高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05解三角形(角平分线问题问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05解三角形(角平分线问题问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共35页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc526" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc526 \h 1
\l "_Tc12543" 二、典型题型 PAGEREF _Tc12543 \h 2
\l "_Tc26335" 方法一：等面积法 PAGEREF _Tc26335 \h 2
\l "_Tc9743" 方法二：内角平分线定理 PAGEREF _Tc9743 \h 3
\l "_Tc2881" 方法三：角互补 PAGEREF _Tc2881 \h 5
\l "_Tc25558" 三、专项训练 PAGEREF _Tc25558 \h 6
一、必备秘籍
角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在中有：;
在中有：
二、典型题型
方法一：等面积法
1．（2023春·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
3．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．
(1)若，，求AD；
(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．
4．（2022·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且，求的最小值.
5．（2022·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且AD＝，，求c.
方法二：内角平分线定理
1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知中，，，，是的角平分线，则 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则 .
3．（2023秋·四川成都·高二石室中学校考开学考试）如图，在中，，的角平分线交于，.

(1)求的取值范围；
(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数.
4．（2023春·山东枣庄·高一统考期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）如图，在中，，是角的角平分线，且面积为1.

(1)求的面积；
(2)设，①求的取值范围；②当的长度最短时，求的值.
6．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．
方法三：角互补
1．（2023春·高一单元测试）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 .
2．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
3．（2023·全国·高三专题练习）在中，点在边上，，．
(1)若是的角平分线，求；
(2)若是边上的中线，且，求．
4．（2022·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则 ，的面积为 ．
三、专项训练
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
5．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，，b＝3c，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是 ．
7．（2023·全国·高三专题练习）在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为 .
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，，∠A的角平分线与BC边相交于D．，，则AB边的长度为 ．
9．（2022·安徽·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若AD为△ABC的角平分线，且，，，则△ABC面积为 ．
10．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．
(1)求边b的长；
(2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．
11．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
①；②；③．
(1)求的面积；
(2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求．
15．（2022·全国·高三专题练习）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， ．
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的角平分线CD交线段AB于点D，且，求△ABC的面积．
专题05 解三角形（角平分线问题问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc526" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc526 \h 1
\l "_Tc12543" 二、典型题型 PAGEREF _Tc12543 \h 2
\l "_Tc26335" 方法一：等面积法 PAGEREF _Tc26335 \h 2
\l "_Tc9743" 方法二：内角平分线定理 PAGEREF _Tc9743 \h 5
\l "_Tc2881" 方法三：角互补 PAGEREF _Tc2881 \h 11
\l "_Tc25558" 三、专项训练 PAGEREF _Tc25558 \h 14
一、必备秘籍
角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在中有：;
在中有：
二、典型题型
方法一：等面积法
1．（2023春·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【详解】在中,由余弦定理得,

则，即，
解得，（负值舍），
而AD平分，即，
又，故，
则，
故选：B
2．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，
∴，
∴，
∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴.
（2）
如图，由题意及第（1）问知，，且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴
∴，
故的面积的最小值为.
3．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．
(1)若，，求AD；
(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1），由正弦定理得，
由，，
则，即，
解得，由，即得，如图所示.

由，则，
中，由余弦定理，
，解得.
（2）， BD为的角平分线，且，如图所示，

则有，，
则，
即，且，
则，可得，当且仅当时等号成立，
所以，
故面积的最小值为．
4．（2022·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且，求的最小值.
【答案】.
【详解】在中，，AD是的角平分线，且，而，
则有，即，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
5．（2022·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且AD＝，，求c.
【答案】2或3
【详解】∵，
则有，
，
可得 ①
由余弦定理，
可得 ②
由① ②解得，或，
所以，或.
方法二：内角平分线定理
1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知中，，，，是的角平分线，则 ．
【答案】/
【详解】设，因为是角平分线，则，
又由已知得，同理，
∴，解得．
故答案为：．
2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则 .
【答案】/
【详解】由题设，则，
又，则，故，又，即，
在△中，由余弦定理知：，即，得，故，
在△中，由余弦定理知：，
故，故或，
又，即，故.
故答案为：
3．（2023秋·四川成都·高二石室中学校考开学考试）如图，在中，，的角平分线交于，.

(1)求的取值范围；
(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）设
由角平分线定理，，，
由余弦定理，，
，
所以，
化简得.
因为，故；
（2）由题意，，因此，
由余弦定理，，
故，
当且仅当时，取得最小值3，此时.
显然为锐角，
由代入中，得
，或舍去，
由（1）知，此时.
4．（2023春·山东枣庄·高一统考期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）因为中，，
故
，
因为，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，

又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分线，则，
则，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
则
，
即；
（ii）因为，故，
则由⑤得，则，
由以及（i）知，
即，则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故，即的最大值为.
5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）如图，在中，，是角的角平分线，且面积为1.

