人教B版 (2019)2.2.1 直线的倾斜角与斜率同步达标检测题

这是一份人教B版 (2019)2.2.1 直线的倾斜角与斜率同步达标检测题，共13页。试卷主要包含了定义，规定，范围，图形等内容，欢迎下载使用。


知识点01 直线的倾斜角
1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.
2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，
3.范围：[0,π)
4.图形：
【即学即练1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若直线l过两点0,0和1,-3，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π3B．23πC．56πD．π6
【即学即练2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线l的斜率为k，且k2=3，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30°或150°B．60°或120°C．45°或135°D．90°或180°
知识点02直线的斜率
1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为α，则当α≠90°时，称k=tanα为直线l的斜率；当α=90°时，称直线l的斜率不存在.
2.公式：已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)，是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k=y2-y1x2-x1，当x1=x2时，直线l的斜率不存在.
【即学即练3】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知直线l的倾斜角为π4，则直线l的斜率为（ ）
A．33B．-1C．1D．3
【即学即练4】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过两点1,2和-2,1的直线的斜率为（ ）
A．3B．-3C．13D．-13
知识点03 直线的方向向量
1.定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合 ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l
2.性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则AB=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若α为直线l的倾斜角，则（csα，sinα）一定是直线l的一个方向向量.
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④如果已知a=（u,v）为直线l的一个方向向量，则当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k=vu,即tanα=vu.
【即学即练5】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知(-3,3)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【即学即练6】（23-24高二下·全国·课堂例题）已知直线l通过点A(0,1)与B(1,1-3)，则直线l的一个方向向量为 .
知识点04 直线的法向量
一般的，如果表示非零向量的v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
【即学即练7】（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线3x-y+1=0的法向量可以为（ ）
A．n=3,1B．n=1,3
C．n=-1,3D．n=3,-1
【即学即练8】（23-24高二下·全国·课堂例题）若1,3是直线l的一个法向量，则直线l的斜率为 ，倾斜角的大小为 ．
难点：动点问题
示例1：（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足y=15x-35，且-2≤x≤3，则y-2x+1的取值范围（ ）
A．-∞,-12∪3,+∞B．-12,3
C．-∞,-1∪3,+∞D．-1,3
【题型1：直线的倾斜角】
例1．（21-22高二下·安徽芜湖·阶段练习）直线x=tanπ6的倾斜角是（ ）
A．0B．π6C．π3D．π2
变式1．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过A1,0、B2,3两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
变式2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中α能表示直线l的倾斜角的是（ ）
A．①④B．①②C．①③D．②④
变式3．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（ ）
A．αB．90°-α
C．180°-αD．90°+α
变式4．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（ ）
A．α+45°B．α-135°
C．135°-αD．α-45°
变式5．（多选）（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tanα
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
变式6．（多选）（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
C．若A1,-3，B1,3，则直线AB的倾斜角为90°
D．若直线过点1,2，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点3,4
变式7．（24-25高二上·上海·课后作业）若θ∈-π2,π2，则经过两点P0,0，Qsinθ,csθ的直线的倾斜角为 ．
【方法技巧与总结】
求直线倾斜角的方法及关注点
（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
【题型2：直线的斜率】
例2．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为1rad，则l的斜率为（ ）
A．1B．45C．tan1D．tan1°
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）直线y+3=0的斜率为（ ）
A．不存在B．-3C．13D．0
变式2．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知直线l经过1,0，1,3两点，直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是（ ）
A．0B．1C．-2D．不存在
变式3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）过点A1,2和点B(1,-2)的直线的倾斜角和斜率分别是 （ ）
A．45∘，1B．90∘，不存在C．135∘，-1D．0°，0
变式4．（23-24高二上·广东茂名·期中）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，写出该正方形的一条边所在直线的斜率为 ．
变式5．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ．
变式6．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）直线l的倾斜角α满足sinα=1213，则直线l斜率为 .
