高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题07解三角形(面积问题(含定值，最值，范围问题))(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题07解三角形(面积问题(含定值，最值，范围问题))(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共42页。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5167" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc5167 \h 1
\l "_Tc13061" 二、典型题型 PAGEREF _Tc13061 \h 2
\l "_Tc21779" 题型一：求三角形面积（定值问题） PAGEREF _Tc21779 \h 2
\l "_Tc9769" 题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式） PAGEREF _Tc9769 \h 4
\l "_Tc13398" 题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角） PAGEREF _Tc13398 \h 6
\l "_Tc20465" 三、专项训练 PAGEREF _Tc20465 \h 8
一、必备秘籍
基本公式1、正弦定理及其变形

基本公式2、余弦定理及其推论

基本公式3、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
二、典型题型
题型一：求三角形面积（定值问题）
1．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角B；
(2)若，求的面积．
2．（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径，求的面积．
3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知．在中，．
(1)求角的大小；
(2)是边上的一点，且，平分，且，求的面积．
4．（2023·福建·校联考模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，且.
(1)求；
(2)求的面积.
5．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形中，与互补，．

(1)求；
(2)求四边形的面积．
6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设的内角所对边分别为，若．
(1)求的值;
(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．
题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角；
(2)若的中线长为，求面积的最大值.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边BC上有一动点D.
(1)求角A的大小；
(2)当D为边BC中点时，，求面积的最大值.
3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值.
4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，从①，②，③，这三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是___________，并解答下面问题：
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知的内角的对边分别是，．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
6．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．
题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量，，函数.
(1)若，求的值；
(2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
(1)若边上的高等于1，求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；
(2)用表示的面积，并求的取值范围.
4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
(1)求角的值；
(2)求面积的取值范围．
5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求S的取值范围．
三、专项训练
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A．B．5C．D．
2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（ ）
A．8B．12C．16D．20
3．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
4．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
5．（2023·甘肃·统考一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为 .

6．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为
7．（2023·四川·校联考一模）在中，，，当取最大值时，的面积为 .
8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在△ABC中，若，且，则的面积是 ．
9．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在中，，点D在线段AC上，且，，则面积的最大值为 ．
10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若平分，且，，求的面积.
11．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，满足，且．
(1)求的大小；
(2)若，求的面积．
13．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数
(1)求的单调增区间;
(2)设是锐角三角形，角的对边分别为，若，求的面积.
14．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形中，的三内角对应的三边为．
给出以下三个条件：
①
②
③的面积为
(1)从以上三个条件中任选一个，求角；
(2)设，在（1）的条件下，求四边形的面积的最大值．
18．（2023·河南·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若在线段上且和都不重合，，求面积的取值范围.
19．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC上一点，且，求面积的最大值．
专题07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5167" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc5167 \h 1
\l "_Tc13061" 二、典型题型 PAGEREF _Tc13061 \h 2
\l "_Tc21779" 题型一：求三角形面积（定值问题） PAGEREF _Tc21779 \h 2
\l "_Tc9769" 题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式） PAGEREF _Tc9769 \h 6
\l "_Tc13398" 题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角） PAGEREF _Tc13398 \h 11
\l "_Tc20465" 三、专项训练 PAGEREF _Tc20465 \h 15
一、必备秘籍
基本公式1、正弦定理及其变形

基本公式2、余弦定理及其推论

基本公式3、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
二、典型题型
题型一：求三角形面积（定值问题）
1．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角B；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据，由正弦定理可得，
又，所以可得，即；
因为，所以
即．
（2）由结合（1）中的结论，
由余弦定理可得，即，
解得，即，
所以．
即的面积为.
2．（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由得，
即,
故，由于，
故，而，故.
（2）由可得，而，
故，则，
由的内切圆半径，可得，
即，即，
故，解得，
故的面积.
3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知．在中，．
(1)求角的大小；
(2)是边上的一点，且，平分，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，
由，得，而，即，因此，
所以.
（2）在中，由及正弦定理，得，
由（1）及平分，得，
又，由，得，
即，解得，，
所以的面积.
4．（2023·福建·校联考模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，且.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及，得，
由正弦定理得
所以，，
所以，
又因为，所以.
（2）由结合正弦定理得，即
所以或.
又因为，所以.
所以，
因为，
所以，
所以，
即的面积为.
5．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形中，与互补，．

