人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论一等奖作业课件ppt

11.2　平面的基本事实与推论

1．平面的基本事实

2．平面基本事实的推论

推论1　经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．

1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为    (　　)

A．平面MN　　　 B．平面NQ

C．平面α D．平面MNPQ

A　[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.]

2．能确定一个平面的条件是(　　)

A．空间三个点  B．一个点和一条直线

C．无数个点   D．两条相交直线

D　[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]

3．如图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.

[答案]　∈　　　AC

【例1】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．

[证明]　因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．

所以AB，CD必定相交于一点．

设AB∩CD＝M.

因为ABα，CDβ，所以M∈α，M∈β.

所以M∈α∩β.

又因为α∩β＝l，所以M∈l.

即AB，CD，l共点(相交于一点)．

证明线共点问题的方法

1．方法1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．

2．方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．

1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：

(1)E，F，H，G四点共面．

(2)EG与HF的交点在直线AC上．

[证明]　(1)因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD.

因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH.

所以E，F，H，G四点共面．

(2)因为G，H不是BC，CD的中点，

所以EF∥GH，且EF≠GH，

所以EG与FH必相交，设交点为M，

因为EG平面ABC，HF平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，因为平面ABC∩平面ACD＝AC，

所以M∈AC，

所以EG与HF的交点在直线AC上.

【例2】　已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．

[思路探究]　四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．

[解]　已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．

证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵Od，

∴经过d与点O有且只有一个平面α.

∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，

∴A、B、C三点在平面α内．

由基本事实1知a、b、c都在平面α内，

故a、b、c、d共面．

(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，

∵a∩b＝A，

∴经过a、b有且仅有一个平面α，

∴B、C∈α.由基本事实1知cα.

同理，dα，从而有a、b、c、d共面．

综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．

证明点、线共面问题的常用方法

1．先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．

2．先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．

3．假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．

2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．

[解]　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：直线a，b，c，l共面．

证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故lα.

又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.

同理可证lβ，∴α∩β＝a且α∩β＝l.

∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，

故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．

法二：由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内．

同理可证c在a、l确定的平面α内．

∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.

[探究问题]

1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？

[提示]　如图，连接BD1，

∵A1C∩平面ABC1D1＝E，

∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.

∵A1C平面A1BCD1，

∴E∈平面A1BCD1.

2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？

[提示]　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．

【例3】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．

[解]　因为MN∩EF＝Q，

所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，

又因为M∈直线CD，N∈直线AB，

CD平面ABCD，AB平面ABCD.

所以M，N∈平面ABCD，

所以MN平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.

同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.

又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．

点共线的证明方法

方法1：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上．

方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上．

3．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

[证明]　因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．

1．三个基本事实的作用

基本事实1——判定点共面、线共面的依据；

基本事实2——判定直线在平面内的依据；

基本事实3——判定点共线、线共点的依据．

2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)三点可以确定一个平面．  (　　)

(2)一条直线和一个点可以确定一个平面． (　　)

(3)四边形是平面图形．  (　　)

(4)两条相交直线可以确定一个平面． (　　)

[解析]　(1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．

(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．

(3)错误．四边形不一定是平面图形．

(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是(　　)

A．黑板面　　　　 B．乒乓球桌面

C．篮球的表面 D．平静的水面

C　[篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分．]

3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.

C　[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]

4．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．

求证：a，b，c三条直线必过同一点．

[证明]　∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ.

由于直线a和b不平行，

∴a、b必相交．

设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.

∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.

又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.

∴a，b，c三条直线相交于同一点．