变式7．（2024·上海青浦·二模）已知直线l1的倾斜角比直线l2:y=xtan80°的倾斜角小20°，则l1的斜率为 ．
【方法技巧与总结】
斜率公式是最基本的求解直线斜率的方法。如有直线的两个点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，x1≠x2，则该直线的斜率为:k=y2-y1x2-x1
【题型3：倾斜角与斜率的变化】
例3．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1变式1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<π2<β，则下列关系正确的是（ ）
A．0变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数fx=lg2x+1，若a>b>c>0，则faa，fbb，fcc的大小关系为（ ）
A．fccC．fcc变式3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 k1，k2，k3，则（ ）
A．k1B．k2C．k3D．k3变式4．（多选）（23-24高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，倾斜角分别为α、β、γ，且k1A．α<β<γB．β<γ<α
C．α<γ<βD．γ<α<β
变式5．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α<120°，直线l的斜率k的范围是（ ）
A．-3-3
C．k≥0或k<-3D．k≥0或k<-33
变式6．（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线l的斜率k的变化范围是-1,3，则它的倾斜角α的变化范围是( )
A．0°≤α≤60°
B．135°≤α<180°
C．60°≤α<135°
D．0°≤α≤60°或135°≤α<180°
变式7．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l1，l2的斜率分别为2，12，直线l与直线l1，l2围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（ ）
A．-112B．-1C．-211D．1
变式8．（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角α∈[π4,3π4]，则该直线的斜率k的范围为 ．
【方法技巧与总结】
直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
【题型4：已知斜率求参数问题】
例4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为2的直线经过点M2,m,N1,2，则m=（ ）
A．2-2B．2+2C．1D．0
变式1．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点M-1,m,N1,0的直线的倾斜角为3π4，则m的值为（ ）
A．-2B．-2C．2D．2
变式2．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点A的坐标为3,4，在坐标轴上有一点B，若kAB=4，则点B的坐标可以为（ ）
A．0,-4B．0,-8C．2,0D．-2,0
变式3．（多选）（23-24高二上·四川·期中）若直线l的斜率为m2-2m，则直线l的倾斜角可能为（ ）
A．4π9B．5π9C．2π3D．7π9
变式4．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点Pm,2，Q2,4所在直线的斜率为1，则m= .
变式5．（23-24高二上·安徽亳州·期中）过Aa,0，B1,2的直线的斜率大于2，则满足条件的一个a值可以为 .
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知A-1,2,B3,2，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和-2，则P点的坐标为 ．
变式7．（22-23高二下·安徽·开学考试）已知点A，B在曲线y=x2+2x图像上，且A，B两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点A ，B ．
【题型5：过两点求斜率取值范围】
例5．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点A(2,-1)，B(3,m)，若m∈-3-1,33-1，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A．π3,5π6B．0,π3∪5π6,πC．0,π6∪2π3,πD．π3,π2∪5π6,π
变式1．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）直线l经过A2,1，B1,m2 m∈R两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．π4,π2B．0,π4∪π2,πC．0,π4D．π4,π2∪π2,π
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l过点Mm+1,m-1,N2m,1，直线l的倾斜角为锐角时m的取值范围为 ．
变式3．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线y=-2x2+7x+3(1≤x≤3)，则yx-2的取值范围是 ．
变式4．（23-24高二上·全国·课后作业）求经过两点A2m,1，Bm,2m∈R的直线l的斜率．
变式5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l过点Mm+1,m-1,N3m,2m.
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？求此时直线l的一个方向向量．
变式6．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点Mm+3,3m+5,N2m-1,1.
(1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围；
(2)若直线MN的方向向量为a=1,-2023，求m的值.
【题型6：动直线与线段相交问题】
例6．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点A2,-3，B-3,-2，若过点1,1的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．-∞,-34∪4,+∞B．-∞,-4∪34,+∞
C．-34,4D．-4,34
变式1．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知A2,3,B-1,2，若点Px,y在线段AB上，则yx-3的最小值为（ ）
A．1B．35C．-3D．-12
变式2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点A-3,2，B2,1，过点P0,-1的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
-∞,-1∪[1,+∞)B．[-1,1]
C．-∞,-15∪1,+∞D．-15,1
变式3．（2022高三·全国·专题练习）已知点A-1,1、B1,2、C0,-1， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．-2,3B．(-2,0)∪(0,3)
C．-∞,-2∪3,+∞D．以上都不对
变式4．（多选）（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线l过点P-1,2且与线段AB的延长线有公共点，若A-2,-3，B3,0，则直线l的斜率的取值可以是（ ）
A．-14B．0C．14D．45
变式5．（23-24高二上·全国·期中）已知点A(2,1)，B(-2,2)，若直线l过点P(-45,-15)，且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 ．
变式6．（22-23高二上·江苏镇江·阶段练习）已知直线kx-y-k-2=0和以M-3,1,N3,2为端点的线段无公共点，则实数k的取值范围为
【方法技巧与总结】
利用直线上两点确定直线的倾斜角，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意.
