数学2.1 坐标法当堂检测题

这是一份数学2.1 坐标法当堂检测题，共14页。

知识点01数轴上的基本公式
如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则
(1)向量AB的坐标为x2-x1;
(2)|AB|=|AB|=|x2-x1|;
(3)x=x1+x22.
【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上，已知A3，B-1，则AB= ；AB的中点的坐标为 .
【答案】 4 1
【分析】利用数轴上的距离公式和中点公式，即得解
【详解】由题意，AB=|-1-3|=4，AB的中点的坐标为3-12=1
故答案为：4，1
【即学即练2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（ ）
A．4,-6B．-4,-6C．6,-4D．-6,-4
【答案】A
【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标.
【详解】因为点M在第四象限，
所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，
所以点M的坐标为(4，-6) .
故选：A
知识点02平面直角坐标系中的基本公式
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则
(1)AB=(x2-x1,y2-y1);
(2)|AB|=|AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2
(3)x=x1+x22，y=y1+y22
【即学即练3】（22-23高一下·北京·期中）已知点A1,1，B-1,5，则线段AB中点C的坐标为 .
【答案】(0,3)
【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.
【详解】点A1,1，B-1,5，所以线段AB中点C的坐标为(0,3).
故答案为：(0,3)
【即学即练4】（20-21高二上·上海·课后作业）已知△ABC的顶点A(1,2)和重心G(3,4)，则BC上的中点坐标是 ．
【答案】(4,5)
【分析】根据中点坐标公式以及重心坐标公式求得结果.
【详解】设B(x1,y1),C(x2,y2)，则由重心坐标公式得x1+x2+13=3y1+y2+23=4∴x1+x2=8y1+y2=10
再由中点坐标公式得BC上的中点坐标是(x1+x22,y1+y22)=(4,5)
故答案为：(4,5)
【点睛】本题考查中点坐标公式以及重心坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
难点：含参问题
示例1：（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点P(a,-b),Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称，则ab＝ .
【答案】-14
【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果.
【详解】由题意知a+b+12=3a-b-12=4，即a+b=5a-b=9，解得a=7b=-2，故ab=-14.
故答案为：-14
【题型1：两点间的距离公式】
例1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上A(-2),B(10)，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标．
【答案】12;(4)
【分析】根据数轴上表示的点的几何意义直接求得答案.
【详解】数轴上A(-2),B(10)两点之间的距离为|AB|=|10-(-2)|=12 ,
它们的中点坐标为10+(-2)2=4 ，故中点坐标为（4）.
变式1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P到A(-9)的距离是它到B(-3)的距离的2倍，求点P的坐标．
【答案】-5或3
【分析】设点P(x)，可得|x-(-9)|=2|x-(-3)|，求解即可
【详解】由题意，设点P(x)
故|x-(-9)|=2|x-(-3)|
即(x+9)2=4(x+3)2⇒x2+2x-15=(x+5)(x-3)=0
解得：x=-5或3
故点P的坐标为-5或3
变式2．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上，A(-1),B(x)，且AB=3，求x的值.
【答案】2
【分析】根据数轴上两点数量的坐标表示，即可求解.
【详解】因为数轴上A(-1),B(x),且AB=3,
所以AB=x-(-1)=3，
解得：x=2.
变式3．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d．
（1）若AC=5，求c的值；
（2）若|BD|=6，求d的值；
（3）若AC=-3AD，求证：3CD=-4AC．
【答案】（1）c=1；（2）d=4或d=-8；（3）见解析
【分析】（1）由AC=5，根据向量的坐标运算，得到c-(-4)=5，即可求解；
（2）由|BD|=6，得到|d-(-2)|=6，即可求解；
（3）由AC=c+4，AD=d+4，AC=-3AD，得到c=-3d-16，分别求得3CD和-4AC的坐标，即可求解.
