专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22724" 一、典型题型 PAGEREF _Tc22724 \h 1
\l "_Tc5453" 题型一：通项含绝对值 PAGEREF _Tc5453 \h 1
\l "_Tc31243" 题型二：通项含取整函数 PAGEREF _Tc31243 \h 7
\l "_Tc16433" 题型三：通项含自定义符号 PAGEREF _Tc16433 \h 11
\l "_Tc1610" 二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 PAGEREF _Tc1610 \h 14
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求的前项和
1．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知数列是首项为，公比为的等比数列，进而得；
（2）由题知为单调递减数列，再根据，，分和两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）解：因为在数列中，，，
所以，，
所以，等式两边同加上得，
因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
（2）解：因为，即
所以，为单调递减数列，
因为，，
所以，时，，时，，
记的前项和为，则，
所以，当时，，；
当时，，，①
，②
所以，①②得：，即，
综上，
2．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值；
(3)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)，取得最大值；
(3).
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，转化已知条件求得首项和公差，即可写出通项公式；
（2）求得，根据二次函数的性质，即可求得结果；
（3）对分类讨论，在不同情况下，借助，即可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为等差数列的前n项和为，，，
可得，，解得，，所以.
（2）根据（1）中所求，，
是关于的二次函数，其对称轴；
又，所以当n为6时取得最大值，的最大值为36.
（3）因为，所以，，
当时，；
当时，，
综上.
3．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列中，，，其前项和为．
(1)求出时的最大值；
(2)求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出等差数列的首项和公差，可再求出，解不等式即得；
（2）由确定哪些项小于0，哪些项大于0，根据绝对值的性质分类可求和．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
∵，∴，
∴，
∴，解得，
∴，
令，∴，因为
∴的最大值为．
（2）∵，，
∴，
由，得，
∵，，
∴数列中，前项小于，第项等于，以后各项均为正数，
当时，，
当时，，
综上，．
4．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意求出的通项公式，可求得，再由与的关系求出；
（2）由的通项公式，知，分和讨论，并利用等差数列前n项和公式求解.
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式求出公差，最后写出其通项即可；
（2）分和并结合等差数列求和公式即可得到答案.
【详解】（1）数列是等差数列，且，
公差，
因此，.
（2）由（1）知，
所以，当时，；当时，;当时，，
因此，当时，
，
当时，
，
综上，.
题型二：通项含取整函数
如：求的前项和
1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则数列的前10项和为 ．
【答案】29
【分析】直接利用数列的递推关系式和数列的取整问题的应用求出结果．
【详解】解：数列{an}满足a1＝2，am+an＝am+n（m，n∈N*），设bn＝[lg2an]，
当n＝m＝1时，b1＝[lg22]＝1，
a2＝a1+a1＝4，所以b2＝[lg24]＝2，
a3＝a1+a2＝6，所以b3＝[lg26]＝2，
a4＝a2+a2＝8，所以b4＝[lg28]＝3，
a5＝a2+a3＝10，所以b5＝[lg210]＝3，
a6＝a2+a4＝12，所以b6＝[lg212]＝3，
a7＝a3+a4＝14，所以b7＝[lg214]＝3，
a8＝a3+a5＝16，所以b8＝[lg216]＝4，
a9＝a4+a5＝18，所以b9＝[lg218]＝4，
a10＝a4+a6＝20，所以b10＝[lg220]＝4，
所以T10＝b1+b2+…+b10＝1+2+2+3+3+3+3+4+4+4＝29．
故答案为：29．
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算出，将两式和做差，得出关于的隔项关系式，根据累加求和，求得通项即可；
（2）由于……，给出“当时，，……”等结论，分组计算数列的前项和即可.
【详解】（1）因为，，所以，
因为，所以，将两式相减，得：，
所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.
当为奇数时，，，……，且，
则，
当为偶数时，则，
所以.
（2）设的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以.
3．（23-24高三上·重庆·期末）已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．
【答案】(1)
(2)23
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，
（2）根据所给定义可用列举法求解，即可求和.
【详解】（1）设数列的公差为，
则，，解得,
故；
（2）由可得前11项分别为
故的前11项分别为
所以
.
4．（2024·山东烟台·一模）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】若选
（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；
（2）由，可得解.
若选
（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；
（2）由，可得解.
若选
（1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得；
（2）由，可得解.
【详解】若选：由已知，所以
通项，
故
不妨设的公差为.则
解得所以
由，则，
，
所以.
若选：由已知，，
通项
故.
不妨设的公差为，则，
解得所以.
由，则，
，
所以.
若选：由已知，所以
通项，
故
不妨设的公差为.则，
因为解得所以.
由
则
，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键一是利用基本量运算求解通项公式，二是根据判断的值.
题型三：通项含自定义符号
如：记表示x的个位数字，如
求的前项和
1．（23-24高三上·湖北孝感·期中）设为数列的前项和，.数列前项和为且.数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记表示的个位数字，如，求数列的前30项的和.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）利用可求数列的通项，利用可把转化为，因此数列为等比数列，利用等比的数列的通项公式可求其通项，从而得到的通项公式.