【题型7：三点共线问题】
例7．（2020高三·全国·专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（ ）
A．1±2或0B．2-52或0
C．2±52D．2+52或0
变式1．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点A2,3，B3,-2，C12,m共线，则m= .
变式2．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点A3,3，Ba,0，C0,b (其中a⋅b≠0)共线，则1a+1b= .
变式3．（22-23高二·全国·课堂例题）已知A(-3,-1),B(1,3),C(5,8)，判断A，B，C是否共线．
变式4．（20-21高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知A1,2，B2,1，C0,m三点．
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值．
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值；若不能，请说明理由．
【方法技巧与总结】
三点共线问题
1.已知三点A，B，C，若直线AB，AC'的斜率相同，则三点共线.
2.三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|=|AC|，也可断定A，B，C三点共线.
3.利用向量AB和向量AC共线也能断定A，B，C三点共线.
一、单选题
1．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知点A3,4，点B5,2，则直线AB的倾斜角是（ ）
A．π4B．3π4C．π2D．π3
2．（23-24高二上·全国·课后作业）若过点Aa,-1和B2,a的直线的斜率为12，则a的值为（ ）
A．4B．0
C．-4D．1
3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l1上有两点A-1,3,B-2,1,直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为 （ ）
A．43B．34C．-34D．-43
4．（23-24高二上·新疆·期中）经过M(-1,1)的直线l在x轴上的截距的取值范围为(-2,-1)∪(-1,2)，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．-13,1B．-1,13
C．-∞,-13∪(1,+∞)D．(-∞,-1)∪13,+∞
5．（23-24高二上·江苏常州·期中）若过A4,y，B2,-3两点的直线的倾斜角为π4，则y=（ ）
A．-1B．-5C．1D．5
6．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）斜率为13的直线的倾斜角α所在的范围是（ ）
A．0∘<α<45∘B．45∘<α<90∘C．90∘<α<135∘D．135∘<α<180∘
7．（23-24高二上·安徽合肥·期中）直线y=-cs45∘的倾斜角为（ ）
A．0∘B．90∘C．135∘D．不存在
8．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线l经过点A(-1,2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．(-2,0]B．(-∞,-2]∪[0,+∞)
C．[1,2]D．[-2,0]
二、多选题
9．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）过点P(0,-1)作直线l，使得直线l和连接点A(2,1),B(1,-2)的线段总有公共点，则直线的倾斜角α可能是（ ）
A．π6B．π3C．23πD．56π
10．（21-22高二上·江苏南通·期中）若经过A1-a,1+a和B3,a的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为（ ）
A．-2B．0C．1D．2
11．（20-21高二·全国·课后作业）以下四个命题正确的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角
D．坐标平面上并不是所有直线都有斜率
三、填空题
12．（23-24高二上·上海·期末）直线l的斜率的取值范围为-1,1，则其倾斜角的取值范围是 .
13．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）经过两点A(1,m), B(m+1,3)的直线的倾斜角为45∘，则m=
14．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）若直线的斜率k满足k∈0,3，则直线的倾斜角α的取值范围是 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点A-1,m，Bm,1，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线的倾斜角为45°？
(4)直线的倾斜角为锐角？
16．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l过点A2m,3，B2,-1.
(1)若直线l的倾斜角为45∘，求实数m的值；
(2)若直线l的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围.
17．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点A-1,1，B1,1，C2,3+1.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为△ABC的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
18．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知坐标平面内两点Mm+3,3m+5,N2m-1,1．
(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
(2)若直线MN的方向向量为a=1,-2023，求m的值．
19．（22-23高二上·全国·课后作业）已知点A(1，0)，B(0，2)，点P(a,b)在线段AB上.
(1)求直线AB的斜率；
(2)求ab的最大值.
课程标准
学习目标
1.了解直线方程的概念
2.正确理解直线倾斜角和斜率概念:理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率
3.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式
4.通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力
5.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神
1.重点:直线的倾斜角和斜率概念
2.难点:斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。
斜率k
k=tanα>0
k=0
k=tanα<0
不存在
倾斜角α
锐角
0°
钝角
90°
图示