专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题10 数列求和（插入新数列混合求和）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9065" 一、典型题型 PAGEREF _Tc9065 \h 1
\l "_Tc29341" 题型一：插入新数列构成等差 PAGEREF _Tc29341 \h 1
\l "_Tc811" 题型二：插入新数列构成等比 PAGEREF _Tc811 \h 4
\l "_Tc30514" 题型三：插入新数混合 PAGEREF _Tc30514 \h 5
\l "_Tc2426" 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 PAGEREF _Tc2426 \h 7
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．
2．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
3．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
5．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和．
题型二：插入新数列构成等比
1．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
4．（2023·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
题型三：插入新数混合
1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足（，）.
①试确定实数的值，使得数列为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 .
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和.
3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．
4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
1．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求．
4．（2024高三·江苏·专题练习）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列前四项和为30，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
①若，求；
②若，求．
6．（23-24高二上·广东江门·期末）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
7．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
8．（2023·全国·模拟预测）已知正项递增等比数列满足是方程的两根．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为，规律是在和中间插入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，求数列的前60项的和．
9．（21-22高三上·贵州黔东南·期末）已知等比数列满足，且成等差数列，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前2n项和．
10．（23-24高三上·江西·期中）已知是正项数列的前项和，满足，.
(1)若，求正整数的值；
(2)若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和.