2022-2023学年新疆乌鲁木齐市科信中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市科信中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={−1,0}，B={x|−2A. {−1}B. {−1,0}
C. {x|−22.已知x>0，则函数y=x−9x2的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
3.已知0A. B. C. D.
4.已知csα=−513，且α为第二象限角，则tanα=( )
A. −125B. −512C. −1213D. −1312
5.已知a=lg20.1,b=20.2,c=0.10.3，则( )
A. a6.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅(1470−1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )
A. 704cm2B. 352cm2C. 1408cm2D. 320cm2
7.设2a=5b=m，且1a+1b=2，则m=( )
A. 10B. 10C. 20D. 100
8.已知f(x)=x+3，g(x)=(x+1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，当x∈[−3,1]时，M(x)的值域为( )
A. [0,1)B. [0,1]C. [1,4)D. [1,4]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=x3B. f(x)=xC. f(x)=x12D. f(x)=x−1
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，c>d，则a+c>b+dB. 若a>b，c>d，则ac>bd
C. 若a>b，则ac2>bc2D. 若a11.下列说法正确的是( )
A. 命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是“∃x∈R，x2<−1”
B. 命题“∃x∈(−3,+∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(−3,+∞)，x2>9”
C. “|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
D. “m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件
12.已知函数f(x)=3sin(2x−π4)+1，下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)的周期是πB. 函数f(x)的图象关于直线x=π8对称
C. 函数f(x)的最小值是−2D. 函数f(x)的图象关于点(−7π8,0)对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是．
14.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(− 2,1)，则csα= ______ ．
15.已知幂函数f(x)的图象过点(2,4)，则f(−1)=______．
16.已知函数y=tan(2ax−π6)(a≠0)的最小正周期为π2，则a的值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；
(2)lg2 2+lg927+3lg316．
18.(本小题12分)
已知α是第四象限角．
(1)若csα= 55，求cs(α−π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cs(2π−α)的值；
(2)若5sin2α+5sinαcsα+1=0，求tanα的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)+1(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间：
(3)若x∈[0,π2]，求f(x)的最值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−1．
(1)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性并证明；
(2)若x∈[2,6]，求函数f(x)的最值．
21.(本小题12分)
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)={400x−12x2,0⩽x⩽40080000,x>400，其中x是仪器的月产量．(注：总收益=总成本+利润)
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(1−x)−lga(1+x)，其中a>0.且a≠1．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若f(35)=2，求使f(x)>0成立的x的集合．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由A={−1,0}，B={x|−2故选：A．
根据集合间的交集运算即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：x>0，函数y=x−9x2，
令x=1，y=−8<0，令x=2，y=−54<0，令x=3，y=2>0，
故函数y=x−9x2的零点所在区间为(2,3)，
故选：C．
根据零点存在定理，代值求解即可．
本题考查零点存在定理，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：当0f(x)=a−x=(1a)x在R上单调递增，
∴对应的图形为D，
故选：D．
根据指数函数和对数函数的单调性和a的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用指数函数和对数函数单调性的性质是解决本题的关键，比较基础．
4.【答案】A
【解析】解：∵csα=−513，且α为第二象限角，
∴sinα=1213，
则tanα=sinαcsα=−125．
故选：A．
由已知结合同角平方关系可求sinα，进而可求．
本题主要考查了同角基本关系的简单应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵a=lg20.120=1，c=0.10.3∈(0,1)，
∴a<0故选：C．
