数学必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论练习题

这是一份数学必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列空间图形画法错误的是( )
A B C D
D [遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．]
2．给出下列四个说法，其中正确的是( )
A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内
B．三条平行直线共面
C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点
D．空间三点确定一个平面
C [对于A，线段AB在平面α内，则直线AB一定在平面α内，故A错误；
对于B，三条平行直线不一定共面，比如正方体AC1中，三条平行线AB，DC，A1B1不共面，故B错误；
对于C，两平面有一个公共点，则这两平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C正确；
对于D，空间中不共线的三点确定一个平面，故D错误．]
3．下图中正确表示两个相交平面的是( )
A B C D
D [A中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚线；B中不可见的线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画；D中交线及实、虚线均正确．故选D．]
4．(多选题)下列叙述中正确的是( )
A．若点P∈α，P∈β且α∩β＝l，则P∈l
B．空间中任意三点A，B，C能确定一个平面
C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面
D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α
ACD [选项A：由平面的基本事实3知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，所以选项A正确；选项B：由平面的基本事实1知，经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面，即当三点A，B，C不共线时，能确定一个平面，所以选项B错误；选项C：由平面的推论2知，两条相交直线，确定一个平面，所以选项C正确；选项D：由平面的基本事实2知，如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内，所以选项D正确．]
5．(多选题)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
ABD [选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错；A、B、D均正确．]
二、填空题
6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M l．
∈ [因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．]
7．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
36 [正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．]
8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，试根据图形填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝ ；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝ ；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝ ；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为 ．
[答案] (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
三、解答题
9．求证：三棱台A1B1C1­ABC三条侧棱延长后相交于一点．
[证明] 如图，延长AA1，BB1，
设AA1∩BB1＝P，
又BB1⊂平面BC1，
所以P∈平面BC1，
AA1⊂平面AC1，
所以P∈平面AC1，
所以P为平面BC1和平面AC1的公共点，
又因为平面BC1∩平面AC1＝CC1，
所以P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P．
10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由．
[解] 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，因为D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD．
又因为D1F⊂平面BED1F，
DA⊂平面ABCD，
所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD．
所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
所以连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．
11．(多选题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是( )
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
ABC [连接A1C1，AC，由于平面A1C∩平面C1BD＝OC1，故有C1，M，O三点共线，C1，M，O，C四点共面，C1，O，A，M四点共面，而D1，D，O，M四点不共面．]
12．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是其所在棱的中点，则这四个点不共面的图形是( )
A B C D
D [在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR．即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D．]
13．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线 上．
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线 上．
(1)BD (2)AC [(1)若EH∩FG＝P，
那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD．
(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．]
14．以下说法中，正确说法的序号是 ．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
① [①正确，若四点中有三点共线，则可以推出四点共面，这与四点不共面矛盾；②不正确，共面不具有传递性；③不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内．]
15．正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：
(1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？
(2)若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面与正方体的截面？
(3)若正方体的棱长为a，那么(2)中的截面面积是多少？
[解] (1)直线EF，GH，DC能交于一点．理由如下：如图(1)，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P．由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝eq \f(1,2)AB．同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝eq \f(1,2)C1D1＝eq \f(1,2)AB．所以点P1与点P重合．因此直线EF，GH，DC能交于一点．
图(1)
(2)如图(2)，延长HG交DD1的延长线于点R，延长FE交DA的延长线于点Q，
图(2)
则点R，Q是截面所在平面与平面ADD1A1的公共点，连接RQ，与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE．截面如图中的阴影部分所示．
(3)截面为正六边形，其面积为6×eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))eq \s\UP12(2)＝eq \f(3\r(3),4)a2．