时，，，圆锥的侧面展开图，如图，
侧面展开图扇形弧长即为圆锥的底面圆周长，则，在中，由余弦定理得：
，即，A正确；
对于B，当时，有，令圆锥SO的轴截面等腰三角形顶角为，，
为钝角，令P，Q是圆锥SO的底面圆周上任意的不同两点，则，
则有的面积，当且仅当时取“=”，B不正确；
对于C，当时，，圆锥SO的外接球球心在直线SO上，圆锥的底面圆是球的截面小圆，而圆锥的高，
设外接球半径为R，则有，即，解得，其表面积为，C正确；
对于D，棱长为的正四面体可以补形成正方体，如图，
则正方体棱长，其外接球即正四面体的外接球直径为，球半径，
当时，，圆锥SO的内切球球心在线段SO上，圆锥的轴截面截内切球得大圆，是圆锥轴截面等腰三角形内切圆，
设其半径为，由三角形面积得：，解得，，
因此，半径为的球在圆锥SO内可以任意转动，
而棱长为的正四面体的外接球的半径为，
故棱长为的正四面体在半径为的球内可以任意转动，
所以当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
三、填空题
13．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 种（用数字作答）.
【答案】70
【分析】根据题意，分为两类：（1）甲型1台，乙型2台；（2）甲型2台，乙型1台，结合组合数的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，可分为两类：
（1）甲型1台，乙型2台，有种；
（2）甲型2台，乙型1台，有种，
由分类计数原理可得，不同的取法共有种.
故答案为：.
14．如图，在正三棱台中，上底面是边长为2的等边三角形，下底面是边长为4的等边三角形，侧面是高为3的等腰梯形，则该三棱台的体积为 .

【答案】/
【分析】根据题意求出三棱台的高，再根据棱台的体积公式，即可求得答案.
【详解】取中点为M，中点为N，连接，

设的中心分别为，连接，
过点M作于H，垂足为H，
则为正三棱台的高，且四边形为矩形，
则，，
则，而，
故，
则，，
故三棱台体积为，
故答案为：
15．已知，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当时，由得，可转化为当时，恰有个不同的零点，利用根的分布可得答案.
【详解】当时，，
所以由得，
所以当时，恰有个不同的零点，
令，则在时恰有个不同的零点，
可得，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上的一点，若直线与直线平行且的周长为，则双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出，利用直线与直线平行知，结合余弦定理即可求解.
【详解】由双曲线定义知，又
解得，
因为直线与直线平行，
所以，故，
由余弦定理得：
即，化简得，
解得或（舍去）.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.
四、解答题
17．已知在中，，.
（1）求证：
（2）设，求AB边上的高.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）由得，即，利用两角和的正弦公式展开，同理将用两角差的正弦公式展开，然后联立两式解得，，再把所得结果相除即可得到所证等式；
（2）过作，垂足为，则即为所求，利用可求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以
又，
以上两式联立解得，，
所以，即，
所以
（2）因为，所以，
过作，垂足为，则即为所求，
因为均为锐角，所以在边上，
因为，
所以，
所以，
所以，即AB边上的高为.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角和与差的正弦公式，属于中档题.
18．在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是的中点．
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，计算即可求证；
（2）取平面的法向量，由空间向量夹角公式计算与平面所成角的正弦值，进而可得所求的角的大小；
（3）求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，以为原点，分别以，所在直线为，轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
所以，，
所以，所以即.
（2）因为轴面，所以平面的法向量，，
设与平面所成角为，则，
因为，所以，直线与平面所成的角为．
（3），，，
设平面的法向量，
由，令，则，，
所以，
取平面的法向量，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19．已知函数，．
（1）若直线与的图象相切，求实数k的值；
（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设切点，由导数的几何意义及直线过定点可列方程，即可得解；
（2）设，转化条件为要使在上恒成立，对函数求导，设，按照、、分类，结合函数的单调性、即可得解.
【详解】（1）设切点为，因为，直线恒过点，
所以，所以即，
所以；
（2）设，
则要使在上恒成立，
，
设，
①当时，，函数在上单调递增，
又，所以当时，函数，不合题意；
②当时，的图象开口朝下，对称轴为，
当即时，，
所以当时，，，单调递减，
又，所以在上恒成立；
当即时，，
所以存在，使得当时，，，单调递增，
由可得当时，，不合题意；
综上，实数k的取值范围为.
【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及利用导数解决不等式恒成立问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
20．已知等差数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列公式直接解得答案.
（Ⅱ），，利用裂项求和计算得到答案.
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，得，解得
∴．
（Ⅱ），从而，
∴的前项和．
【点睛】本题考查了等差数列通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
21．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准.某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：
（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值.）
（1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率；
（2）从该甜品店的五种“网红甜品”中随机选取2种不同的甜品，求这两种甜品的单价相同的概率；
（3）假设每类甜品利润率不变，销售一份A甜品获利元，销售一份B甜品获利元，…，销售一份E甜品获利元，依据上表统计数据，随机销售一份甜品获利的期望为，设，试判断与的大小.
【答案】（1）（2）（3），见解析
【分析】（1）本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2的是甜品和甜品．共有1万份，代入古典概型的概率公式即可；
（2）计算每种甜品的销售单价可得，甜品与甜品的销售单价为20元，即有两种“网红甜品”单价相同，共有5种“网红甜品”，根据计数原理即可求出两种甜品的单价相同的概率；
（3）列出随机变量的所有可能的取值，分别求出每个值对应的概率，即可得到的分布列和期望，计算，比较即可．
【详解】（1）由题意知，本月共卖出3万份甜品，
利润率高于0.2的是A甜品和D甜品，共有1万份.
设“这份甜品利润率高于0.2”为事件A，则.
（2）用销售总额除以销售量得到甜品的销售单价，
可知A甜品与C甜品的销售单价为20元，
从五种“网红甜品”中随机选取2种不同的甜品共有种不同方法，
设“两种甜品的单价相同”为事件B，
则.
（3）由题意可得，x可能取的值为8，5，3，10，
，，
，，
因此；
又，
所以.
【点睛】本题考查了古典概型的概率，计数原理，排列组合，离散型随机变量的概率分布列与数学期望．属于中档题．
22．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）当时，记函数的所有单调递增区间的长度为，所有单调递减区间的长度为，证明：．（注：区间长度指该区间在轴上所占位置的长度，与区间的开闭无关．）
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，然后判断函数的单调性，最后求最值；
（2）根据（1）首先求函数的零点，从而去掉的绝对值，分段求函数的单调区间，最后再比较单调区间的长度.
【详解】解（1）因为，所以在单调递减，单调递增，
所以.
（2）由（1）可知，在单调递减，单调递增
又，，
所以存在，使得，
则当时，，当时，
所以，
记，
当时，，所以
在单调递增，在单调递减.
当或时，
当时即在单调递增.
因为，所以
则当时，令，有
所以当时，，在单调递减
综上，在与单调递减，在与单调递增.
所以，又
所以，即
【点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，属于中档题型，本题的一个难点是函数的零点，其中一个是，另一个不确定，只能估算其范围，设为，所以再求当或时，函数的单调区间时，也需估算比较的范围，确定时函数的减区间，这种估算零点存在性问题，是导数常考题型.
甲
7
8
7
9
5
4
9
10
7
4
乙
9
5
7
8
7
6
8
6
7
7
甜品种类
A甜品
B甜品
C甜品
D甜品
E甜品
销售总额（万元）
10
5
20
20
12
销售额（千份）
5
2
10
5
8
利润率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2