浙江省杭州市拱墅区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了一次函数，当自变量时，函数值，，连接等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到点的坐标是
A．B．C．D．
2．（3分）一次函数，当自变量时，函数值
A．B．0C．1D．2
3．（3分）如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点，，在长方形的一边上，点，在其对边上．直角三角形和等腰直角三角形的
A．斜边相等B．直角的角平分线相等
C．斜边上的高相等D．一个锐角相等
4．（3分）下列m的值可以使2（m+2）＞3成立的是（ ）
A．m＝﹣3B．m＝﹣2C．m＝﹣1D．m＝0
5．（3分）如图，已知图甲是圆形纸片的四分之三得到的图形，图乙是正方形纸片四个角各截去一个全等的小正方形得到的图形，则
A．图甲是轴对称图形，图乙也是轴对称图形
B．图甲是轴对称图形，图乙不是轴对称图形
C．图甲不是轴对称图形，图乙是轴对称图形
D．图甲不是轴对称图形，图乙也不是轴对称图形
6．（3分）已知为实数，下列代数式中，一定比大的是
A．B．C．D．
7．（3分）圆圆要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，铁丝AB的长度为1m，圆圆从M，N两处弯曲，其中AM＜AN，她不能成功的是（ ）
A．20cm＜AM＜30cmB．30cm＜AM＜40cm
C．40cm＜AM＜50cmD．50cm＜AM＜60cm
8．（3分）如图，在直角三角形中，，分别以，，为边向外侧作正方形，面积分别记作，，，若且满足，则
A．B．2C．D．3
9．（3分）小明和他家长晚餐后散步，去了离家500米的报亭，稍作停留后返回，如图是他们散步过程中离家的距离随时间变500化的情况，下面可能的情节是（ ）
A．他们匀速步行去报亭，回家时加快了速度，匀速步行回家
B．他们匀速步行去报亭，回家时减慢了速度，匀速步行回家
C．他们去报亭时速度越来越快，回家时平均速度更快，但步行速度越来越慢
D．他们去报亭时速度越来越快，回家时平均速度更慢，步行速度也越来越慢
10．（3分）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二.填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）若的三个内角相等，则的度数是 ．
12．（3分）平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
13．（3分）写出一个解集为的不等式： ．
14．（3分）某衣架的主体结构的形状是等腰三角形，记为．若，则 ．（用“”“ ”“ ”中的一个符号填空）
15．（3分）设一次函数，．若，，函数和的图象的交点坐标为，设函数，随的增大而 （填“增大”或“减小”
16．（3分）如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则 ．
三.解答题：本题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图，在中，，点，在边上，连接，．已知，分别平分，．求证：．
19．（8分）设一次函数，且函数的图象过原点．
（1）求的值．
（2）点，点都在函数的图象上，比较，的大小．
（3）若函数值，求自变量的取值范围．
20．（8分）如图，在中，，是边上的高．
（1）若点是的中点，求证：；
（2）若，，求的长．
21．（10分）图1是1个纸杯和4个叠放在一起的纸杯的示意图，为了建立一个函数探究叠在一起的杯子的总高度随着杯子数量（个的变化规律，设杯子底部到杯沿底边高为，杯沿高为．
（1）杯子底部到杯沿底边高为 （填“常量”或“变量” ，杯沿高为 （填“常量”或“变量” ；
（2）杯子的总高度是杯子数量的函数，可建立函数表示它们的关系为 （用，，表示）．
（3）①某型号的1个纸杯总高度为，4个叠在一起的纸杯总高度为，求和的值．
②图2是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是．若要将该型号纸杯叠放后竖直（杯口向上）放入储藏柜，最多能将多少个纸杯叠放在一起？
22．（10分）如图，教室的墙上有一块正方形的磁性展板，展板上有两个磁吸．同学们以展板的中心为原点建立直角坐标系，磁吸的坐标为，磁吸的坐标为．
（1）现要在展板上再放置两个磁吸和，使点，分别与点，关于轴对称．画出点，的位置，并分别写出点，的坐标．
（2）将，，三点两两连接，判断的形状，说明理由．
（3）在（1）的条件下，若要在直线，的交点处放置磁吸，求点的坐标．
23．（12分）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，，均不为0，且，同学们利用图形计算器画出，不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当，；，；，时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标．
数学思考：（Ⅰ）请从（1）当，时；（Ⅱ）当，时；（Ⅲ）当，时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题．
①“运河小组”提出问题：不论，如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值．
②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小．
③不论，如何取值，当等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论．
24．（12分）如图，在中，，点在边上（不与点，重合），且，过点作，分别交的延长线和于点和点．
（1）求证：．
（2）若点是线段的中点，探索与的数量关系．
（3）若的形状和大小都确定，说说的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只
1．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】把点的横坐标加3，纵坐标不变即可得到对应点的坐标．
