专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

这是一份专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用），文件包含专题03三角函数的图象与性质零点或根的问题典型题型归类训练原卷版docx、专题03三角函数的图象与性质零点或根的问题典型题型归类训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题03 三角函数的图象与性质
（零点或根的问题）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14189" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc14189 \h 1
\l "_Tc15181" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15181 \h 1
\l "_Tc1460" 题型一：已知根（零点）的个数求参数 PAGEREF _Tc1460 \h 1
\l "_Tc22870" 题型二：零点（根）的代数和问题 PAGEREF _Tc22870 \h 10
\l "_Tc26396" 三、专项训练 PAGEREF _Tc26396 \h 20
一、必备秘籍
实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
题型一：已知根（零点）的个数求参数
1．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值.
(1)求函数的解析式：
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.
(3)方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）求出平移后的函数解析式，结合正弦函数的图象得到，求出的值并检验即得；
（2）依题求出解析式，将看成整体角，结合正弦函数的图象发现在区间上的单调性和对称性，利用其得出，代入求解即得；
（3）设，依题求得，结合在上的图象，将“方程在上有4个不相等的实数根”转化成“关于的方程在上有两个不等的实根”，最后利用二次函数的图象列出关于参数的不等式组，求解即得.
【详解】（1）因，依题意的图像关于轴对称，则有，即，
而，即有或.当时，，符合要求；当时，，不符合要求，
故函数的解析式是.
（2）由图象平移可得，若，则，
而在区间上递减，在区间上递增，显然两侧关于直线对称，
若且，则，可得，
故.
（3）
由（1），令，由可得 则，
由题意，关于的方程有两个不等的实根，
且与在上均有两个不等的实根，
当时，的图象如图所示，故，
此时关于的方程在上有两个不等的实根，
令，则即解得
故实数的取值范围.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质在零点上的应用,属于难题.
解题的关键在于要有整体角换元思想，运用好数形结合的方法，有效将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，充分发挥三角函数图象在对称性，单调性等方面的作用.
2．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，其中，，.
(1)求函数的最小正周期和对称轴；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为：；对称轴为：，
(2)
(3)
【分析】（1）先根据数量积的坐标公式及三角恒等变换化一，再根据正弦函数的周期性和对称性即可得解；
（2）根据正弦函数的单调性求解即可；
（3）函数在上存在零点，分离参数可得在上有解，令，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）
，
由，则的最小正周期为，
令，，解得，，
即对称轴为，；
（2）由（1）知，设，，
所以，
又在的单调递减区间是，
由，得，
所以在上的单调递减区间是；
（3）由（2）知，
所以，
函数在上存在零点，
即在上有解，
因为，所以，
所以，
令，，
则，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
3．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)对称中心为；对称轴为；
(2)和；
(3)或.
【分析】（1）将原函数恒等变换化简后再利用正弦函数的对称轴和对称中心解出即可；
（2）利用正弦函数的对称区间解出即可；
（3）先将函数平移变换后再结合正弦函数的对称性把问题转化为方程在上仅有一个实根，然后令结合二次函数的性质解出即可.
【详解】（1）∵
，
令，解得，
所以对称轴为；
令，解得，
所以对称中心为.
（2）由（1）得，
令，
得，
又因为，
所以的单调递增区间为和.
（3）将的图象向左平移个单位后，得，又因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.
令，则，
依题意得在上仅有一个实根.
令，因为，
则需或，
解得或.
4．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最大值及取最大值时x的取值集合；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)最大值，
(2)
(3)
【分析】（1）（2）先利用三角公式化简，然后利用正弦函数的性质求解；
（3）构造方程，求出的范围，即为的范围，进而可得实数a的取值范围．
【详解】（1）由已知，
令，得，即，
所以函数的最大值为，且取最大值时x的集合为
（2）令，
解得，
即函数的单调递增区间为；
（3）当，，
此时，即，
令，得在上存在零点，
令，
即在上存在零点，
又当时，
所以，解得.
