宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高一上学期第一次月考（9月） 数学试题（含解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集,集合 ,则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集和补集含义即可.
【详解】全集,集合
,
.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】改量词，否结论即可求解.
【详解】命题“，”的否定是:，.
故选：C.
3. 若集合或，则集合等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解化简集合,即可根据交集的定义求解.
【详解】由可得
故，
故选：A
4. 已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ）
A. 1或0B. 0C. 1D. 1或2
【答案】A
【解析】
【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求.
【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解，
当时，方程可化为，满足题意，
当时，方程只有一个解，则，解得，
所以或
故选：.
5. 对于任意的，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的性质推导可得充分性，再由特值举例可说明不必要.
【详解】若，又，则有，即，即充分性成立；
当，，但，即必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知且，，则、的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】由作差法比较大小.
【详解】已知.则，
所以，
，因此，.
故选:C.
7. 若，，，则ab的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，，由基本不等式可得，
即，解得或（舍去），即，
当且仅当，即时，等号成立，
故ab的取值范围是．
故选：D．
8. 已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
要使关于不等式的解集中的整数恰有3个， 不等式的解集一定是在两个实数之间，这样得到不等式的解集，结合，求出的取值范围.
【详解】由，可得，由题意可知不等式的解应在两根之间，即有，结合，所以，，不等式的解集为或
舍去，不等式的解集为，又因为，所以，故当时，不等式的解集为，这样符合题意，故，而，，当满足时，就能符合题意，即，而，所以的取值范围为，故本题选C.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式整数解问题，利用二次函数的性质是解题的关键.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据集合的概念及集合间的关系即可求得答案.
【详解】由子集的定义易知B正确；
对A，，错误；
对C，表示有2个元素的数集，表示有一个元素的点集，错误；
对D，空集是任何集合的子集，正确.
故选：BD.
10. 已知a，b，c为非零实数，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据不等式性质一一判断即可.
【详解】因则，根据不等式性质可知A，B正确；
因为符号不确定，所以C，D选项不正确.
故选：AB.
11. “”的一个充分不必要条件可能是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出不等式恒成立时k的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解.
【详解】由知，当时，恒成立，则，
当时，，解得，则，因此，
显然，，，ABC正确；
而，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设集合，那么满足的集合共有_______个
【答案】
【解析】
【分析】求出集合，写出集合的所有子集，即可知道集合的个数.
【详解】集合,
,
所以集合的子集有，
，
所以集合共有个.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是集合的子集，是基础题.
13. 若“，”是真命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，只需即可求解.
【详解】若“，”是真命题，
即“，”能成立，
所以，即.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．
【答案】12
【解析】
【分析】算得，直接由基本不等式即可求解.
【详解】依题意，
所以
当且仅当，时等号成立．
故答案为：12．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）或.
（2）或x>2.
（3）
【解析】
【分析】（1）把不等式化为乘积形式，之后求一元二次不等式的解集即可；
（2）把不等式整理为乘积形式，之后求一元二次不等式的解集；
（3）可先把不等式化为一般形式，再配方整理，之后求一元二次不等式的解集.
【小问1详解】
不等式可化为，解得或，
所以原不等式的解集为或.
【小问2详解】
不等式可化为，解得或，
所以原不等式的解集为或x>2.
【小问3详解】
不等式可化为，
即，解得，所以原不等式的解集为.
16. 已知非空集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）或或
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式，直接求解集合间的运算；
（2）根据充分必要性列不等式，求解参数取值范围.
【小问1详解】
当时，，或，
或，
所以或或；
【小问2详解】
由（1）得或，
又“”是“”的充分不必要条件，且，
所以或，
解得或，
综上所述：.
17. （1）已知一元二次不等式的解集为-3,2，求实数、的值及不等式的解集．
（2）已知，解不等式：．
【答案】（1），；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可；
（2）比较和，分、、三种情况解不等式即可.
【详解】（1）由的解集为-3,2，知的两根为，2，
所以，解得
所求不等式为，
变形为，
即，
所以不等式的解集为．
（2）原不等式为．
①若时，即时，则原不等式的解集为；
②若时，即时，则原不等式的解集为；
③若时，即时，则原不等式的解集为．
综上可得，当时，原不等式的解集为；
当时，则原不等式的解集为；
当时，则原不等式的解集为．
18. （1）已知，求函数的最小值；
（2）已知正数满足，求的最小值.
【答案】（1）5；（2）9
【解析】
【分析】（1）通过配凑，然后利用基本不等式直接求解可得.
（2）利用基本不等式“1”的妙用求解可得.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值为5；
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为9.
19. （1）已知、都是正数，求证：；
（2）已知，，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论；
（2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论.
【详解】证明：（1）∵、都是正数，
∴，，，
∴，
当且仅当时，等号成立．
（2）∵，，，
∴，，，
∴，
故，当且仅当，
即时等号成立．