2025届浙江省杭州市富阳区富春中学数学九上开学预测试题【含答案】

这是一份2025届浙江省杭州市富阳区富春中学数学九上开学预测试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列事件中必然事件有（ ）
①当x是非负实数时，≥0；
②打开数学课本时刚好翻到第12页；
③13个人中至少有2人的生日是同一个月；
④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管( )根．
A．2B．4C．5D．无数
3、（4分）要判断甲、乙两队舞蹈队的身高哪队比较整齐，通常需要比较这两队舞蹈队身高的（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
4、（4分）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）一次数学测验中，某学习小组六名同学的成绩（单位：分）分别是110，90，105，91，85，1．则该小组的平均成绩是（ ）
A．94分B．1分C．96分D．98分
7、（4分）以三角形三边中点和三角形三个顶点能画出平行四边形有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
8、（4分）如图，在中，，于点，和的角平分线相较于点，为边的中点，，则（ ）
A．125°B．145°C．175°D．190°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点．连结、．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为1．其中正确的是______(填所有正确答案的序号)．
10、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝10cm，则OE的长为_____．
11、（4分）在四边形中，同一条边上的两个角称为邻角．如果一个四边形一条边上的邻角相等，且这条边的对边上的邻角也相等，那么这个四边形叫做C形．根据研究平行四边形及特殊四边形的方法，在下面的横线上至少写出两条关于C形的性质：_____．
12、（4分）一组数据3、4、5、5、6、7的方差是 ．
13、（4分）把一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0用配方法配成a（x﹣h）2+k＝0的形式（a，h，k均为常数），则h和k的值分别为_____
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若AB=5，AE=8，则BF的长为______．
15、（8分）如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．
16、（8分）如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.
17、（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
（1）证明：BE=CF．
（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
18、（10分）如图，抛物线与轴交于， （在的左侧），与轴交于点，抛物线上的点的横坐标为3，过点作直线轴．
（1）点为抛物线上的动点，且在直线的下方，点，分别为轴，直线上的动点，且轴，当面积最大时，求的最小值；
（2）过（1）中的点作，垂足为，且直线与轴交于点，把绕顶点旋转45°，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长是10,则较短的直角边的长为___________.
20、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
21、（4分）一组数据为1，2，3，4，5，6，则这组数据的中位数是______．
22、（4分）为了估计湖里有多少鱼，我们从湖里捕上150条鱼作上标记，然后放回湖里去，经过一段时间再捕上300条鱼，其中带标记的鱼有30条，则估计湖里约有鱼_______条．
23、（4分）若函数的图象经过A（1，）、B（－1，）、C（－2，）三点，则，，的大小关系是__________________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C、D两点， C点的坐标是（4，-1），D点的横坐标为-1．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（1）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
25、（10分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
26、（12分）已知a＝，b＝，
（1）求ab，a+b的值；
（2）求的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可．
【详解】
①当x是非负实数时，0，是必然事件；
②打开数学课本时刚好翻到第12页，是随机事件；
③13个人中至少有2人的生日是同一个月，是必然事件；
④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球，是不可能事件．
必然事件有①③共2个．
故选B．
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2、C
【解析】
分析：因为每根钢管的长度相等，可推出图中的5个三角形都为等腰三角形，再根据外角性质，推出最大的∠0BQ的度数（必须≤90°），就可得出钢管的根数．
详解：如图所示，∠AOB=15°，
∵OE=FE，
∴∠GEF=∠EGF=15°×2=30°，
∵EF=GF，所以∠EGF=30°
∴∠GFH=15°+30°=45°
∵GH=GF
∴∠GHF=45°，∠HGQ=45°+15°=60°
∵GH=HQ，∠GQH=60°，∠QHB=60°+15°=75°，
∵QH=QB
∴∠QBH=75°，∠HQB=180-75°-75°=30°，
故∠OQB=60°+30°=90°，不能再添加了．
故选C．
点睛：根据等腰三角形的性质求出各相等的角，然后根据三角形内角和外角的关系解答．
3、A
【解析】
由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故判断两队舞蹈队的身高较整齐通常需要比较两个队身高的方差．
故选A
考点：统计量的选择；方差
4、A
【解析】
分别利用完全平方公式以及平方差公式分解因式判断得出即可．
【详解】
解：A、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、根据，故此选项错误．
故选：A．
此题主要考查了完全平方和平方差分解因式，根据已知熟练掌握相关公式是解题关键．
5、C
【解析】
根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵x＞y，
∴2x＞2y，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x−6＞y−6，故本选项不符合题意；
C、∵x＞y，
∴x＋5＞y＋5，故本选项符合题意；
D、∵x＞y，
∴−3x＜−3y，故本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6、C
【解析】
根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，即可得解.
