2023届新疆乌鲁木齐市第101中学高三下学期3月月考数学（理）试题含解析

这是一份2023届新疆乌鲁木齐市第101中学高三下学期3月月考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届新疆乌鲁木齐市第101中学高三下学期3月月考数学（理）试题 一、单选题1．若复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数的概念可得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：C2．下列说法错误的是 (　　)A．如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5B．一组数据的平均数一定大于其中每一个数据C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能相同D．一组数据的中位数有且只有一个【答案】B【分析】根据平均数、众数、中位数的概念即得.【详解】根据平均数、众数、中位数的概念可知，如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5，故A正确；一组数据的平均数不一定大于其中的每一个数，也可能相等，也可能小于，故B错误；一组数据的平均数、众数、中位数有可能相同，故C正确；一组数据的中位数有且只有一个，故D正确.故选：B．3．已知全集，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再求其补集【详解】因为，又全集，所以.故选：B4．某同学过18岁生日时，订了一个三层的蛋糕．已知该蛋糕三层均为高相等的圆柱形，且自上而下，三层蛋糕的半径分别为7，10，14．若该蛋糕的总体积为3450，则所需要长方体包装盒的体积至少为（    ）A．23520 B．7840 C．15880 D．19280【答案】A【分析】首先设每层蛋糕的高为，根据蛋糕的总体积为3450得到，再计算包装盒的体积即可.【详解】设每层蛋糕的高为，则蛋糕的体积，解得，所以包装盒的高至少为，且底面至少为边长28的正方形，则包装盒的体积至少为．故选：A5．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数的性质对比图象的特征，逐项排除即可得解.【详解】令函数，，且，函数为奇函数，故排除A；，故排除B；，，，故排除D.故选：C.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数单调性与奇偶性的应用，属于基础题.6．当时，函数取得最大值，则（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B. 7．在正三棱柱中, ,则与平面所成的角的正弦值为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D===，故选C．【解析】本题主要考查直线与平面所成角正弦值的求法．点评：熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（    ）()A．6平方米 B．9平方米 C．12平方米 D．15平方米【答案】B【解析】根据已知求出矢，弦，再利用已知公式求解.【详解】由题意可得：，，在中，可得：，，，可得：矢，由，可得：弦，所以：弧田面积（弦矢矢平方米．故选：B【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式、扇形面积公式及直角三角函数求解.9．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是其底面半径的（   ）倍A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为，分别表示出外接球的表面积和圆锥的侧面积，然后通过数量关系求得结果【详解】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为，则，母线长，圆锥的高为，圆锥的侧面积为，，，整理可得，则.故选：10．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为(　　)A． B． C．4 D．2【答案】D【分析】设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．11．函数在上的最小值为-2，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由对称性可知,只需讨论函数与轴最近的对称轴与的关系,分两种情况讨论即可.【详解】由关于原点对称可知,只需讨论函数函数与轴最近的对称轴与的关系即可.当时, 在轴左边最近的对称轴为,此时.当时, 在轴右边边最近的对称轴为,此时,因为故故故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数图像的性质与范围的问题,需要数形结合列出对应的表达式,属于中等题型.12．已知函数的最大值为，则等于(　　)A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得，然后利用导数与函数单调性的关系即得.【详解】∵，∴，∴，所以，，由，可得，由，可得，故在内单调递增，在内单调递减，故当时，函数有最大值.故选：B. 二、填空题13．如图，在边长为2的菱形中，为中点，则             ．【答案】1【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的定义即可求解.【详解】解：因为,,所以.故答案为：1.14．已知点，，若圆与以线段为直径的圆相外切，则实数的值是          ．【答案】【详解】，，则，中点为：.以线段为直径的圆圆心为，半径为. 圆与以线段为直径的圆相外切，所以圆心距.所以.故答案为.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况．判断两圆的位置关系时的常用方法是找两圆心距和两半径之和或差的关系．常考的题型是已知位置关系求参或者找公切线的条数．15．平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得     个不同的三角形.【答案】【分析】从12个点任选3点，其中如果是从共线的4点中选取的3点不能构成三角形，用排除法即可．【详解】由题意，故答案为216．【点睛】本题考查排除法在计数问题中的应用．有部分元素不符合要求时，可用排除法求解，即对所有元素选取然后排除在不符合要求的元素中选取的方法数即可．16．在中，，为的中点，，则面积的最大值为      .【答案】【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．