浙江省杭州市富阳区城区联考2025届数学九上开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份浙江省杭州市富阳区城区联考2025届数学九上开学学业水平测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
2、（4分）估计﹣÷2的运算结果在哪两个整数之间（ ）
A．0和1B．1和2C．2和3D．3和4
3、（4分）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
4、（4分）如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小明吃早餐用了25min
B．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
C．食堂到图书馆的距离为0.8km
D．小明读报用了30min
6、（4分）下列交通标志中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）在平面直角坐标系中，点M(3，2)在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8、（4分）下列图形：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形中是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）约分：＝_________．
10、（4分）如图，在四边形中，对角线相交于点，则四边形的面积是_____．
11、（4分）一个多边形的各内角都相等，且内外角之差的绝对值为60°，则边数为__________．
12、（4分）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为_____．
13、（4分）甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则这两地中6月上旬日平均气温的方差较小的是_____．（填“甲”或“乙”）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接.
（1）求证：是的中点；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由.
15、（8分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某商场计划购进一批、两种空气净化装置，每台种设备价格比每台种设备价格多0.7万元，花3万元购买种设备和花7.2万元购买种设备的数量相同．
（1）求种、种设备每台各多少万元？
（2）根据销售情况，需购进、两种设备共20台，总费用不高于15万元，求种设备至少要购买多少台？
（3）若每台种设备售价0.6万元，每台种设备售价1.4万元，在（2）的情况下商场应如何进货才能使这批空气净化装置售完后获利最多？
16、（8分）已知：直线y＝2x+6、直线y＝﹣2x﹣4与y轴的交点分别为A点、B点．
（1）请直接写出点A、B的坐标；
（2）若两直线相交于点C，试求△ABC的面积．
17、（10分）如图，点D，C在BF上，AC∥DE，∠A＝∠E，BD＝CF．
(1)求证：AB＝EF；
(2)连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
18、（10分）为了了解高峰时段37路公交车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：16，25，18，1，25，30，28，29，25，1．
(1)请求出这10个班次乘该路车人数的平均数、众数与中位数；
(2)如果37路公交车在高峰时段从总站共发出50个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm2，则矩形的长为________cm．
20、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=5，BC=3，则△ADE的周长为__________．
21、（4分）如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________。
22、（4分）如图，Rt△中，分别是的中点，平分，交于点．若，，则的长是________．
23、（4分）如图，在平行四边形中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，正方形ABCD的边长为，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上，
(1)填空：BD=______；
(2)若BE=t，连结PE、PC，求PE+PC的最小值(用含t的代数式表示);
(3)若点E是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．
25、（10分）深圳市某中学为了更好地改善教学和生活环境，该学校计划在2020年暑假对两栋主教学楼重新进行装修．
（1）由于时间紧迫，需要雇佣建筑工程队完成这次装修任务．现在有甲，乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工则要超过期限6天才能完成，若两队合做4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么，甲工程队单独完成此工程需要多少天？
（2）装修后，需要对教学楼进行清洁打扫，学校准备选购A、B两种清洁剂共100瓶，其中A种清洁剂6元/瓶，B种清洁剂9元/瓶．要使购买总费用不多于780元，则A种清洁剂最少应购买多少瓶？
26、（12分）如图，已知△ABE，AB、AE的垂直平分线m1、m2分别交BE于点C、D，且BC=CD=DE．
(1)求证：△ACD是等边三角形；
(2)求∠BAE的度数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】
解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝1．
故选：B．
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
2、D
【解析】
先估算出的大致范围，然后再计算出÷2的大小，从而得到问题的答案．
【详解】
25＜32＜31，∴5＜＜1．
原式=﹣2÷2=﹣2，∴3＜﹣÷2＜2．
故选D．
本题主要考查的是二次根式的混合运算，估算无理数的大小，利用夹逼法估算出的大小是解题的关键．
3、C
【解析】
分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可．
【详解】
解：A、=5x（1-2y），=x（1-2y），有公因式（1-2y），故本选项不符合；
B、=x（a-b），=-y（a-b），有公因式（a-b），故本选项不符合；
C、与没有公因式，故本选项符合；
D、=（a+b）2，与（a+b）有公因式（a+b），故本选项不符合；
故选C.
本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．
4、A
【解析】
解：如图：根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
根据勾股定理得：，故选A．
5、D
【解析】
根据函数图象判断即可．
【详解】
小明吃早餐用了（25-8）=17min，A错误；
小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min，B错误；
食堂到图书馆的距离为（0.8-0.6）=0.2km，C错误；
小明读报用了（58-28）=30min，D正确；
故选：D
本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
6、A
【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键. 在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
7、A
【解析】
根据平面直角坐标系中，点的坐标与点所在的象限的关系，即可得到答案.
