重庆市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷（Word版附解析）

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注意事项
1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时､必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A. 射线B. 线段
C. 双曲线的一支D. 双曲线
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案.
【详解】根据题意，点，则，
若动点P满足，且，
则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支，
故选：C.
2. 已知两直线和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两直线平行的充要条件，列出关于的方程，即可得到答案.
【详解】因为，所以，且，
解得.
故选：A.
3. 椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为.若的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助椭圆的定义及通径概念列出等式即可求解.
【详解】
由的周长为8，可得，即，
由弦长AB的最小值为3，通径长为3，即，
所以，
所以，即，
所以椭圆的焦距为2.
故选：A.
4. 的内角对应的边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. 或D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得.
【详解】在中，因，
于是由余弦定理得：，
即，解得或.
故选：C
5. 阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（ ）
A. 5B. 4C. 6D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，可得，由椭圆对称性结合已知可得，求解可得椭圆的短半轴长.
【详解】因为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0面积为，所以，所以，
因为过原点，结合椭圆对称性，可得线段，被原点互相平分，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以，
所以由椭圆的定义得，解得，所以，解得，
所以椭圆的短半轴长为.
故选：D.
6. 过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（ ）
A B. 5C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值.
【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行，
设直线的方程为，
由，消去并化简得，
，
解得，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，
，
所以.
故选：B
7. 焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，则，且，
因为，两式相减可得，
整理可得，即，可得，
即双曲线的渐近线方程为，
设双曲线的方程为，则，
所以双曲线的离心率为.
故选：D.
8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限.
∵在的中垂线上，
∴，
由椭圆、双曲线的定义得：，
∴，整理得，
∴，即，
∴，
∴，
令，由定义法可证在为增函数，且，
∵，
∴.
故选：B.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知是空间内两条不同直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间线线，线面，面面的位置关系判断.
【详解】对于A，因为是两个不同的平面，是两个不同的直线，，则，故A为真命题；
对于B，若，则与可能平行，相交，异面，故B为假命题；
对于C，若，则，故C为真命题；
对于D，若，则与可能平行，相交，故D为假命题.
故选：BD.
10. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是
B. 若，则的面积等于
C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3
D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切
【答案】BCD
【解析】
【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D.
【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误；
，故选项B正确；
把点坐标代入的方程得：
，选项C正确；
如图，两圆的圆心距是的中位线，
两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确.
故选：BCD
11. 两个圆锥的母线长度均为，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用和表示两个圆锥的底面圆半径､表面积､体积，则正确的有（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 为定值
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由“它们的侧面展开图恰好拼成一个圆”为解题关键点，A选项利用侧面展开图的圆心角和为得到结论；B选项由面积公式以及A选项结论得到结论；C选项由体积公式得出代数式，由特殊值结论不同得到不为定值；D选项将条件代入C选项中体积公式即可得到比值.
【详解】A：由得，故A对.
B：，故B对.
C：，如，与时值不同，故不为定值，C错
D：，故D对.
故选：ABD.
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】借助圆心到直线距离、半径及弦长的关系计算即可得.
【详解】的圆心为，半径为，
圆心到的距离为，
所以，因为，
解得.
故答案为：
13. 已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆定义求出，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答.
【详解】依题意，由椭圆定义得，而，则，
因点是抛物线的焦点，则该抛物线的准线l过点，如图，
过点P作于点Q，由抛物线定义知，而，则，
所以.
故答案为：
14. 已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则PC的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义确定C的轨迹，计算即可.
【详解】如图，设圆的半径为，则；
又到的距离为，则到的距离为.
所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为，
则
四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤）
15. 已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求内角；
（2）若为边上的中点，求线段的长.
【答案】（1）2π3
（2）
【解析】
【分析】（1）结合已知利用余弦定理求解即可；
（2）结合三角形面积公式求得，然后由平方，利用数量积的运算求解．
【小问1详解】
由已知条件，即，
由余弦定理可得，因为，从而.
【小问2详解】
因为，由，解得，
因为为边上的中点，所以，
平方得：，所以.
16. 如图，在直三棱柱中，，为上一点，为中点，为中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）结合题目条件建立空间直角坐标系，写出各点坐标，根据直线的方向向量与平面法向量垂直证明线面平行.
（2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求线面所成角的正弦值.
【小问1详解】
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则
，
设，得，
∴.
由，得，故
∵面的一个法向量，且，平面，
∴面.
【小问2详解】
由（1）知
设面的法向量为n=x,y,z，
由，
令得，
设直线与平面所成角为，则.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形.
（1）求拋物线的方程；
（2）如图，
抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程.
（2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解.
【小问1详解】
如图，记准线与轴交于点，在中，，
所以.
故抛物线.
【小问2详解】
因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率，
设，
由且，
因为位于轴同侧，所以，则，
由得，所以，
又点F0,1，直线和的倾斜角互补，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以直线恒过定点.
18. 已知双曲线，点，坐标原点.
（1）直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程；
（2）如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求渐近线方程，进而求点的坐标，可得，结合面积公式运算求解；
（2）分析可知线段的中垂线经过A点，设设的中点为，利用点差法可得，结合点与双曲线的位置关系运算求解即可.
【小问1详解】
对于双曲线，可知，且焦点在x轴上，
则双曲线的渐近线为，且直线的斜率为，倾斜角为，
设，
联立方程，解得，即，
可得，
同理可得，
则解得，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
由（1）可知：或，
因为，则线段的中垂线经过A点，
设的中点为，
则，且，，
因为，两式作差得，
整理可得，即，可得，
又因为，则，
联立方程，解得，即，
因为点2,3在双曲线右支上，且在右支的内部，
则，所以.且在上，
则，可得，
所以实数的取值范围为.
19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时，
①证明：恒为定值，并求出这个值；
②求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，；②1
【解析】
【分析】（1）根据已知条件以及椭圆的定义求得，从而求得椭圆方程.
（2）①由直线和圆相切列方程，利用根与系数求得恒为定值.
②先求得四边形面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积的最大值.
【小问1详解】
取的中点记为，连结.
在中，，所以，
则，
即，所以椭圆方程为
【小问2详解】
①直线与相切，则；
直线与相切，同理有；
则是关于的方程的两根，
由韦达定理知
（注：上式中，先由消去的，再代入）
②由①问知，如图，设，
由，
同理可得，
.
，
，
当，时，.
【点睛】本题通过椭圆的标准方程、切线性质和四边形面积的求解，综合考查了椭圆的几何性质、韦达定理及不等式求解的能力．在解题过程中，椭圆参数的确定、切线斜率的关系及面积最大值的求解环环相扣，体现了代数与几何的紧密结合．在求四边形面积的最大值时，利用了基本不等式，确保最大值的合理性，并找出条件下的最优值．