根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可．
本题考查指数值、对数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．
设∠AOB=θ，OA=OB=r，由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ，解得r，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】
解：如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r，
由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ，
解得：r=485，
所以，S扇面=S扇形OCD−S扇形OAB=12×64×(485+16)−12×24×485=704cm2．
故答案选：A．
7.【答案】A
【解析】解：1a+1b=lgm2+lgm5=lgm10=2，∴m2=10，又∵m>0，∴m= 10．
故选：A．
直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)−g(x)=x+3−(x+1)2=−(x+2)(x−1)，
因为x∈[−3,1]，
当−3≤x<−2时，f(x)−g(x)=−(x+2)(x−1)<0，f(x)所以M(x)=(x+1)2，
当−2≤x≤1时，f(x)−g(x)=−(x+2)(x−1)≥0，f(x)≥g(x)，
所以M(x)=x+3，
当−3≤x<−2时，M(x)=(x+1)2单调递减，所以M(−2)即1当−2≤x≤1时，M(x)=x+3单调递增，所以M(−2)≤M(x)≤M(1)，
即1≤M(x)≤4，
综上，1≤M(x)≤4，
即M(x)的值域为[1,4]．
故选：D．
两函数作差得f(x)−g(x)=−(x+2)(x−1)，分−3≤x<−2和−2≤x≤1讨论得到，再求出此分段函数值域即可．
本题以新定义为载体，主要考查了函数的性质的综合应用，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x)=x3的定义域为R，且f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数f(x)=x3在区间(0,+∞)上单调递增，故A正确；
对于B，函数f(x)=x的定义域为R，且f(−x)=−x=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，易知f(x)=x在(0,+∞)上单调递增，故B正确；
对于C，函数f(x)=x12的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，函数f(x)=x−1在区间(0,+∞)上单调递减，故D错误．
故选：AB．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数的单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，∵a>b，c>d，∴a+c>b+d，故A正确，
对于B，令a=1，b=−1，c=1，d=−1，满足a>b，c>d，但ac=bd，故B错误，
对于C，令c=0，则ac2=bc2，故C错误，
对于D，∵a故选：AD．
对于A，结合不等式的可加性，即可求解；对于BC，结合特殊值法，即可求解；对于D，结合作差法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，掌握作差法，特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是“∃x∈R，x2≤−1”不是“∃x∈R，x2<−1”，所以A错；
对于B，命题“∃x∈(−3,+∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(−3,+∞)，x2>9”，所以B对；
对于C，假设C对，即“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件，即x>y⇒|x|>|y|，
举反例：当x=−1，y=−2时，满足x>y，但|x|>|y|不成立，所C错；
对于D，“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件是Δ=(−2)2−4m>0且x1⋅x2=m<0，解得m<0，所以D对．
故选：BD．
A用全称命题的否定定义判断；B用特称命题的否定定义判断；C举反例判断；D用根的判别式和充要条件概念判断．
本题以命题真假判断为载体，考查了充分条件、必要条件、充要条件概念，考查了命题的否定问题，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：由题知f(x)=3sin(2x−π4)+1，
∴T=2πω=π，故选项A正确；
令2x−π4=π2+kπ,k∈Z，
解得：x=3π8+kπ2,k∈Z，
令k=−1,x=−π8，
令k=0,x=3π8，故选项B错误；
因为sin(2x−π4)∈[−1,1]，
所以f(x)min=−2，故选项C正确；
因为f(x)对称中心纵坐标为1，
故选项D错误．
故选：AC．
根据f(x)的解析式，由T=2πω可求其周期，令2x−π4=π2+kπ,k∈Z即可求对称轴，根据sin(2x−π4)∈[−1,1]，即可求最值，根据对称中心是令sin(2x−π4)=0，即可判断选项D正误．
本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
13.【答案】{x|x>0}
【解析】【分析】
本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，属于基础题．
根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可．
【解答】
解：要使函数有意义，则 x+1≠0x>0，
得 x≠−1x>0，
即x>0，
即函数的定义域为{x|x>0}，
故答案为：{x|x>0}．
14.【答案】− 63
【解析】解：由三角函数的定义可得csα=− 2 (− 2)2+12=− 63．
故答案为：− 63．
利用三角函数的定义可求出csα的值．
本题考查利用三角函数的定义求余弦值，解题的关键就是三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：∵幂函数的一般解析式y=xa，
∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,4)，
∴4=2a，解得a=2，
∴y=x2，