【解答】解：将点向右平移3个单位长度，
得到点的坐标是，即：．
故选：．
【点评】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
2．（3分）一次函数，当自变量时，函数值
A．B．0C．1D．2
【分析】把代入一次函数中，计算出结果即可．
【解答】解：当时，
，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用代入法来解答．
3．（3分）如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点，，在长方形的一边上，点，在其对边上．直角三角形和等腰直角三角形的
A．斜边相等B．直角的角平分线相等
C．斜边上的高相等D．一个锐角相等
【分析】根据图可判断；根据角平分线的定义可判断；根据平行线的距离可判断；根据一副三角板的度数可判断．
【解答】解：由图可知：直角三角形和等腰直角三角形的斜边不相等，故不正确，不符合题意；
如图，过点作平分交于，过点作平分交于，
，
，
，，
一副三角板摆放在长方形包装袋中，
，
，
直角三角形和等腰直角三角形的直角的角平分线不相等，
故不正确，不符合题意；
中，两个锐角分别是，，
，两个锐角分别是，，
故不正确，不符合题意；
，
直角三角形和等腰直角三角形的斜边上的高相等；
故正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，一副三角板，角平分线的定义，掌握矩形的性质和三角板的度数是解决问题的关键．
4．（3分）下列m的值可以使2（m+2）＞3成立的是（ ）
A．m＝﹣3B．m＝﹣2C．m＝﹣1D．m＝0
【分析】依次系数化为1、移项、合并同类项即可得出答案．
【解答】解：∵2（m+2）＞3，
∴m+2＞，
解得m＞﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．
5．（3分）如图，已知图甲是圆形纸片的四分之三得到的图形，图乙是正方形纸片四个角各截去一个全等的小正方形得到的图形，则
A．图甲是轴对称图形，图乙也是轴对称图形
B．图甲是轴对称图形，图乙不是轴对称图形
C．图甲不是轴对称图形，图乙是轴对称图形
D．图甲不是轴对称图形，图乙也不是轴对称图形
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此判断即可．
【解答】解：由题意可知，图甲是轴对称图形，图乙也是轴对称图形．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．（3分）已知为实数，下列代数式中，一定比大的是
A．B．C．D．
【分析】．求出与的差，然后根据计算结果进行判断即可；
．求出与的差，然后根据计算结果进行判断即可；
．先求出与的差，然后举出特例，进行判断即可；
．求出时的值，与进行比较，再比较时，与的大小，当时与的大小关系，然后判断即可．
【解答】解：．，，故此选项不符合题意；
．，，故此选项符合题意；
．，时，，即，当时，，即，若的值不确定，则与的大小关系不确定，故此选项不符合题意；
．当时，，当时，，当时，，与比较，若的值不确定，则与的大小关系不确定，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了有关实数的大小比较，解题关键是熟练掌握利用求差的方法比较实数的大小．
7．（3分）圆圆要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，铁丝AB的长度为1m，圆圆从M，N两处弯曲，其中AM＜AN，她不能成功的是（ ）
A．20cm＜AM＜30cmB．30cm＜AM＜40cm
C．40cm＜AM＜50cmD．50cm＜AM＜60cm
【分析】由三角形三边关系定理得到MN+NB＞AM，因此100cm﹣AM＞AM，于是得到0＜AM＜50cm，即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：MN+NB＞AM，
∵1m＝100cm，
∴100cm﹣AM＞AM，
∴0＜AM＜50cm，
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
8．（3分）如图，在直角三角形中，，分别以，，为边向外侧作正方形，面积分别记作，，，若且满足，则
A．B．2C．D．3
【分析】根据勾股定理得出，根据正方形得出，，，求出，根据求出，再求出即可．
【解答】解：根据勾股定理得：，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，能求出是解此题的关键．
9．（3分）小明和他家长晚餐后散步，去了离家500米的报亭，稍作停留后返回，如图是他们散步过程中离家的距离随时间变500化的情况，下面可能的情节是（ ）
A．他们匀速步行去报亭，回家时加快了速度，匀速步行回家
B．他们匀速步行去报亭，回家时减慢了速度，匀速步行回家
C．他们去报亭时速度越来越快，回家时平均速度更快，但步行速度越来越慢
D．他们去报亭时速度越来越快，回家时平均速度更慢，步行速度也越来越慢
【分析】根据图象可知，有一段时间内路程随时间的增加而增加，与x轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程不变，有一段时间内路程随时间的增加而减小，由此即可作出判断．
【解答】解：∵他们匀速步行去报亭的数据为10分钟，在报亭停留了一会，然后回家，一共用了20分钟，
∴他们回家用的数据少于去报亭的数据，
∴说明他们他们匀速步行去报亭，回家时加快了速度，匀速步行回家，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．
10．（3分）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【分析】过点作，过点作于，可得是的中位线，可得，则，根据等腰三角形的性质得，根据三角形角和边的关系即可求解．
【解答】解：过点作，过点作于，
点是边的中点，
是的中位线，
，
，，
，
于，
，，
，
，
，
，
若，则；若，则，若，则；若，则．
故选：．
【点评】本题考查三角形的中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
