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    【新教材精创】11.2 平面的基本事实与推论 教学设计(2)-人教B版高中数学必修第四册
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    数学必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论教学设计

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    这是一份数学必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论教学设计,共12页。教案主要包含了情境与问题,达标检测,小结,课时练等内容,欢迎下载使用。

    11.2 平面的基本事实与推论 

    本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四(人教B版)第十一章《11.2 平面的基本事实与推论》, 本节课要学的内容为平面的三个基本事实及其推论。引导学生由简单的生活经验出发,通过观察分析归纳出三个平面的基本事实,让学生经历尝试与探究的过程,进行分析与推理,从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。

    课程目标

    学科素养

    A.掌握平面的画法及表示方法.

    B.掌握平面的基本事实及推论.

    C.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实,并能解决空间线面的位置关系问题.

     

    1.数学抽象:平面的三个基本事实

    2.逻辑推理:对平面三个基本事实的运用

    3.直观想象: 熟悉基本的空间图形

    4.数学建模: 证明点共线与线共面

    1.教学重点:掌握平面的基本事实及推论;

    2.教学难点:能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实,并能解决空间线面的位置关系

    问题

    多媒体

    教学过程

    教学设计意图

    核心素养目标

    一、情境与问题

    前面我们通过几何体的学习,已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系,从本节开始,我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系,以期进一步培养大家的空间想象能力和逻辑能力。

        观察如图11-2-2,的凳子,把凳子看成一个平面,思考
    1)如果把一个平面固定在空间中,至少需要固定几个点?
    2)有多少个平面能通过空间中指定的一点?有多少平面能通过空间中指定制定的两点?

    基本事实1    经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面。

         结合图11-2-3思考,直线上至少已知几个点在某平面内时,就能确保直线在该平面内?

    1.平面的基本事实

    公理

    内容

    图形

    符号

    作用

    基本事实1

    经过不在一条直线上的  3个点

        ,有且只有一个平面

    ABC三点不共线存在唯一的平面α使ABCα

    确定平面的依据;判定点、线共面

     

     

    尝试与发现:这就是说,如果,那么直线,如图11-2-4所示。

     

    基本事实2    如果一条直线上的2个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。

     

    基本事实2

    如果一条直线上的  两个点

        在一个平面内,那么这条直线在这个平面内

    AαBα直线ABα

    判定直线是否在平面内

     

    如图11-2-6所示,当用裁纸刀裁纸时,可以认为刀锋是在一个平面内运动的。

    1)裁纸刀裁出的是什么样的痕迹?

    2)两个平面相交时,公共点具有什么特点?

    基本事实3    如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

     

     

    基本事实3

    如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条    过该点的公共直线

    Pα,有Pβαβl,且Pl

    判定两个平面相交的依据;判定点在直线上

     

    2.平面基本事实的推论

    推论1 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面()

    推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面()

    推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面()

    1.证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.

    已知:如图所示,

    .

    求证:直线在同一平面内.

    证明:方法一(纳入法)

    确定一个平面.

    .

    .同理可证.

    直线在同一平面内.

    方法二(同一法)

    确定一个平面.确定一个平面.

    ..

    同理可证.

    不共线的三个点既在平面内,又在平面然.

    平面重合,即直线在同一平面内.

     

    证明点、线共面问题的常用方法

    1.先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用纳入法

    2.先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面αβ重合,即用同一法

    3.假设不共面,结合题设推出矛盾,用反证法

    2 如图所示,正方体中,分别为的中点,画出平面和平面的交线.

    【答案】见解析

    【解析】如图所示,在平面内延长,交的延长线于一点,则平面.因为平面,所以平面,所以是平面-与平面的一个公共点.又是两平面的一个公共点,所以为两平面的交线.

     

     

     

    通过对生活简单事实出发,通过观察分析归纳出平面基本事实发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过观察分析,归纳平面基本事实,并能进行简单的推理论证发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过典例分析,提高学生对平面基本事实的理解,提升推理论证能力,提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    三、达标检测

    1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)三点可以确定一个平面.  (  )

    (2)一条直线和一个点可以确定一个平面. (  )

    (3)四边形是平面图形.  (  )

    (4)两条相交直线可以确定一个平面. (  )

    [解析] (1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.

    (2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.

    (3)错误.四边形不一定是平面图形.

    (4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.

    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

    2.在下列各种面中,不能被认为是平面的一部分的是(  )

    A.黑板面     B.乒乓球桌面

    C.篮球的表面 D.平静的水面

    C [篮球的表面是曲面,不能认为是平面的一部分.]

    3.设平面α与平面β交于直线lAαBα,且直线ABlC,则直线ABβ________.

    C [αβlABlCCβCABABβC.]

    4.如图,三个平面αβγ两两相交于三条直线,即αβcβγaγαb

    若直线ab不平行.

    求证:abc三条直线必过同一点.

    [证明] αγbβγaaγbγ.

    由于直线ab不平行,

    ab必相交.

    abP,如图,则PaPb.

    aβbαPβPα.

    αβcPc,即交线c经过点P.

    abc三条直线相交于同一点.

    5.如图所示,四边形ABCD中,已知ABCDABBCDCAD(或延长线)分别与平面α相交于EFGH,求证:EFGH必在同一直线上.

    [证明] 因为ABCD,所以ABCD确定平面AC,因为ABαE,所以E平面ACEα,由基本事实3可知,E必在平面AC与平面α的交线上.同理FGH都在平面AC与平面α的交线上,因此EFGH必在同一直线上.

     

     

     

    通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。

     

     

     

     

    四、小结

    1.三个基本事实的作用

    基本事实1——判定点共面、线共面的依据;

    基本事实2——判定直线在平面内的依据;

    基本事实3——判定点共线、线共点的依据.

    2.证明几点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上.

    五、课时练

     

     

    通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。

     

    本课以生活中的简单实验出发,引导学生观察分析,归纳出平面的基本事实。并能进行简单的推理论证。从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。教学中要注重学生的主体地位,调动学生积极性,使数学教学成为数学活动的教学。

     

     

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