【详解】由题意，数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d，
（1）因为AC=5，所以c-(-4)=5，解得c=1．
（2）因为|BD|=6，所以|d-(-2)|=6，即d+2=6或d+2=-6，解得d=4或d=-8．
（3）因为AC=c+4，AD=d+4，AC=-3AD，
所以c+4=-3(d+4)，即c=-3d-16，
所以3CD=3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48，
所以-4AC=-4[c-(-4)]=-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48，
所以3CD=-4AC．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式4．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别求点A的坐标x1．
（1）x2=-5，BA的坐标为-3；
（2）x2=-1，|AB|=2．
【答案】（1）x1=-8；（2）x1=1或x1=-3
【分析】（1）由向量BA的坐标为x1-(-5)=-3，即可求解；
（2）由|AB|=-1-x1=2，即可求解.
【详解】由题意，数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，
（1）由向量BA的坐标为x1-(-5)=-3，所以x1=-8．
（2）由|AB|=-1-x1=2，解得x1=1或x1=-3．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式5．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则|AB|=（ ）
A．-3B．3C．6D．-6
【答案】B
【分析】根据数轴上向量的坐标表示，求得向量的坐标，即可求解.
【详解】由题意，-1-(-4)=3．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式6．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，|AB|=5，|AC|=2，则点C的坐标为 ．
【答案】-4或0或6或10
【分析】设A，C的坐标分别为xA，xC，根据数轴上向量的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，设A，C的坐标分别为xA，xC，
则|AB|=3-xA=5或|AB|=xA-3=5，∴xA=-2或xA=8，
∴|AC|=xC-xA=xC-(-2)=2，或|AC|=xC-xA=xC-8=2，
或|AC|=xA-xC=-2-xC=2，或|AC|=xA-xC=8-xC=2，
解得xC=0或xC=10或xC=-4或xC=6．
故答案为：-4或0或6或10
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
【方法技巧与总结】
对两点间距离公式的几点说明
（1）公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2
（2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广.
（3）若B点为原点，则AB=|OA|=x2+y2
（4）若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1|
(5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1|
【题型2：中点坐标公式的应用】
例2.（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(-2)，则3OA+4OB的坐标为
A．17B．1C．-1D．-17
【答案】B
【分析】先求得OA的坐标为3，向量OB的坐标为-2，进而可求解3OA+4OB的坐标，得到答案.
【详解】由题意，可得OA的坐标为3，向量OB的坐标为-2，
所以向量3OA+4OB的坐标为3×3+4×(-2)=1．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以O0,0，A1,1，B3,0为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．-3,1B．4,1C．-2,1D．2,-1
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设第四个顶点为Cx,y，
当OA是对角线时，则有0+12=3+x20+12=0+y2⇒C-2,1，
当OB是对角线时，则有0+32=1+x20+02=1+y2⇒C2,-1，
当OC是对角线时，则有0+x2=1+320+y2=1+02⇒C4,1，
故选：A
变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知A-1,2，B3,-4，则线段AB的中点坐标为( )
A．1,-1B．-2,3C．2,-3D．12,-12
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由A-1,2，B3,-4，
利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标(-1+32,2+(-4)2)，即(1,-1).
故选：A.
变式3．（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段AB的端点A3,4及中点O0,3，则点B的坐标（ ）
A．32,72B．-3,2C．3,2D．3,10
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式计算即可.
【详解】设B(x,y) ，AB的端点A3,4及中点O0,3，则0=3+x23=4+y2 ，解得：x=-3y=2，故点B的坐标为-3,2.
故选：B.
变式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知A=(3,-2)，B=(-1,2)，则线段AB中点的坐标为（ ）
A．(1,2)B．(2,0)C．(12,2)D．(1,0)
【答案】D
【解析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由A=(3,-2)，B=(-1,2)，
则线段AB中点的坐标为(1,0).
故选：D
变式5．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b= .
【答案】0
【分析】由中心对称的含义即得.
