高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共29页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc4501" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc4501 \h 1
\l "_Tc29664" 二、典型题型 PAGEREF _Tc29664 \h 2
\l "_Tc32732" 题型一：等差型 PAGEREF _Tc32732 \h 2
\l "_Tc5178" 题型二：无理型 PAGEREF _Tc5178 \h 5
\l "_Tc31580" 题型三：指数型 PAGEREF _Tc31580 \h 8
\l "_Tc12724" 题型四：通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc12724 \h 11
\l "_Tc547" 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 PAGEREF _Tc547 \h 13
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
类型二：无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
(1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和．
例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列满足，.
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列的前n项和．
题型二：无理型
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)当数列的公差不为0时，记数列的前n项和为，求证：.
例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列中，，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集．
例题3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
例题4．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，．
题型三：指数型
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．
例题2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
例题4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列满足（且），且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
题型四：通项裂项为“”型
例题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例题2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和.
例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知正项数列的前n项和为，且，令，则（ ）
A．7B．8C．17D．18
4．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）等差数列各项均为正数，首项与公差相等，，则的值为（ ）
A．9069B．9079C．9089D．9099
7．（2023秋·江苏·高二专题练习）记数列前项和为，若1，，成等差数列，且数列的前项和对任意的都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列的前项和满足，，且，，数列的前项和为，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．D．
9．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，且，则数列的前n项和 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 .
12．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列中，，其前n项和为，则 ．
四、解答题
13．（2023春·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，.
(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列的前项和为，证明：.
14．（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
15．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知是数列的前项和，且．
．
专题06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc4501" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc4501 \h 1
\l "_Tc29664" 二、典型题型 PAGEREF _Tc29664 \h
\l "_Tc32732" 题型一：等差型 PAGEREF _Tc32732 \h
\l "_Tc5178" 题型二：无理型 PAGEREF _Tc5178 \h 5
\l "_Tc31580" 题型三：指数型 PAGEREF _Tc31580 \h 8
\l "_Tc12724" 题型四：通项裂项为“+”型 PAGEREF _Tc12724 \h 11
\l "_Tc547" 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 PAGEREF _Tc547 \h 13
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
= 1 \* GB3 ①1n(n+k)=1k(1n−1n+k)
特别注意k=1,1n(n+1)=1n−1n+1;k=−1,1n(n−1)=1n−1−1n
②1(kn−1)(kn+1)=1(1kn−1−1kn+1)
如：14n−1=1(1n−1−1n+1)（尤其要注意不能丢前边的1）
类型二：无理型
= 1 \* GB3 ①1n+k+n=1k(n+k−n)
如：1n+1+n=n+1−n
类型三：指数型
①(a−1)an(an+1+k)(an+k)=1an+k−1an+1+k
如：n(n+1+k)(n+k)=1n+k−1n+1+k
类型四：通项裂项为“+”型
如：①−1n⋅n+1nn+1=−1n1n+1n+1
②(−1)n3n+1⋅nnn+1=(−1)nnn+n+1n+1
本类模型典型标志在通项中含有(−1)n乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
例题1．（03秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn,a=3,S4=16,n∈N∗
(1)求数列an的通项公式；
()设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn.
【答案】(1)an=n−1(n∈N∗)
()Tn=nn+1
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，因为a=3,S4=16，
所以a1+d=34a1+6d=16，解得a1=1d=，
所以an=1+3(n−1)=n−1，
所以数列an的通项公式为an=n−1(n∈N∗)
（）因为bn=1anan+1=1(n−1)(n+1)=11n−1−1n+1，
所以Tn=1×1−13+13−15+…+1n−1−1n+1=1×1−1n+1=nn+1.
所以数列bn的前n项和Tn=nn+1.
例题．（03秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①，a=13，②Sn=n+1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
(1)已知数列an的前n项和为Sn，______，求an的通项公式；
()数列bn满足bn=an⋅an+1，求数列bn的前n项和Tn．
【答案】(1)答案详见解析
()答案详见解析
【详解】（1）选条件①：，a=13，
解法一：由，a=13，得aa1=13，a1=1，
当n≥时，ana1=aa1×a3a×⋅⋅⋅×anan−1=13×35×⋅⋅⋅×n−3n−1=1n−1，
所以，
又a1=1也符合，所以．
解法二：由，得n+1an+1=n−1an，
所以数列n−1an是常数列，
所以n−1an=×−1a=1，
所以．
选条件②，Sn=n+1，n≥时，an=Sn−Sn−1=n+1−n−1+1=n−1，
又a1=S1=3，显然不符合上式，所以an=3,n=1n−1,n≥.
（）选条件①：bn=anan+1=1n−1n+1=11n−1−1n+1，
所以Tn=11−13+13−15+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1=11−1n+1=nn+1．
因此bn=anan+1=1n−1n+1=11n−1−1n+1，
所以Tn=11−13+13−15+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1=11−1n+1=nn+1．
选条件②，bn=an⋅an+1=6,n=1n−1,n≥，
当n≥时，Tn=6+3+5+⋅⋅⋅+n−1=6+81−4n−11−4=3×4n+103，
又T1=6，符合，所以．
例题3．（03秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列an满足a1>0，.
(1)判断数列an−1是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
()若数列an的前10项和为361，记，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn0，∴an−1>0，an+1an−1=4，即数列an−1成等比数列.
（）由（1）得，an−1=a1⋅4n−1，，
故S10=a140+41+4+43+44+5lga1+3×(0+1+3+3+4)
=341a1+5lga1+30，
由S10=361，得341a1+5lga1+30=361.
令f(x)=341x+5lgx+30，
当x>0时，f(x)=341x+5lgx+30单调递增，且f(1)=361=fa1，
故a1=1，an+1=4n=n，an+3=lga1+3n=n，
，T1=b1=14