高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论优秀课后作业题

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题型一 平面的基本性质及辨析
1．（22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（19-20高二上·重庆沙坪坝·期末）自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（ ）
A．两条平行直线确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．不共线的三点确定一个平面
D．三点确定一个平面
3．（20-21高二下·上海松江·阶段练习）下列命题中是真命题的是（ ）
A．四边形一定是平面图形B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面
C．一个平面的面积可以为10km2D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面
4．（20-21高一下·全国·课时练习）关于平面的说法，正确的有（ ）
①平面是绝对平的且是无限延展的；
②平面的形状是平行四边形；
③三角形可以表示平面；
④某一个平面的面积为1 m2；
⑤8个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
题型二 空间位置的画法
1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（ ）
A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面
2．（16-17高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（19-20高一·全国·课时练习）下列图形中，满足α∩β=AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB的图形是（ ）
A．B．C．D．
4．（21-22高一·全国·课后作业）根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)A∈α，B∉α；
(2)l⊂α，m∩α=A，A∉l；
(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α．
题型三 四点共面
1．（20-21高一上·宁夏固原·期末）在正方体中，E、F、G、H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（21-22高二下·河南·阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（21-22高一·全国·课时练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则下列判断错误的是（ ）
A．A，C，O1，D1四点共面B．D，E，G，F四点共面
C．A，E，F，D1四点共面D．G，E，O1，O2四点共面
4．（2023·吉林·模拟预测）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M,O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．A,M,O三点共线B．M,O,A1,B四点异不共面
C．B,B1,O,M四点共面D．B,D1,C,M四点共面
题型四 多线共面
1．（22-23高一·全国·课堂例题）两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内．
已知：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C．求证：直线AB、BC、CA共面．

2．（20-21高一·全国·课时练习）求证：已知直线l与三条平行线a、b、c都相交（如图），求证：l与a、b、c共面．
3．（21-22高二·全国·课时练习）如图，已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，求证：直线AD，BD，CD共面．
4．（2020高一·全国·专题练习）已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.求证：直线AB，BC，AC共面.
题型五 三线共点
1．（2023高一·全国·专题练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别是B1C1和C1D1的中点．

证明：BE，DF，CC1三线共点．
2．（22-23高一下·陕西榆林·阶段练习）空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别在AB,BC,CD,AD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=AH:HD=3:1．

求证：EH,FG,BD三线共点．
3．（21-22高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱ABCP−A'B'C'P''．
(1)请在正四棱柱ABCP−A'B'C'P'中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；
(2)若Q、R分别为A'B'、B'C''中点，证明：AQ、CR、BB'三线共点．
4．（19-20高一下·海南海口·期中）如图，正方体ABCD−A'B'C'D'中，P，Q，R分别在棱AB，BB'，CC'上，且DP，RQ相交于点O.
（1）求证：DP，RQ，BC三线共点.
（2）若正方体的棱长为2，且P，R分别是线段AB，CC'的中点，求三棱锥O−PB'R的体积.
题型六 三点共线
1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,AA1上的点且D1F∩CE=M．求证：点D,A,M三点共线．

2．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.

(1)求证：EF//GH；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P,A,C三点共线.
3．（2023高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
4．（21-22高一下·安徽安庆·期中）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长AB=2，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点．
(1)直线A1C1交PN于点E，直线AC1交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线．
(2)求三棱锥D−MNP的体积．
题型七 平面分空间区域的数量
1．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）三个平面不可能将空间分成（ ）个部分
A．5B．6C．7D．8
2．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）若三个不同平面最少可将空间分为x部分，最多可将空间分为y部分，则y−x的值为 ．
3．（20-21高一下·河北唐山·阶段练习）三个平面将空间最多分成 部分（用数字回答）
4．（22-23高一·全国·随堂练习）如果3个平面把空间分成4部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？如果3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？画图说明．
题型八 截面问题
1．（22-23高一·全国·课时练习）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5条B．6条C．7条D．8条
2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点E在校AA1上，且AE=3.现过D,E,B1三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A．426B．517C．226D．5172
3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别为棱B1C1，CD上的动点（包含端点），当M，N分别为棱B1C1，CD的中点时，则过A1，M，N三点作正方体的截面，所得截面为 边形．

4．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=3,E,F分别是AB,BC的中点，过点D1,E,F的平面记为α，则平面α截直四棱柱ABCD−A1B1C1D1所得截面的面积为 .

题型九 体积表面积问题
1.（2023·全国·模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ）
A．2B．157C．177D．197
2．（22-23高一下·河南周口·期末）如图，已知四棱锥P−ABCD的体积为1，底面ABCD为平行四边形，E,F分别是PB,PC上的点，PE=EB，PF=2FC，平面AEF交CD于点G.

(1)求DGGC
(2)求四棱锥E−ABCG的体积.
3．（21-22高一下·湖南长沙·期中）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，E，F分别是BB1，B1C1上的点，且C1F=2B1F，BE=2B1E．
(1)证明：点F在平面AD1E内；
(2)若AA1=2AB=4，求三棱锥D−AD1E的体积．
4．（21-22高一下·湖北武汉·期中）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱DD1，BB1上的动点（异于所在棱的端点），DE=λDD1，B1F=λB1B，P，Q分别为直线AE，AF与面A1B1C1D1的交点.
(1)证明：点C1在直线PQ上；
(2)求多面体A1−AEC1F的体积.
1．（多选）（22-23高一下·贵州安顺·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD−A1B1C1D1时，为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开，需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l.则下列结论正确的是（ ）

A．l//DD1B．l//BB1
C．l与直线AA1相交D．l与直线CC1相交
2．（22-23高一下·福建三明·期末）已知正三棱柱木料ABC−A1B1C1各棱长都为2，如图所示，O1，O分别为△A1B1C1和△ABC的中心，Q为线段O1O上的点，且O1QQO=12，过A,B,Q三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．

3．（22-23高一下·安徽·期中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O1，B1D∩截面A1BC1=P.
(1)确定点P的位置；
(2)若AB=3，BC=4，CC1=6，求线段DP的长.