【详解】∵点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，
∴b+4=2×2，即b=0.
故答案为：0.
变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P3,-2，Q1,6，R-4,2，则顶点A的坐标为 ．
【答案】(-2,-6)
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，
因为△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P3,-2，Q1,6，R-4,2，
由中点坐标公式可得，x1+x2=6x1+x3=-8x2+x3=2，y1+y2=-4y1+y3=4y2+y3=12，解得，x1=-2，y1=-6，
故顶点A的坐标为(-2,-6).
故答案为：(-2,-6).
变式7．（20-21高一·全国·课后作业）若A-92,-7，B(2,6)是平行四边形ABCD的两个顶点，AC与BD交于点E3,32，则C，D的坐标分别为 .
【答案】212,10/10.5,10，(4,-3)
【分析】利用E为AC,BD的中点，以及中点坐标公式，即得解
【详解】由题意，E为AC,BD的中点，不妨设C(x,y),D(a,b)
由中点坐标公式：
-92+x2=3-7+y2=32∴x=212y=10，即C212,10
2+a2=36+b2=32∴a=4b=-3，即D4,-3
故答案为：212,10，(4,-3)
变式8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点坐标分别为A(-1,-2),B(3,0),C(5,6)，求D点坐标．
【答案】(1,4)
【分析】根据平行四边形的图像性质，平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设D(x,y)，在▱ABCD的三个顶点坐标分别为A(-1,-2),B(3,0),C(5,6)，
根据平行四边形的对角线互相评分，可得-1+52=3+x2-2+62=0+y2，解得x=1,y=4，
所以D点的坐标是(1,4)．
【方法技巧与总结】
中点公式的两个应用
（1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量.
（2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点.
一、单选题
1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点A(8,10),B(-4,4)，则线段AB的中点坐标为（ ）
A．(2,7)B．(4,14)C．(2,14)D．(4,7)
【答案】A
【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.
【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为8-42,10+42，即2,7.
故选：A.
2．（2020高三·全国·专题练习）点P(3，2)关于点Q(1，4)的对称点M为（ ）
A．(1，6)B．(6，1)
C．(1，-6)D．(-1，6)
【答案】D
【解析】设M(x,y)，则由中点坐标公式可得3+x2=1，2+y2=4，解出x,y，从而可得点M的坐标
【详解】设M(x,y)，则3+x2=1，2+y2=4，∴x=-1，y=6，
∴点M(-1，6)，
故选：D.
3．（19-20高二·全国·课后作业）已知线段AB的中点为坐标原点，且A(x,2),B(3,y)，则x+y等于（ ）
A．5B．-1C．1D．-5
【答案】D
【分析】直接根据中点坐标公式可得x=-3,y=-2，即可得答案；
【详解】∵ 0=x+32,0=y+22,⇒ x=-3,y=-2，故x+y=-5.
故选：D.
【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题.
4．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(-a)，且AB的坐标为4，则a=（ ）
A．-1B．-7C．4D．-4
【答案】B
【分析】根据数轴上的向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量AB的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，
即-a-3=4，解得a=-7．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示，其中解答中熟记数轴上的向量的表示方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
5．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(-1)，则向量AB的坐标为
A．4B．-4C．±4D．2
【答案】B
【分析】根据向量的运算AB=OB-OA，结合数轴行向量的坐标表示，即可求解.
【详解】由题意，根据向量的运算AB=OB-OA，
所以向量AB的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标，即-1-3=-4．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及数轴上向量的坐标表示，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、多选题
6．（20-21高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（ ）
A．MN的坐标=NM的坐标B．MP=10
C．PN的坐标=-4D．MP的坐标=10
【答案】BC
【分析】已知点坐标，结合向量坐标的表示及模的坐标计算，判断各选项的正误.