（2）结合（1）的通项公式可得是周期数列，且周期为5，从而利用分组求和法可求前30项的和.
【详解】解：（1）.
时，，符合上式.
∴.
又，，
而当时，，，
因为，故，因此，所以数列为等比数列，
故，故.
（2）由（1）得，，
因为表示的个位数，
因此均为周期数列，且周期为5.
将数列中每5个一组，前30项和可分为6组，
其前30项的和为
.
【点睛】本题考查数列通项以及数列求和，一般地，数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化，另外，数列求和应该根据通项的形式选择合适的求和方法，本题属于中档题.
2．（2023高三·全国·专题练习），，记表示的个位数字，如， 求数列的前20项的和
【答案】
【分析】由定义可得为1,3,5,7,9、为3,5,7,9,1周期数列，将数列中每5个一组，前20项和可分为4组再利用裂项相消计算可得答案.
【详解】因为，分别表示，的个位数，
所以为1,3,5,7,9的周期数列，且周期为5，
为3,5,7,9,1周期数列，且周期为5，
将数列中每5个一组，前20项和可分为4组，
其前20项的和为
故答案为：.
3．（23-24高三上·河北衡水·期中）设为数列的前项和，，数列满足.
(1)求及；
(2)记表示的个位数字，如，求数列的前20项和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据，可求数列的通项，符合等差数列定义，可直接求出通项；
（2）根据、的前5项可知数列是有周期性的，故可以求出前5项的和，再乘以4即可.
【详解】（1）当时，，由于也满足，则.
，，，是首项为3，公差为2的等差数列，.
（2），的前5项依次为1，3，5，7，9.
，的前5项依次为3，5，7，9，1.
易知，数列与的周期均为5，
的前20项和为
.
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解；
（2）分，两种情况，利用等差数列的求和公式求解.
【详解】（1）由，
得（），
两式相减得，
即（），
所以当时，，
经检验也符合上式，
故；
（2）由题意，
记，则数列的前项和，
所以，当时，，
当时，，
综上，
2．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解，
（2）分类讨论，即可根据等差数列求和公式求解.
【详解】（1）设的公差为，依题意得，
所以，即，
化简得，解得或（舍去），
，
所以经检验满足题意.
（2）依题意得，，，
其前项和，
当时，，，
故，
当时，，
故
所以.
3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，；当时，
【分析】（1）由已知递推公式，构造等式，根据等差数列的定义可证得结论；
（2）由（1）中的结论可求数列的通项，得到数列的通项，根据通项的符号去绝对值求前n项和.
【详解】（1）由，①
当时，．②
①-②，得，
又，则．
即，
故数列是等差数列．
（2）由，令得，
由，可知等差数列的公差，所以．
设，则数列为递增数列，其前4项为负，从5项开始为正，
设的前n项和为，
若，．
若，
．
综上，当时，；当时，．
4．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件，根据当时，可得，结合等比数列的定义求数列的通项公式，
（2）由（1）求，分别在条件下，结合等差数列求和公式求数列的前n项和.
【详解】（1）由已知当时，，
所以.又，
所以 ，
所以；
（2）因为，，
所以，
，
，
令，可得，
所以当时，，
当时，
，
所以.
5．（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由数列的前n项和，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，
即，解得，所以，
当时，，
当时，（符合上式），
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
且当且时，可得；当且时，可得，
所以数列的前15项和：．
6．（2024高三·全国·专题练习），，（表示不超过的最大整数），求的前项和．
【答案】
【分析】先列出的前项，再写出的前项，求和即可得到结果.
【详解】由题意得，
设的前项和为，
故=2926.
7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_____________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.
【答案】(1)若选①或②，,；选③，
(2)若选①或②，；选③，
【分析】（1）①②都是利用的方法进行简化，然后得到与的关系，进而得到通项公式；③利用的方法进行化简，得到与的关系，进而得到通项公式；
（2）利用①②③的结果代入的具体值，通过求和得到答案.
【详解】（1）若选①：
因为，所以，
两式相减得，整理得，
即，所以为常数列，，所以；
若选②：
因为，所以，
两式相减，
得，因为，所以，
故为等差数列，则；
若选③：
由，变形得：，则，
易知，所以，则为等差数列，由，则，，所以，
由当时，，也满足上式，所以.
（2）若选①或②：
由题意，，当时，，；
当时，，；当时，；
.
若选③：
由题意，，当时，，；
当时，，；当时，，；
.
8．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求，利用和可求通项公式；
（2）先求，根据的取值逐个求解，然后求和可得答案.
【详解】（1）∵；
∵，∴
两式相减可得，又，∴.
（2）由（1）知：，
所以当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
所以数列的前10项和为．
9．（23-24高二·全国·课后作业）已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记表示不超过的最大整数，如，. 令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）320.
【分析】（1）由得，进而可知数列是等差数列，从而可求出，最后利用与的关系求即可；
（2）分情况讨论取不同值时，的值，然后求和即可
【详解】（1）因为，所以，又，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，因此，即.
当时，，
又符合上式， 故.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以数列的前项和
.