(1)求的面积；
(2)设，①求的取值范围；②当的长度最短时，求的值.
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为是角的角平分线，且
所以，即，
所以，
所以.
（2）①设，，，
则，，，
（1）知，，，
又，
即，
整理得，
又，所以，
即，
所以的取值范围为；
②由①知，，即，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
又，
，
设，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，又，
解得，
所以，
所以当的长度最短时，.
6．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
所以，又，所以.
（2）因为
，
因为为锐角三角形，所以，解得，所以，
所以，即的取值范围为.

方法三：角互补
1．（2023春·高一单元测试）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 .
【答案】
【详解】由题意是的角平分线，，
由角平分线的性质知：，
设，
因为，则，则,
所以，整理得，解得或（舍）.
所以,.
故答案为：
2．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为AD为角A的角平分线，所以，
又，所以，所以，
不妨设，，则，故，
延长至点E，使得，连接，
则，又，
所以，故，，
则，，
则，，
在中，由余弦定理，得，
即，
因为，所以，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，故.
所以长的最大值为.
3．（2023·全国·高三专题练习）在中，点在边上，，．
(1)若是的角平分线，求；
(2)若是边上的中线，且，求．
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）解：点在边上，，．是的角平分线，
在和中，由正弦定理可得，；
，，
．
（2）解：因为是边上的中线，
设，，
，，
，
，化简可得，解得或（舍去），
．
4．（2022·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则 ，的面积为 ．
【答案】 6
【详解】在中，是的角平分线，且，则有：
，令，则，
在与中，由余弦定理得：，，
因此，，得，即有，解得，
的面积为.
故答案为：；6
三、专项训练
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，，
由余弦定理可得，因为，所以，，
因为，由可得，
即，解得，，
由余弦定理可得，
因此，.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，
即，在中，作边上高，垂足为，
则，
故选:A.
3．（2022秋·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设
∵，则
即，可得
∵，则
∴，则
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
【答案】B
【详解】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，
当且仅当取等号，
所以.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，，b＝3c，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以由正弦定理化简可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，
故，
由于A∈（0，π），
可得：A＝，
因为AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝，
所以由余弦定理可得，
因为b＝3c，
所以CD＝3BD，即，
整理可得，
所以由余弦定理可得．
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
对用正弦定理，可得，设，，由于为三角形内角，则，由可得，，整理得，，对，由余弦定理，，即，故，即，于是，根据基本不等式，，即，结合，解得，即，于是.
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为 .
【答案】/
【详解】由可得： ，
故，所以 ，
由于 ,故 ,
故由可得： ，
又 ，故，联立 ，
解得 ，
故 ，
故 ，
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，，∠A的角平分线与BC边相交于D．，，则AB边的长度为 ．
【答案】2或3/3或2
【详解】由题意得，
，
，
由，可得，
所以，
又由余弦定理，有，可得，
所以，解得，
又由，可得或．
故答案为：2或3
9．（2022·安徽·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若AD为△ABC的角平分线，且，，，则△ABC面积为 ．
【答案】/
【详解】因为，，
所以，
由正弦定理边化角可得：，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，解得，
由余弦定理可得，整理可得，
又，
所以，整理得，
所以，解得或-1（舍），
所以.
故答案为：
10．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．
(1)求边b的长；
(2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，
所以
又因为，所以，
∴，即，∴
（2）由（1）可知，
在中，由正弦定理：，
可得：，所以，
∵为锐角，∴
由
可得：
即①
因为，所以，
在中，由余弦定理可求得，求得，
代入①可解得：

11．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
①；②；③．
(1)求的面积；
(2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①，则，
，又．
若选②，，则，，
，
由正弦定理可得：．
若选③，由得，且，
则
，
由得，
则，
由正弦定理可得：；
（2）由角平分线的性质知：，∴，，
在中，，∵，∴，由余弦定理知：
，
故，
在中，由正弦定理知：，
即，故．
在中，，，
由余弦定理知：
，
故．
12．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
由于，则，所以，即，
又，所以.
（2）因为的角平分线交于点，且，，

根据三角形面积公式可得，
等式两边同除以可得，则，
则，
当且仅当，即时，等式成立，
故的最小值为.
13．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）在△ABC中，．
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【答案】(1)
(2)正确条件为①③，（i），（ii）
【详解】（1）由题设，
而，
所以，故；
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，
故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．
14．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
【详解】（1）选①：由正弦边角关系得，
再由余弦边角关系得，
所以，而且，
所以.
选②：，
所以，即，
又，则且，所以，可得，
所以.
（2）过作交延长线于，
因为为角平分线，且，则，
由，则，又，
所以，，故，又，
故△为等边三角形，则，，
结合（1）结论，△ABC的面积为.