二.填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）若的三个内角相等，则的度数是 ．
【分析】由的三个内角相等，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【解答】解：的三个内角相等，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
12．（3分）平面直角坐标系中，点到原点的距离是 5 ．
【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解．
【解答】解：作轴于，则，．
则根据勾股定理，得．
故答案为5．
【点评】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．
13．（3分）写出一个解集为的不等式： ．
【分析】根据不等式的性质解答．把进行变形就可以得到结论．
【解答】解：例如：；．答案不唯一．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式解集，解答此题的关键是掌握不等式的性质，在不等式两边同加或同减一个数或式子，不等号的方向不变，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．
14．（3分）某衣架的主体结构的形状是等腰三角形，记为．若，则 ．（用“”“ ”“ ”中的一个符号填空）
【分析】在内作，判定，由三角形三边关系定理推出，即可得到．
【解答】解：如图，，
，
在内作，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是在内作，得到，由三角形三边关系定理即可解决问题．
15．（3分）设一次函数，．若，，函数和的图象的交点坐标为，设函数，随的增大而 增大 （填“增大”或“减小”
【分析】由，，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，结合两函数图象交于点，可得出，再利用一次函数的性质，即可得出随的增大而增大．
【解答】解：，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，
又函数和的图象的交点坐标为，
点在第一或第四象限或轴正半轴，
，
随的增大而增大．
故答案为：增大．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，利用两函数图象经过的象限，找出是解题的关键．
16．（3分）如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则 ．
【分析】先求出，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，则，由是边的中线得，根据即可求解．
【解答】解：，，
，
是的平分线，
，
，，，
，
，
是边的中线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质．解题时，需要熟悉含角的直角三角形的性质．
三.解答题：本题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1）；
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
（2），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点评】本题考查解一元一次不等式．掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
18．（6分）如图，在中，，点，在边上，连接，．已知，分别平分，．求证：．
【分析】证明，即可得到结论．
【解答】证明：，
，
，分别平分，，
，，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
19．（8分）设一次函数，且函数的图象过原点．
（1）求的值．
（2）点，点都在函数的图象上，比较，的大小．
（3）若函数值，求自变量的取值范围．
【分析】（1）代入原点的坐标，即可求出的值；
（2）由（1）可得出一次函数解析式，由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可得出；
（3）代入，可得出，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：（1）一次函数的图象过原点，
，
解得：，
的值为；
（2）由（1）可知：一次函数的解析式为，
，
随的增大而减小，
又点，都在函数的图象上，且，
；
（3）当时，，
解得：，
若函数值，自变量的取值范围为．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）代入原点的坐标，求出值；（2）利用一次函数的性质，找出随的增大而减小；（3）代入，求出的取值范围．
20．（8分）如图，在中，，是边上的高．
（1）若点是的中点，求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）若点是的中点，则垂直平分，，可得，则是等边三角形，即可得；
（2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，，即，解方程求出，即可得的长．
【解答】（1）证明：点是的中点，是边上的高．
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：设，则，
，
是边上的高，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理．熟悉等边三角形的判定与性质，利用勾股定理求解是解题的关键．
21．（10分）图1是1个纸杯和4个叠放在一起的纸杯的示意图，为了建立一个函数探究叠在一起的杯子的总高度随着杯子数量（个的变化规律，设杯子底部到杯沿底边高为，杯沿高为．
（1）杯子底部到杯沿底边高为 常量 （填“常量”或“变量” ，杯沿高为 （填“常量”或“变量” ；
（2）杯子的总高度是杯子数量的函数，可建立函数表示它们的关系为 （用，，表示）．