∴f(−1)=(−1)2=1，
故答案为：1．
根据幂函数的一般解析式y=xa，因为其过点(2,4)，求出幂函数的解析式，从而求出f(−1)．
此题主要考查函数的值，以及幂函数的性质及其应用，是一道基础题．
16.【答案】±1
【解析】解：函数y=tan(2ax−π6)(a≠0)的最小正周期为π2，
可得π|2a|=π2，解得a=±1，
故答案为：±1．
利用正切函数的周期公式列出方程求解即可．
本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．
17.【答案】解：(1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1
=[(0.3)3]−13−36+(34)0.75+1−13
=103−36+27+1−13=−5；
(2)lg2 2+lg927+3lg316
=12lg22+32lg33+16
=12+32+16=18．
【解析】(1)利用指数运算公式化简即可；
(2)利用公式lganbm=mn⋅lgab化简即可．
本题考查了指数运算及对数运算的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)α是第四象限角．sinα=− 1−cs2α=−2 55，
∴tanα=sinαcsα=−2，则原式=sinα+csα−2sinα+csα=tanα+1−2tanα+1=−15；
(2)∵5sin2α+5sinαcsα+1=0，∴sin2α+sinαcsα=−15，
∴sin2α+sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α+tanαtan2α+1=−15，∴tanα=−12或tanα=−13．
【解析】(1)利用同角关系式，诱导公式即可求值；(2)利用“齐次式”思想可求值．
本题考查三角函数同角函数关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由最小正周期公式得：2πω=π，故ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+π3)+1，
所以f(π6)=2sin(2×π6+π3)+1= 3+1．
(2)令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间是[π12+kπ,7π12+kπ],k∈Z．
(3)因为x∈[0,π2]，所以2x+π3∈[π3,4π3]，
当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)的最大值为3，
当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)的最小值为− 3+1．
【解析】(1)由最小正周期，求得ω，得到f(x)，再求f(π6)；
(2)整体代入法求函数的单调递减区间；
(3)由x的取值范围，得到2x+π3的取值范围，可确定最值点，算出最值．
本题考查正弦型函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=2x−1在(1,+∞)上单调递减．
证明如下：
设x1，x2是(1,+∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1−1−2x2−1=2(x2−x1)(x1−1)(x2−1)，
∵x10，
∵x1∈(1,+∞)，x2∈(1,+∞)，
∴(x1−1)>0，(x2−1)>0，
∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(1,+∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)=2x−1在[2,6]上单调递减，
当x=2时f(x)取最大值，则f(x)max=f(2)=2；
当x=6时f(x)取最小值，则f(x)min=f(6)=25．
【解析】本题考查了反比例函数的单调性，根据单调性的定义证明函数单调性的方法和过程，根据函数的单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和证明能力，属于基础题．
(1)可看出，f(x)在(1,+∞)上单调递减，根据减函数的定义证明：设x1，x2∈(1,+∞)，且x1f(x2)，从而得出f(x)在(1,+∞)上是减函数；
(2)根据(1)知f(x)在[2,6]上单调递减，并且可求出f(2)和f(6)，从而得出f(x)的最值．
21.【答案】解：(1)由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f(x)=Rx−100x−20000
=300x−12x2−20000,0≤x≤40060000−100x,x>400；
(2)当0≤x≤400时，
f(x)=300x−12x2−20000
=−12(x−300)2+25000，
∴当x=300时，f(x)有最大值25000；
当x>400时，f(x)=60000−100x是减函数，
∴f(x)<60000−100×400=20000<25000，
∴当x=300时，f(x)有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
【解析】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．
(1)根据利润=收益−成本，由已知分0≤x≤400和x>400两段求出利润函数的解析式；
(2)根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．
22.【答案】解：(1)由对数的性质可得1−x>0且1+x>0，解得−1(2)函数f(x)是奇函数，
理由：因为函数的定义域(−1,1)关于原点对称，
f(−x)=lga(1+x)−lga(1−x)=−[lga(1−x)−lga(1+x)]=−f(x)，所以f(x)是奇函数．
(3)若f(35)=2，则lga25−lga85=lga14=2，解得a=12，
所以f(x)=lg12(1−x)−lg12(1+x)，
若f(x)>0，则lg12(1−x)>lg12(1+x)，
所以x+1>1−x>0，
故不等式的解集为(0,1)．
【解析】(1)由对数的真数大于0，可得所求定义域；
(2)由函数的奇偶性的定义，判断可得结论；
(3)由对数的运算性质可得a的值，再由对数函数的单调性，解不等式可得所求取值范围．
本题考查函数的定义域和奇偶性、单调性和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

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