【详解】
∵3>0，2>0，
∴点M(3，2)在第一象限，
故选A.
本题主要考查点的坐标与点所在象限的关系，掌握点的坐标的正负性与所在象限的关系，是解题的关键.
8、D
【解析】
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．
【详解】
平行四边形不是轴对称图形，
矩形是轴对称图形，
菱形是轴对称图形，
等腰梯形是轴对称图形，
正方形是轴对称图形，
所以，轴对称图形的是：矩形、菱形、等腰梯形、正方形共4个.
故选D.
此题考查轴对称图形，解题关键在于掌握其定义.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、.
【解析】
由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【详解】
解：原式=，
故答案为：．
本题考查约分，正确找出公因式是解题的关键．
10、24
【解析】
判断四边形ABCD为平行四边形，即可根据题目信息求解.
【详解】
∵在中
∴四边形ABCD为平行四边形
∴
故答案为：24
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于根据题目中的数量关系得出四边形ABCD为平行四边形.
11、3或1
【解析】
分别表示多边形的每一个内角及与内角相邻的外角，根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：因为：多边形的内角和为，又每个内角都相等，
所以 ：多边形的每个内角为，
而多边形的外角和为，由多边形的每个内角都相等，则每个外角也都相等，
所以多边形的每个外角为，
所以，
所以，所以或
解得：，经检验符合题意．
故答案为：3或1．
本题考查的是多边形的内角和与外角和，多边形的一个内角与相邻的外角互补，掌握相关的性质是解题的关键．
12、
【解析】
根据勾股定理求出斜边长,根据直角三角形的性质得到CM=,CN=,∠MCB=∠ECN,∠MCE=∠NCD,根据勾股定理计算即可.
【详解】
解:如图
连接CM、CN,由勾股定理得,
AB=DE=,
△ABC、△CDE是直角，三角形,M,N为斜边的中点,
CM=CN=,∠MCB=∠ECN,∠MCE=∠NCD,
∠MCN=,
MN=.
因此, 本题正确答案是:.
本题主要考查三角形的性质及计算，灵活做辅助线是解题的关键.
13、乙．
【解析】
根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．
【详解】
观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；
则乙地的日平均气温的方差小，
故S2甲＞S2乙．
故答案是：乙．
考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
（1）根据AAS判定，即可进行求解；
（2）根据等腰直角三角形的性质及正方形的判定定理即可求解.
【详解】
（1）证明：∵，∴，
∵点为的中点，∴，
在和中，，，，∴，
∴，∵，∴，∴是的中点.
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，
理由如下：∵，∴，
∵，∴；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，，
∴平行四边形是正方形.
此题主要考查正方形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及正方形的判定定理.
15、（1）种设备每台0.5万元，种设备每台l.2万元；（2）种设备至少购买13台；（3）当购买种设备13台，种设备７台时，获利最多．
【解析】
（1）设种设备每台万元，则种设备每台万元，根据“3万元购买种设备和花7.2万元购买种设备的数量相同”列分式方程即可求解；
（2）设购买种设备台，则购买种设备台，根据总费用不高于15万元，列不等式求解即可；
【详解】
（1）设种设备每台万元，则种设备每台万元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴.
则种设备每台0.5万元，种设备每台l.2万元；
（2）设购买种设备台，则购买种设备台，
根据题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴种设备至少购买13台；
（3）每台种设备获利（万元），
每台种设备获利（万元），
∵，
∴购进种设备越多，获利越多，
∴当购买种设备13台，种设备（台）时，获利最多．
本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．
16、（1）点A的坐标为（0，6）、B的坐标（0，﹣4）；（2）△ABC的面积为12.1．
【解析】
（1）根据y轴的点的坐标特征可求点A、B的坐标；
（2）联立方程组求得交点C的坐标，再根据三角形面积公式可求△ABC的面积.
【详解】
（1）令x＝0，则y＝6、y＝﹣4
则点A的坐标为（0，6）、B的坐标（0，﹣4）；
（2）联立方程组可得 ，
解得 ，即C点坐标为（-2.1,1）
故△ABC的面积为（6+4）×2.1÷2＝12.1
本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点坐标的求解方法，联立两直线解析式求交点是常用的方法之一，要熟练掌握.
17、（1）证明见解析；（2）四边形ABEF为平行四边形，理由见解析.
【解析】
（1）利用AAS证明，再根据全等三角形的性质可得；
（2）首先根据全等三角形的性质可得，再根据内错角相等两直线平行可得到，又，可证出四边形为平行四边形.
【详解】
证明：，
，
，
，
即，
在与中
，
≌，
；
猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由如下：由知≌，
，
，
又，
四边形ABEF为平行四边形．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解决问题的关键是证明.