5．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的最值及取最值时的值；
(3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)最小值为0，此时；最大值为3，此时；
(3)．
【分析】（1）由三角恒等变换化简后，由正弦型函数的周期公式求解；
（2）根据自变量取值范围，整体换元后利用正弦函数的图象与性质求最值；
（3）转化为函数交点只有一个，根据正弦函数图象与性质确定范围.
【详解】（1），
故函数的最小正周期为．
（2）由（1）知，
因为，所以，
令，则，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即时，函数有最小值，最小值为．
当，即，函数有最大值，最大值为．
综上的最小值为0，此时；最大值为3，此时．
（3）因为函数在内有且只有一个零点，
所以在只有一个实根，
即，即，
即函数在的图象在与直线只有一个交点，
当时，，
令，则在区间的图象与直线只有一个交点时，
即，解得．
6．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，.
(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解；
（2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.
【详解】（1）因为函数的最小正周期，所以，
则当时，，
所以，得，
因为，所以取得，
（2）解法一：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，化简得，
又在上单调递减，
所以，则.
解法二：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，
记，对称轴为，
则由根的分布可得，即，解得，
所以.
题型二：零点（根）的代数和问题
1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）函数（，，）的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的最低点求得的值，根据图象得到函数的周期，并求得的值，代入点求得的值.由此求得函数的解析式；
（2）利用余弦函数的性质，即可求出函数的单调增区间；
（3）令，则，利用的图象可得，，又，从而得到，再利用，即可求得结果.
【详解】（1）由图象可得，，，
，则，
，又图象过点，
所以，解得，
又，，
所以函数的解析式为.
（2）由余弦函数可知，，
，，
所以函数的单调递增区间为.
（3）由题可得，，
又因为，所以，
令，则，
设直线与的图象交点横坐标自左向右依次为，
由的图象可知，，，
且，
，又由图象知，所以，
又，，
所以，又
，
.
2．（23-24高一下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，……，，试确定的值，并求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)6；【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的周期性和奇偶性，分别求出和，然后利用正弦函数的单调性，得解；
（2）易得，根据正弦函数的图象与性质，可得解；
（3）令，原问题可转化为方程在区间上解的个数，由解的个数确定，由，确定的值.
【详解】（1）由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，因为，所以，所以函数，
令，解得，
可得函数的递减区间为，
再结合，可得函数的减区间为
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域
（3）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，
可得方程在区间有6个解，即
其中，
即，
解得
所以．
3．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）函数的部分图象如图所示，

(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)将函数的图象上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若时，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求 的值
【答案】(1)，单调递增区间为；
(2).
【分析】（1）根据给定的图象，利用五点法作图思想求出的解析式，再求出递增区间.
（2）由（1）求出的解析式，利用换元法结合余弦函数图象的对称性求解即得.
【详解】（1）观察图象知，，函数的周期，则，
由，得，而，则，
因此函数的解析式为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由（1）及已知得，
依题意，，
令，由，得，
令，则，其中，
由对称性知，两式相加得，
显然，因此，
所以.
4．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及其单调递增区间；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据图示，即可确定和的值，再由周期确定，最后将点代入求出，即可求出答案；由正弦函数的单调性求出递增区间；
（2）先根据题意写出，再由函数图像的交点确定根的性质，最后根据正弦函数的对称性和正切函数值求出答案.
【详解】（1）由图可得，，
又，所以，所以，
所以，
又因为过点，所以，
又，所以，
所以.
因为，
所以递增区间为.
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则，
当时，，令，
则，
令，则函数的函数图像如下，
且，
由图像可知有三个不同的实数根，
则，
所以，即，
所以，所以
5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数，把函数的图像先向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像.
(1)求的单调递增区间及对称轴方程；
(2)当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值.
【答案】(1)单调递增区间为，，对称轴方程为，.
