高中人教B版 (2019)2.1 坐标法一等奖ppt课件
展开2.1 坐标法
本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》,本节课主要学习坐标法。
在初中学习数轴及平面直角坐标系的基础上,通过两点间距离公式的推导,体会坐标法的初步运用,并在这一过程中,进一步体会数形结合的思想,形成用代数的方法解决几何问题的能力。
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一。
课程目标 | 学科素养 |
A. 理解实数与数轴上的点的一一对应关系. B.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式. C.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性. | 1.数学抽象:点与坐标的对应关系 2.逻辑推理:两点间的距离公式 3.数学运算:两点间距离公式的运用 4.数学建模:运用距离公式解决基本问题 |
重点:两点间的距离公式和中点坐标公式
难点:坐标法在解决几何问题中的运用
多媒体
教学过程 | 教学设计意图 核心素养目标 |
一、 情境导学 给定一个平面,选定原点建立平面直角坐标系后,平面内点的位置可以用坐标来刻画。此时,平面内的直线是否可以通过直线上点的坐标来刻画?平面内其他几何对象能否也用类似的方法来描述?这些都是本章我们要探讨的问题,利用点的坐标来刻画几何对象,研究几何对象的性质以及探讨几何对象之间的关系,是解析几何的内容。 二、探究新知 1.数轴上的基本公式 (1)数轴的定义 给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的. (2)数轴上的基本公式 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1,记作A(x1)),且B(x2),则向量的坐标为x2-x1,数轴上两点之间的距离公式|AB|=||=|x2-x1|. 如果M(x)是线段AB的中点,则=.数轴上的中点坐标公式x=. 1.如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等.( ) 答案:√ 2.数轴上A,B,C的坐标分别为-6,4,2,则的坐标为 ,|BC|= ,||= . 答案:-8 2 2 2.平面直角坐标系中的基本公式 (1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式: 3.已知点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标. 解:设点P(x,0),则|PA|==13, 解得x=9或x=-1.所以点P的坐标为(9,0)或(-1,0). 4. P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标是什么? 解析:P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y). 5.若△ABC三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的 答案:× 例1 已知点A(a,3),B(3,3a+3)之间的距离为5,求a的值. 解:因为x1=a,y1=3,x2=3,y2=3a+3, 所以|AB|===5, 即(a-3)2+(3a)2=25,展开得a2-6a+9+9a2=25, 所以10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0, 解得a=-1或a=,因此a的值为-1或. 例2 已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为? 分析:由两点之间的距离公式可以表示出|AB|,而|AB|=5,可得关于a的方程,解方程即可求出a的值. 解析:如图,作点(1,3)关于x轴的对称点A'(1,-3), 连接A'B交x轴于点P.可知|A'B|即为|AP|+|PB|的最小值, 而|A'B|=. 故|AP|+|PB|的最小值为. 1.距离公式还可以变形为|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2. 2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解. 例3 已知△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标. 分析:由于AC,BC的中点的连线为△ABC中位线,应与底边AB平行.又因为边AB与x轴、y轴均不平行,所以两中点不会在同一条坐标轴上.根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解. 解:设点C的坐标为(x,y),边AC的中点为D,BC的中点为E, 则DE =AB. 因为AB与坐标轴不平行,所以D,E两点不可能都在x轴或y轴上. 线段AC的中点D的坐标为, 线段BC的中点E的坐标为. 若点D在y轴上,则=0,即x=-3,此时点E的横坐标不为零,点E要在坐标轴上只能在x轴上,所以=0,即y=-5,所以C(-3,-5). 若点D在x轴上,则=0,即y=-7,此时点E的纵坐标不为零,点E只能在y轴上,所以=0,即x=2,此时C(2,-7). 综上可知,符合题意的点C的坐标为(-3,-5)或(2,-7). 1.对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识 (1)从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意两个量,就可以求出第三个量. (2)从图像上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点. 2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键. 跟踪训练1 已知A(x,5)关于C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( ) A.4 B. C. D. 解析:因为C为AB的中点, 所以解得故P(4,1),|OP|=. 答案:D 例4 已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系, 证明:|AM|= |BC|. 证明:如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴, 建立平面直角坐标系. 设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c). 因为点M是BC的中点,所以点M的坐标为,即. 由两点距离公式得 |BC|=, |AM|=. 所以|AM|=|BC|. 变式: 本例中条件不变,试证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2. 证明:如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系. 设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得 |AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2, |BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2.所以|AB|2+|AC|2=|BC|2. 建立平面直角坐标系的常见技巧 (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上. (2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴. (3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴. 事实上,建立不同的平面直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果. 金题典例 求函数y=的最小值. 错因分析没有验证等号是否成立,导致扩大了y的取值范围,实际上x是同步的,不能轻易分开.若分别讨论,必须验证等号成立的条件是否满足题意. 错解:因为x2+1≥1,所以≥1. 又因为x2-4x+8=(x-2)2+4≥4,所以≥2. 所以y=≥3. 所以函数y=的最小值为3. 正解:因为y==, 令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则y=|PA|+|PB|. 这样求函数的最小值问题,就转化为在x轴上求一点P,使得|PA|+|PB|取得最小值问题. 借助于光学的知识和对称的知识,如图所示,作出A关于x轴的对称点A'(0,-1),连接BA'交x轴于点P,可知|BA'|即为|PA|+|PB|的最小值.
所以|BA'|=. 所以函数的最小值ymin=. |
通过对初中相关知识的回顾,提出问题,开门见山,引出学习的课题。让学生学会联系旧知,制定解决问题的策略。并进一步感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
通过数轴和直角坐标系下,两点间距离公式的推导,让学生体会运用代数法和几何法解决问题的特点,发展学生数学运算,数学抽象和数学建模的核心素养。
在典例分析和练习中运用两点间的距离公式,进一步体会运用坐标法解决问题的基本思路。发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
通过对几何问题的解决,让学生体会运用坐标法解决几何问题的基本思路,提升学生数形结合的思想,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
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三、达标检测 1.下列各组点中,点C位于点D的右侧的是( ) A.C(-3)和D(-4) B.C(3)和D(4) C.C(-4)和D(3) D.C(-4)和D(-3) 答案:C 2.如图所示,是数轴上的一个向量,O是原点,则下列各式不成立的是( ) A.|OA|=|| B.|OB|=|| C.|AB|=|OB|-|OA| D.|BA|=|OA|+|OB| 答案:A 3.已知点A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析:|AB|==2, |AC|==5,|BC|=, ∴|AC|2=|AB|2+|BC|2,∴△ABC为直角三角形. 答案:B 4.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2,1),B(-2,3),C(0,-1),则△ABC重心G的坐标为 . 解析:设G(x,y),则有x==0,y==1. 答案:(0,1) 5.已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线的交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标. 解:设C(x1,y1),D(x2,y2). 因为E为AC的中点, 所以-3=,4=,解得x1=-10,y1=6. 又因为E为BD的中点, 所以-3=,4=,解得x2=-11,y2=1. 所以C的坐标为(-10,6),D的坐标为(-11,1). |
通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
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四、小结 五、课时练 |
通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。 |
在本节课的教学中,通过学生熟悉的数轴和直角坐标系下,点与数之间的对应关系出发,推导出两点间的距离公式,让学生初步体会坐标法解决问题的基本思路,并在这一过程中提升逻辑推理、数学抽样等数学素养。
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