【详解】
根据题意，该小组的平均成绩是
故答案为C.
此题主要考查平均数的应用，熟练掌握，即可解题.
7、C
【解析】
试题分析：如图所示，∵点E、F、G分别是△ABC的边AB、边BC、边CA的中点，
∴AE=BE=GF=AB，AG=CG=EF=AC，BF=CF=EG=BC，GF∥AB，EG∥BC，EF∥AC，
∴四边形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四边形．故选C．
考点： 平行四边形的判定；三角形中位线定理．
8、C
【解析】
根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD=60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED=115°，即可得到∠ACD+∠CED=60°+115°=175°．
【详解】
如图：
∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF=AC=CF，
又∵CD=CF，
∴CD=DF=CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠B=50°，
∴∠BCD+∠BDC=130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE=65°，
∴∠CED=115°，
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°，
故选：C．
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、①②④
【解析】
①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=1°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；
②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=30-x，EG=10+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；
③利用②得出的结果，结合折叠的性质求得答案即可；
④根据三角形的面积公式可得：S△FGC=S△EGC，即可求解．
【详解】
解：如图：
在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=1°，
又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G
∴∠AFG=∠AFE=∠D=1°，AF=AD，
即有∠B=∠AFG=1°，AB=AF，AG=AG，
在直角△ABG和直角△AFG中，
AB=AF，AG=AG，
∴△ABG≌△AFG；正确．
∵AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE，
∴DE=FE=10，CE=20，
不妨设BG=FG=x，（x＞0），
则CG=30-x，EG=10+x，
在Rt△CEG中，（10+x）2=202+（30-x）2
解得x=15，于是BG=GC=15；正确．
∵BG=GF=CG，
∴△CFG是等腰三角形，
∵BG=AB，
∴∠AGB≠60°，
则∠FGC≠60°，
∴△CFG不是正三角形．错误．
∵，
∴，
∴S△FGC=S△EGC=××20×15=1．正确．
正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
本题考查了正方形的性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．
10、5cm
【解析】
只要得出OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长．
【详解】
解：∵OE∥DC，AO=CO，
∴OE是△ABC的中位线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10cm，
∴OE=5cm．
故答案为5cm．
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，属于基础题，关键是得出OE是△ABC的中位线，难度一般．
11、是轴对称图形；对角线相等；有一组对边相等；有一组对边平行.
【解析】
根据C形的定义，利用研究平行四边形及特殊四边形的方法，从边、角、对角线以及对称性这几个方面分析即可．
【详解】
根据C形的定义，称C形中一条边上相等的邻角为C形的底角，这条边叫做C形的底边，夹在两底边间的边叫做C形的腰．则C形的性质如下：
C形的两底边平行；C形的两腰相等；
C形中同一底上的两个底角相等；C形的对角互补；
C形的两条对角线相等；
C形是轴对称图形．
故答案为：C形的两底边平行；C形的两腰相等；
C形中同一底上的两个底角相等；C形的对角互补；
C形的两条对角线相等；
C形是轴对称图形
本题考查了平行四边形性质的应用，学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，掌握研究平行四边形及特殊四边形的方法，并且能够灵活运用是解题的关键．
12、
【解析】
首先求出平均数，然后根据方差的计算法则求出方差．
【详解】
解: 平均数 =（3+4+5+5+6+7）÷6=5
数据的方差 S2=［（3-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（7-5）2］=
故答案为 .
13、
【解析】
先将方程变形，利用完全平方公式进行配方．
【详解】
解：2x2﹣x﹣1＝1，
x2﹣x﹣＝1，
x2﹣x+﹣﹣＝1，
（x﹣）2﹣＝1．
∴h＝，k＝﹣．
故答案是：，﹣．
考查了配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、1
【解析】
先由角平分线的定义和平行线的性质得AB=BE=5，再利用等腰三角形三线合一得AH=EH=4，最后利用勾股定理得BH的长，即可求解．
【详解】
解：如图,
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAG，
∴∠BAG=∠AEB，
∴AB=BE=5，
由作图可知：AB=AF，
∠BAE=∠FAE，
∴BH=FH，BF⊥AE，
∵AB=BE
∴AH=EH=4，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH=3
∴BF=2BH=1，
故答案为：1．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形，属于常考题型．
15、见解析
【解析】
试题分析：根据正方形的性质可得AD=DC，∠A=∠DCF=90°，再根据DE⊥DF得出∠1=∠2，从而说明三角形ADE和△CDF全等.
试题解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=90°
又∵DF⊥DE， ∴∠1+∠3=∠2+∠3 ∴∠1=∠2
∴△DAE≌△DCE ∴DE=DF
考点：(1)、正方形的性质；(2)、三角形全等判定
16、 (1) k的值为3，m的值为1；（2）0