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用两角和的余弦公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的图象和性质求解即可；
（2）根据平移得到的解析式，由的取值范围求出的单调区间和值域，进而得到函数图象，根据图象求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，
令，，解得，，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为，，对称轴方程为，.
（2）根据题意及（1）中结论可得，
当时，，
令得，令得，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，时，单调递增，
且，，，，
大致图像如图所示，
方程恰好有两个不同的根，
所以的取值范围为，
又因为的对称轴为和，
所以当时，当时.
6．（23-24高一下·江西·阶段练习）函数（，，）的部分图象如图.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.已知函数若函数的零点从左到右依次为，，…，，求的值，并求的值.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根据函数图象，由最值求，由和求与，可得函数的解析式；
（2）由图象变换得的解析式，可作出的图象，由图象与函数图象的交点，确定的零点个数及位置关系.
【详解】（1）由函数图象可知，，，得，
由，得，结合图象可得，
，由五点法作图可得，解得，
所以.
（2）函数上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
得函数的图象，再向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
函数则的图象如图所示，
函数的零点，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标，
由图象可知，函数的零点有6个，从左到右依次为，，…，，，
由余弦函数的性质结合图象可知，关于对称，关于对称，关于对称，
.
三、专项训练
1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知函数．
(1)若，的最小值为，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值．
【答案】(1)或 ；
(2).
【分析】（1）由题意，利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求得解析式，然后可求出其对称中心；
（2）先利用三角函数图象变换规律求出，再根据是的一个零点和可求出，从而可求出的解析式，则可求出的最小正周期，再利用正弦函数的零点和周期性可求得结果.
【详解】（1）的最小正周期为，
又，的最小值为，的最小正周期是，
故，解得，
当时，，
由，
的对称中心为；
当时，，
由，
的对称中心为，
综上所述，的对称中心为或.
（2）函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
，
又是的一个零点，
，即，
，，
，
，
，最小正周期，
令，则，
即或，
解得或．
若函数在（且）上恰好有12个零点，则，
要使最小，须m，n恰好为的零点，
故．
可得的最小值为．
2．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)求的周期和对称中心；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是，求在上的零点个数．
【答案】(1)；
(2)11个
【分析】（1）根据公式即可求出周期，设即可求出对称中心.
（2）根据图象变换求出，换元画出图象即可求解.
【详解】（1）因为，所以最小正周期，
令，所以，的对称中心为.
（2）由题意得，，所以，
令，所以求出在的零点个数即可.
所以令，解得，
所以求在与和的交点个数，由下图可知有11个交点.
所以在上的零点个数为11个.
3．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数，若的图象向左平移个单位得到.
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最大值为9，求的值；
(3)若，方程在内有一个解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)或或且
【分析】（1）首先得到解析式，即可得到，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）利用平方关系得到，令，结合二次函数的性质分类讨论，分别计算可得；
（3）先求得，再令，分析在上的值域，结合零点存在性定理与二次函数的性质，分类讨论的范围判断即可；
【详解】（1）将的图象向左平移个单位得到：，
则，
不等式，即，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
（2）因为，
所以，
则
，
令，则，令，，依题意，
当，即时在上单调递增，
则，解得，符合题意；
当，即时在上单调递减，
则，解得，符合题意；
当，即时，即，不符合题意；
综上可得或.
（3）因为，
所以，
当时，
因为在上单调递增，值域为；在上单调递减，值域为.
令，，则由的图象知，
考虑在上的解，
若，则或，当时，方程的解为，舍去；
当时，方程的解为，此时仅有一解，
故在内有一个解，符合题意；
若，则或，
此时在上有两个不同的实数根，，
令，则，由韦达定理，.
当时，则，，要使得方程在内有一个解，
则，.
当时，此时解得或，不符合题意，舍去．
所以要使符合题意，只需，即，解得；
当时，则，，要使得方程在内有一个解，
当时，此时解得或，不符合题意，舍去.
则，且，
所以要使符合题意，只需，即，解得且；
综上，的取值范围是或或且.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是换元转化为二次函数最值求出参数的值，第三问关键是将问题转化为在上的解.
