专题13 数列新定义问题（典型题型归类训练）-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题13 数列新定义问题（典型题型归类训练）
1．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，
(1)计算；
(2)设数列满足，求的通项公式；
(3)设排列满足，求，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解；
（2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解；
（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，
与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，
所以.
（2）由（1）中的方法，同理可得，
又，所以，
设，得，
所以，解得，则，
因为，
所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，
所以，则.
（3）因为，
所以，
所以，
所以.
2．（2024高三下·全国·专题练习）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
【答案】(1)是“等比源数列”， 不是“等比源数列”，理由见解析
(2)不是“等比源数列”，理由见解析
【分析】（1）根据等比中项，结合列举法即可求解，
（2）假设是“等比源数列”得，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解.
【详解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”；
中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，
且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以不是“等比源数列”．
（2）不是“等比源数列”．
假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，
即中存在的，，三项成等比数列，
也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“等比源数列”．
3．（23-24高二下·吉林四平·阶段练习）在数列中，若存在常数，使得（）恒成立，则称数列为“数列”．
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”；
(2)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
(3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，满足求数列的通项公式和的值．
【答案】(1)是
(2)不是，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据数列的定义判断
（2）根据已知条件求出即可判断；
（3）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，根据已知条件化为，解得，由此求出，即可求出数列的通项公式.
【详解】（1）由题意可得， ，，，
所以1，2，3，7，43是“数列”；
（2）数列不是“数列”，理由如下：
（），则（），
又（），
所以（），
因为不是常数，所以数列不是“数列”．
（3）因为数列为“数列”，由（），
有（）①，
所以（）②，
两式作差得（），
又因为数列为“数列”，所以（），
设数列的公比为，所以（），
即对成立，
则，
又，，得，
所以，．
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.
(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助定义计算即可得；
（2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.
【详解】（1），则；
（2），
则.
5．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；
（2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.
【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下：
因为，
令，
则．
当时，，
所以，
所以在区间上单调递减，
所以，
所以，
所以是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，
，
所以，
所以．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得当时，是“上凸数列”，
由题意可知，当时，．
因为，
即
．
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以．
综上所述，的最小值为．
6．（2024·江西南昌·一模）对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.
(1)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和；
(2)若是公差为2的等差数列，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前项和即可.
（2）利用累乘法求通项公式即可.
【详解】（1）由题意知，
因为，且是公比为2的等比数列，所以，
因为，所以数列首项为1，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为，且是公差为2的等差数列，所以，
所以，
所以，
所以，因为，
所以.
7．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
【答案】(1)不是“型数列”，理由见解析；
(2)
【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；
（2）利用为“型数列”和是等比数列，且不是“型数列”可求得的公比为，即可求出数列的通项公式为.
【详解】（1）易知当时，可得，即；
而当时，，可得；
此时，不满足“型数列”定义，
猜想：数列不是“型数列”，
证明如下：
由可得，当时，，
两式相减可得，可得，
此时从第二项起，每一项与它前一项的比为，因此不是“型数列”；
（2）设数列的公比为，易知，
又因为数列不是“型数列”，可得
可得，即得；
又数列为“型数列”，可得；
易知“型数列”为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得；
综上可得，即，可得；
所以数列是以为首项，公比为的等比数列；
即可得，可得；
所以数列的通项公式为.
8．（2015高二·全国·竞赛）设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为.换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前之和；
(3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和.
【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3
(2)50
(3)
【分析】（1）由数列的新定义直接写出即可；
（2）由数列的新定义结合对数的运算求出即可；
（3）先由求出，再由数列新定义求出，再分为奇数和偶数时分别求出.
【详解】（1）数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算对）
（2）由，得
∴ 当时，
当时，
当时，
∴
（3）∵ ∴
当时，
∴
由得：
因为使得成立的的最大值为，
所以
当时：

当时：

所以
9．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）若有穷数列，是正整数），满足，即是正整数，且，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.
(1)已知数列是项数为7的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项；
(2)对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前19项的和
【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2
(2)答案见解析
【分析】（1）由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解；
（2）由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.
【详解】（1）设的公差为，则，解得，
数列为2，5，8，11，8，5，2．
（2）若依次是该数列中连续的项，且是对称数列，
则至少有项，
从而所有项数不超过的“对称数列”有：
，
，
，
，
共有4个这样的数列（2个项的，2个项的）；
当时，求数列的前项，
则
.
10．（23-24高二下·江西·阶段练习）将数列按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．
(1)若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式；
(2)若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和．
【答案】(1)
(2)54
【分析】
（1）由给定的数列新定义推导通项公式求解即可.
（2）根据该数列第k群含有k项，求出该分群数列的前7群，从而得到集合M中的所有元素，求和即可.
【详解】（1）由题意知该分群数列第k群的中间一项为．
因为，所以，即．
（2）由题意知该分群数列第k群含有k项，所以该分群数列前7群为，，，，，，．
又，，所以．当时，，当时，或9，
当时，或5或4，当时，或2，所以，
故集合M中所有元素的各为．