【详解】数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故MN坐标≠NM坐标，A不正确；
数轴上两点间的距离一定是非负的，|MP|=|MP|=|-2-8|=10，B正确；
PN的坐标=-6-(-2)=-4，C正确；
MP的坐标=-2-8=-10，D不正确.
故选：BC.
7．（17-18高二·全国·课后作业）（多选题）对于x2+2x+5，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点x,0与点1,2的距离
B．可看作点x,0与点-1,-2的距离
C．可看作点x,0与点-1,2的距离
D．可看作点x,-1与点-1,1的距离
【答案】BCD
【分析】化简x2+2x+5= (x+1)2+(0±2)2=(x+1)2+(-1-1)2，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，可得x2+2x+5=(x+1)2+4= (x+1)2+(0±2)2=(x+1)2+(-1-1)2，
可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离，可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离，可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离，故选项A不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.
三、填空题
8．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点P-4,6，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，|AB|= .
【答案】413
【分析】设Aa,0，B0,b，利用中点坐标公式即可得出a，b，
【详解】设Aa,0，B0,b，
∵P为AB中点，∴-4=a+026=b+02，
解得a=-8，b=12，
即A-8,0，B0,12，
所以|AB|=OA2+OB2=413
故答案为：413.
9．（19-20高二·全国·课后作业）已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则△ABC中AB边上的中线长|CM|= ，△ABC的面积为 ．
【答案】 22 4
【解析】由中点坐标公式，可求出点M的坐标，进而利用两点间距离公式可求出|CM|，计算可知|AC|=|BC|，即△ABC为等腰三角形，由S△ABC=12|AB|⋅|CM|，求解即可.
【详解】设AB的中点M的坐标为(x,y)，则{x=1+32=2y=3+12=2，
即M的坐标为(2,2)，则|CM|=22+22=22.
又|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22，
|AC|=12+32=10，|BC|=32+12=10，
所以|AC|=|BC|，即△ABC为等腰三角形，
所以CM为底边上的高，且S△ABC=12|AB|⋅|CM|=12×22×22=4.
故答案为：22；4.
【点睛】本题考查三角形的中线及三角形的面积，考查坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
四、解答题
10．（21-22高二·全国·课后作业）已知A(3,1),B(-2,2)，在y轴上的点P满足PA⊥PB，求P的坐标．
【答案】(0,4) 或(0,-1)
【分析】设出点P坐标，根据PA⊥PB列出方程，解方程可得答案.
【详解】由题意可设点P坐标为(0,y0) ，
由PA⊥PB得：|PA|2+|PB|2=|AB|2 ,
即9+(y-1)2+4+(y-2)2=(3+2)2+(1-2)2 ，
解得y=4 或y=-1 ，
故P的坐标 为(0,4) 或(0,-1).
11．（21-22高二·全国·课后作业）在数轴上，对坐标分别为x1和x2的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A,B)=x1-x2．
(1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)．
(2)设A和B两点的坐标分别为-3和2，分别找出（1）中不等式等号成立和等号不成立时点C的范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)等号成立，点C的范围是[-3,2]；等号不成立，点C的范围是(-∞,-3)∪(2,+∞)
【分析】（1）讨论点C与A和B两点的位置关系，根据绝对值定义的两点间的距离，可以证明结论；
（2）由（1）的证明过程可得等号成立或不成立时的点C的位置情况，由此可得答案.
【详解】（1）证明：设A(x1),B(x2),C(x3) ，
不妨设x1x2时，也有上述结论成立，
综合上述; d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C);
（2）当A和B两点的坐标分别为-3和2时，
由（1）的证明可知，当点C位于A和B两点之间或者与A和B两点重合时，等号成立，
此时点C的范围是[-3,2] ,
当点C位于A和B两点之外时，等号不成立，此时点C的范围是(-∞,-3)∪(2,+∞).
课程标准
学习目标
1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、
2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式、
3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性
重点:两点间的距离公式和中点坐标公式
难点:坐标法在解决几何问题中的运用