4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数．
(1)求的解析式；
(2)若函数的零点为，求；
(3)若对任意，有解，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题首先可通过相邻对称轴之间的距离是得出，然后通过图象的平移即可得出，最后根据函数为奇函数即可求出的值；
（2）首先可通过题意得出，然后通过三角函数的诱导公式即可得出结果；
（3）本题可令，然后根据得出，最后通过求出的取值范围即可得出的取值范围.
【详解】（1）因为相邻对称轴之间的距离是，所以，，
所以，解得，，
将的图像向右移个单位，可得函数，
因为函数为奇函数，所以，，
因为，所以，
所以，
（2）因为函数的零点为，
所以，，
因为，
所以.
（3）令，
因为，所以，，
则有解，即有解，
当时，无解，当时，即有解，
因为在上单调递增，所以当时，，
因为有解，所以的取值范围为.
5．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)根据以上表格中的数据求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据表格数据得到，由周期求出，再求出，即可得解；
（2）根据三角函数的变换规则得到的解析式，得到函数的单调区间，等价于函数，的图象与直线有两个交点，数形结合即可得解.
【详解】（1）表中数据可得，，
因为，所以，又，则，
当时，，即，解得，
所以．
（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再将图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
则，
又在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
如图，当时，方程恰有两个实数根，
等价于函数，的图象与直线有两个交点，
所以，即．
6．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上恰有一解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角的正弦公式及诱导公式，利用辅助角公式及三角函数的周期公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角函数的平移边换，将关于的方程在上恰有一解转化为在上恰有一解，利用三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）依题可知，
，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知， ，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
因为关于的方程在上恰有一解，
所以在上恰有一解，
即在上恰有一解，
因为，所以，
令，，则，
由三角函数的性质知，函数在上单调递增，在上单调递减；
而，
所以或解得或，
故实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角恒等变换及三角函数的周期公式，将关于的方程在上恰有一解转化为在上恰有一解，再利用三角函数的性质即可.
7．（23-24高一下·安徽·阶段练习）给出以下三个条件：①直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数，，______．
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）首先根据三角函数的变换规律得到解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为
，
若选条件①，直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，
则，解得，则；
若选条件②，则，则，，
因此，，又，所以，则，
若选条件③，对任意的，，
则有，，解得，，
又，所以当时，则．
（2）将函数的图象向右平移个单位得到，
再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到．
由，，解得，，
即函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减；
因为，，，
因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解，
所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，
则或.
8．（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得，再将点代入解析式求出即可；
（2）先根据函数平移的性质求出，将函数的零点问题转化为函数图象交点的问题，根据函数的对称性求解.
【详解】（1）设的最小正周期为，则，
所以，所以，
又因为函数的图象的一个最高点为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
令，得，
考虑与图象的所有交点的横坐标之和，
函数与的图象都关于点对称，
令，解得，
函数与的图象如图所示：
故两函数的图象有且仅有9个交点从左到右分别为，
所以，，，，
所以，故函数的所有零点之和为9.
9．（23-24高一上·云南德宏·期末）函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.
【详解】（1）由图可知，，
∵ ， ∴ ， ，
又， ∴ ，，
解得 ，，由可得，
∴．
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则当时，；
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴ ，∴，
∴ .
10．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的最小值.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到依次为试确定的值，并求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据周期及奇偶数性求出的解析式，再令，利用二次函数性质求解最小值即可；
（2）根据三角函数图像变换求得，利用换元法，结合三角函数图象与性质求得以及的值.
【详解】（1）.
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，所以，因为，所以，
所以函数.所以，
令，则，
故原函数最小值为的最小值，其对称轴为，
在单调递增，在单调递减，且，
所以时，有最小值，
所以的最小值为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到，
令，则，
因为，所以，令，则，
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有6个交点，
所以方程在上共有6个根，即，
因为
，
所以.
0
0
2
0
0