18、解：(1)平均数是25人，众数是25人，中位数是26人；(2)1250 人．
【解析】
（1）根据平均、众数和中位数的概念分别求解即可；
（2）用平均数乘以发车班次就是乘客的总人数．
【详解】
解：（1）平均数=（16+25+18+1+25+30+28+29+25+1）=25（人），
这组数据按从小到大的顺序排列为：16，18，25，25，25，1，1，28，29，30，
中位数为：；
众数为：25；
（2）50×25=1250（人）；
答：在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1250人．
本题考查了众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
设矩形的宽为xcm，根据矩形的面积=长×宽列出方程解答即可．
【详解】
设矩形的宽为xcm，依题意得：
x（x+1）=132，
整理，得（x+1）（x-11）=0，
解得x1=-1（舍去），x2=11，
则x+1=1．
即矩形的长是1cm．
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20、8
【解析】
解：由做法可知MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=5，AD=BC=3.
∴AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=5+3=8，
∴△ADE的周长为8.
21、x＜
【解析】
先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
【详解】
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
解得m，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜.
此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
22、1；
【解析】
依据题意，DE是△ABC的中位线，则DE=5，根据平分线和角平分线的性质，易证△BDF是等腰三角形，BD=DF，D是BC中点，DF=，由EF=DE-DF，即可解出EF．
【详解】
∵D、E点是AC和BC的中点，
则DE是中位线，
∴DE∥AB,且DE=AB=5
∴∠ABF=∠BFD
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBD
∴∠BFD=∠FBD
∴△FDB是等腰三角形
∴DF=BD
又∵D是BC中点，
∴BD=3
∴DF=3
∴EF=DE-DF=5-3=1
故本题答案为1．
本题考查了平分线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定及性质以及中位线的性质，熟练掌握相关知识点事解决本题的关键．
23、3
【解析】
根据角平分线的作图和平行四边形的性质以及等腰三角形的判定和性质解答即可．
【详解】
由作图可知：BH是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠GBC，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AG=AB=4，
∴GD=AD=AG=7-4=3，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠H=∠ABH=∠AGB，
∵∠AGB=∠HGD，
∴∠H=∠HGD，
∴DH=GD=3，
故答案为：3.
此题考查角平分线的做法，平行四边形的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ABG=∠GBC是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）BD=2 （2） （3）120° 30°
【解析】
.
分析：（1）根据勾股定理计算即可；
（2）连接AP，当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；
（3）分两种情况考虑：①当E在BC延长线上时，如图2所示，△PCE为等腰三角形，则CP=CE；②当E在BC上，如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，分别求出∠PEC的度数即可．
详解：（1）BD==2 ；
（2）如图1所示：当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，

∵AB=，BE=t，
∴PE+PC的最小值为，
（3）分两种情况考虑：
①当点E在BC的延长线上时，

如图2所示，△PCE是等腰三角形，则CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，
∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，
∵∠BAP+∠PEC=90°，
∴2∠PEC+∠PEC=90°，
∴∠PEC=30°；
②当点E在BC上时，

如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，
∴∠CPE=∠PCE，
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
又AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB=90°，
∴2∠BCP+∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠PEC=180°-∠AEB=120° .
点睛：本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短及分类讨论的数学思想，运用勾股定理是解（1）的关键，确定点P的位置是解（2）的关键，分两种情况讨论是解（3）的关键.
25、（1）甲工程队单独完成需要12天；（2）A种清洁剂最少应购买1瓶
【解析】
（1）可设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，根据工作总量的等量关系，列出方程即可求解；
（2）可设A种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买（100-a）瓶，根据购买总费用不多于780元，列出不等式即可求解．
【详解】
解：（1）设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，
依题意有，解得x=12，
经检验，x=12是原方程的解．
故甲工程队单独完成此工程需要12天；
（2）设A种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买（100-a）瓶，
依题意有6a+9（100-a）≤780，
解得a≥1．
故A种清洁剂最少应购买1瓶．
考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
26、（1）见解析；（2）120°
【解析】
（1）根据线段垂直平分线性质得AC=BC，AD=DE，证AC=CD=AD可得；（2）根据等边三角形性质得∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°，根据等腰三角形性质得∠ABC=∠BAC=∠ACD=30°，∠EAD=∠DEA=∠ADC=30°，故∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠EAD.
【详解】
证明:（1）∵AB、AE边上的垂直平分线m1、m2交BE分别为点C、D，
∴AC=BC，AD=DE，
∴∠B=∠BAC，∠E=∠EAD
∵BC=CD=DE，
∴AC=CD=AD，
∴△ACD是等边三角形．
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°，
∵AC=BC，AD=DE，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACD=30°，∠EAD=∠DEA=∠ADC=30°
∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠EAD=120°．
考核知识点：等边三角形的判定和性质.理解等边三角形的判定和性质是关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分