（3）①某型号的1个纸杯总高度为，4个叠在一起的纸杯总高度为，求和的值．
②图2是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是．若要将该型号纸杯叠放后竖直（杯口向上）放入储藏柜，最多能将多少个纸杯叠放在一起？
【分析】（1）杯子底部到杯沿底边高为常量，杯沿高为常量；
（2）用杯子底部到杯沿底边高加上个杯沿高度即可列出函数关系式；
（3）①根据1个纸杯总高度为，4个叠在一起的纸杯总高度为，列方程组可解得答案；
②根据题意得：，解出的范围即可得到答案．
【解答】解：（1）杯子底部到杯沿底边高为常量，杯沿高为常量；
故答案为：常量；常量；
（2）根据题意得：；
故答案为：；
（3）①个纸杯总高度为，4个叠在一起的纸杯总高度为，
，
解得，
的值为，的值为；
②根据题意得：，
解得，
为整数，
最大取52，
最多能将52个纸杯叠放在一起．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22．（10分）如图，教室的墙上有一块正方形的磁性展板，展板上有两个磁吸．同学们以展板的中心为原点建立直角坐标系，磁吸的坐标为，磁吸的坐标为．
（1）现要在展板上再放置两个磁吸和，使点，分别与点，关于轴对称．画出点，的位置，并分别写出点，的坐标．
（2）将，，三点两两连接，判断的形状，说明理由．
（3）在（1）的条件下，若要在直线，的交点处放置磁吸，求点的坐标．
【分析】（1）根据轴对称即可得到点和点的坐标；
（2）求出，和的长度，通过勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形；
（3）求出直线和直线的函数解析式，通过求两个一次函数的交点即可得到点的坐标．
【解答】解：（1）由点，分别与点，关于轴对称，作出对应的点和点，
得点的坐标为，点的坐标为；
（2）是直角三角形，理由如下：
连接、、，
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形；
（3）设直线的解析式为，
代入，，
得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入，，
得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，
直线，的交点的坐标为，
点的坐标为．
【点评】本题考查平面直角坐标系中的轴对称，勾股定理得逆定理，待定系数法求函数解析式，求函数交点等知识，本题的关键是求出直线的解析式，通过求交点得到点的坐标．
23．（12分）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，，均不为0，且，同学们利用图形计算器画出，不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当，；，；，时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标．
数学思考：（Ⅰ）请从（1）当，时；（Ⅱ）当，时；（Ⅲ）当，时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题．
①“运河小组”提出问题：不论，如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值．
②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小．
③不论，如何取值，当等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论．
【分析】（1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可；
（2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可；
②令，则，得；令，则得；
③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，．
【解答】解：（1）当，时；联立解析式，解得，交点坐标为；
当，时；联立解析式，解得，交点坐标为；
当，时，联立解析式，解得，交点坐标为．
（2）①联立解析式，
，
，
，均不为0，且，
，
，
故和的图象的交点的横坐标都是定值．
②，
，
，
令，则，
，
；
令，则，
，
综上分析，当时，；当时，；
③，
当时即时，不论，如何取值，．
【点评】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键．
24．（12分）如图，在中，，点在边上（不与点，重合），且，过点作，分别交的延长线和于点和点．
（1）求证：．
（2）若点是线段的中点，探索与的数量关系．
（3）若的形状和大小都确定，说说的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）过点作，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）方法一：过点作于点，延长至，使，连接，延长交于点，证明，得出，证出，，则可得出结论．
方法二：过作垂线，由等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：．
理由：过点作，交的延长线于点，
，，
由题意，得，
．
．
点是线段的中点，
，
，
，
，
．
（3）解：的值是定值，这个定值是边上的高的2倍．
方法一：过点作于点，延长至，使，连接，延长交于点，
，，
，
，，
，
，
，
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四边形是平行四边形，
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即的值是定值，这个定值是边上的高的2倍．
方法二：过作垂线，由等腰三角形的性质可得出结论．
【点评】本题考查了等腰三角形与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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