【详解】设，，由于，在和中应用余弦定理可得：，整理可得：，结合勾股定理可得的面积：，当且仅当 时等号成立．则面积的最大值为．故答案为： 三、解答题17．已知数列中，，且 （1）求证：数列是等差数列；（2）令，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）对两边同除以，即可求证；（2）由（1）可得，即得，然后乘公比错位相减求和.【详解】（1）由得：，所以是以为首项，公差为的等差数列，（2）由（1）知，所以，所以①，②， ①减②得：， 所以【点睛】本题主要考查了利用递推公式求证等差数列，考查了乘公比错位相减求和，属于中档题.18．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，.（1）若是的中点，证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先证明，，再根据直线与平面垂直的判定定理可证结论；（2）在平面内过作交于，可证平面，再根据四棱锥的体积公式计算可得结果.【详解】（1）∵平面，∴.又∵是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又，是的中点，所以.又∵，平面.（2）在平面内过作交于，所以且平面，所以三棱锥的体积为.又∵三棱锥的体积等于三棱锥的体积，∴三棱锥的体积等于.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于中档题.19．哈尔滨红肠已有近百年历史，是哈尔滨特产，也是黑龙江特产的代表，深受广大民众的喜爱，哈尔滨红肠是用大兴安岭的老果木熏制而成的，因此它除了肉香还会散发着浓郁的果木香.某调查机构从年龄在岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买哈尔滨红肠进行调查，结果如下表：年龄/岁抽取人数182225278有意向购买红肠的人数81722244(1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关？ 年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买哈尔滨红肠的人数   无意向购买哈尔滨红肠的人数   总计   (2)用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买哈尔滨红肠的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关．(2)分布列见解析，． 【分析】（1）根据调查表即可完成列联表，再通过比较的观测值与5.024的大小关系，即可判断；（2）根据题意可知，，即可得到分布列以及数学期望．【详解】（1）由题可知， 年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买哈尔滨红肠的人数255075无意向购买哈尔滨红肠的人数151025总计4060100的观测值，所以有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关．（2）由题意可知，从年龄在的所有游客中随机抽取1人，打算购买哈尔滨红肠的概率为，所以，即．所以，X的分布列为0123.20．已知抛物线：上一点到焦点的距离为4，动直线交抛物线于坐标原点O和点A，交抛物线的准线于点B，若动点P满足，动点P的轨迹C的方程为．（1）求出抛物线的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程；（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②范围；③渐近线；④时，写出由确定的函数的单调区间．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【分析】(1)根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离列式求解即可.(2)求出的坐标,利用动点P满足,求出动点P的轨迹C的方程即可.(3)根据(2)中所得的方程直接得出结论即可.【详解】(1)由题意,,所以 所以抛物线的标准方程为(2)设,则与抛物线方程联立,可得,即,与联立,可得.因为,所以,所以,故,.消去可得 (3)由,可得①因为,,故关于轴对称；②范围：,则.即又当时, ,故,即或.故, ③因为分母为,故渐近线 ④当时,因为,所以由确定的函数为,即,当时,单调递减；当时,单调递增故在上递减,在上递增.综上所述,①关于轴对称②,③渐近线④时,由确定的函数在上递减,在上递增【点睛】本题主要考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求解等,属于中等题型.21．已知函数.（1）判定函数的单调性；（2）若，且，证明：.【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）详见解析.【分析】（1）求出，进而求出的解，即可求出结论；（2）由（1）得，要证不等式，只需证，即证，根据的单调性，只需证，构造函数，即可证明结论.【详解】（1），当，单调递增区间是，单调递减区间是；（2）令，则，故在上是增函数，，故，又，由得，且在区间上，若，则由在区间上递减得，，若，则由，且在是增函数，，化为.综上可得.【点睛】本题考查函数的单调性以及应用、证明不等式，分析法构造出函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算的能力，属于较难题.22．已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.（1）求点的轨迹方程；（2）设位于第一象限，以为直径的圆与轴相交于点，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，可利用坐标表示出，，由垂直关系的坐标表示可构造方程，整理得到所求的轨迹方程；（2）根据角度关系可确定直线方程，代入抛物线方程可求得点坐标，由两点间距离公式可求得结果.【详解】（1）设，则，，，，，点的轨迹方程（2）由题意知：，，，直线倾斜角为，则直线方程为，由得：或，点异于原点，，.23．已知x，y，z均为正实数，且．证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）运用基本不等式，可得，，三式相加，结合题设条件，即可求解；（2）由乘“1”法，结合柯西不等式证明，即可证明.【详解】（1）由基本不等式，可得，，，所以．当且仅当时等号成立，即，又由，所以．（2）由题意知，可得．当且仅当时等号成立，所以．【点睛】本题主要考查了不等式的证明，其中解答中合理运用均值不等式和柯西不等式是解答的关键，属于中档题．