(1)求；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）连接，如图，

与互补，与互补，
在中，，
即，
得，
在中，，
即，
得，
又与互补，
，
故；
（2）由（1）得，
，
由（1）得，
，
．
6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设的内角所对边分别为，若．
(1)求的值;
(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）因为，所以，因为，
所以，
所以，由正弦定理，得，即．
（2）由可得：，故，于是，
由正弦定理及余弦定理可得：
，
解得：(舍)或者，故，
因为，所以当时，周长最小，此时，
所以，所以的面积为．
题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角；
(2)若的中线长为，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化简得，
因为，所以，，
即，所以，
又因为，所以，即.
（2）由是的中线，，
所以，
即，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以三角形面积，
即的面积的最大值为.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边BC上有一动点D.
(1)求角A的大小；
(2)当D为边BC中点时，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，即.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以.
又因为，所以，则.
（2）因为D为边BC中点，所以，则.
又，，所以，即，仅当时取等号，
所以，故面积的最大值为.
3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以可化为，
所以，又因为
解得，又因为，
所以.
（2）由余弦定理得，所以，
又，所以，
所以，
又因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以三角形的面积，当且仅当时等号成立，
所以三角形面积的最大值为.
4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，从①，②，③，这三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是___________，并解答下面问题：
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择①
，且由正弦定理得：，
，即：由余弦定理得：，
在中，，即：.
选择②
，且由正弦定理得：，
，整理得：，
在中，，即：，
又，即：.
选择③
，且在中：，即：
，
又，则.
（2）由（1）得：，且，且，
，即：当且仅当时，等号成立.
又面积为：面积的最大值为：.
5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知的内角的对边分别是，．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
知，
则．
（2）由（1）知，
由基本不等式可得，
即，当且仅当时等号成立，
故的面积，当且仅当时等号成立，
即时，面积的最大值取最大值，最大值为.
6．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，由及二倍角公式，得，
即，整理得，
因此，即，而，
所以.
（2）由（1）及已知，得，即有，
由余弦定理得，即，
因此，即，
于是，当且仅当时取等号，而，
所以面积的最小值为.
题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量，，函数.
(1)若，求的值；
(2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
则；
；
（2），
又，所以，，得，即，
因为，所以，
所以，
所以，
解得，则
故，
即面积的取值范围为.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
(1)若边上的高等于1，求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，，
所以，则，又，所以，
因为，
所以，解得，
又由余弦定理，，
解得，所以．
（2）由正弦定理有，且由（1）可知，
所以，
又因为锐角，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
所以面积的取值范围是．
3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；
(2)用表示的面积，并求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形，
则，且，
所以在中，由余弦定理得，
所以；
（2）由，则，则，
在中，由正弦定理有，得，
所以
，
又，且，则，所以，
所以，则，
故的取值范围为.
4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
(1)求角的值；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由条件，可得，
由正弦定理，得，所以，
所以，因为，所以．
（2）由正弦定理，可知，
，
∵，∴，∴.
5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求S的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在锐角中，，由余弦定理，
得，即，又，，
因此，有，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，
由正弦定理得：，即，
则
，
又是锐角三角形，则有，即，亦即，
于是，，
所以S的取值范围是.
三、专项训练
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【详解】在中，因为，可得，
由正弦定理，可得，
又因为，可得，所以，
所以，
则.
故选：A.
2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】B
【详解】在中，因为，所以，又a＝6，所以，
可得，且，
故的面积，
当且仅当，即时取等号，
故面积的最大值为12.
故选：B
3．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】由余弦定理可得，
所以.
因为，，所以，即，解得.
所以
，
当时，.
故选：D.
4．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】B
【详解】由正弦定理及，得，
所以，
所以，
即，
所以.
由正弦定理得.
因为，所以，
又，所以由余弦定理得
，
解得，
所以的面积为.
故选：B.
5．（2023·甘肃·统考一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为 .

【答案】
【详解】在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
，整理可得：，
，，
，
则当时，.
故答案为：.
6．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为
【答案】
【详解】
令，则，由，得，
在中，，在中，，
于是，令，则，
而，则有，
由余弦定理得，整理得，即，，
则，
当时，取得最小值，在中，，
所以.
故答案为：
7．（2023·四川·校联考一模）在中，，，当取最大值时，的面积为 .
【答案】
【详解】在中，利用正弦定理，
所以，，
有，
即，其中，，
取最大值，即时，有，，
所以，，
所以.
故答案为：.
8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在△ABC中，若，且，则的面积是 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，解得
又，所以，
所以．
故答案为：
9．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在中，，点D在线段AC上，且，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】设，则，
在中，由余弦定理，得
，
在中，由余弦定理，得
，
由于，得，
即，整理，得，
在中，由余弦定理，得
，即，代入式化简整理，
得，
由，解得，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为.
故答案为：.
10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若平分，且，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解法一：因为，
所以由正弦定理可得，
即，，
所以，
又，所以，
因为，所以.
解法二：在中，由余弦定理得，，
又因为，所以，
即，
所以，
因为，所以.
（2）解法一：因为，
所以，
两边平方得，即①，
又因为平分，所以，即②，
由①②，解得，，
所以.

解法二：在中，，所以，
又因为平分，所以，即①，
在中，由余弦定理，得，即②，
在中，由余弦定理，得，即③，
由①②③解得，，
所以.
解法三：过点作交于点，

因为，且平分，所以，
所以为等边三角形，所以，
又因为，所以，，
所以.
11．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为.
(2)
【详解】（1），
所以函数的最小正周期为.
令，得，
故函数的单调递增区间为.
（2）由，得，
由得，所以，得.
由余弦定理得，即，
因为，所以，
从而有，得，
则
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，满足，且．
(1)求的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
可得，
又因为，所以，且，所以，
因为，所以.
（2）解：因为，
在中，可得，即，
又因为，可得，联立方程组，解得，
由正弦定理，可得，
所以.
13．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数
(1)求的单调增区间;
(2)设是锐角三角形，角的对边分别为，若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
令，，
解得，，
取，则
故函数在的单调递增区间为
（2）由，可得，
因为，可得，可得，故，
因为，，
由余弦定理得，
解得或，
由于，故舍去，只取，
当时，
14．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形中，的三内角对应的三边为．
给出以下三个条件：
①
②
③的面积为
(1)从以上三个条件中任选一个，求角；
(2)设，在（1）的条件下，求四边形的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①：，
则，
整理得：，
由正弦定理得，所以，
因为，所以；
若选②：因为，则，
可得，
由正弦定理得：，
因为，，所以，
因为，则，可得，
所以，，即．
若选③：的面积为，则，
所以，
所以，
因为，所以．
（2）因为，由（1）可知，所以为正三角形，
设，则，
可得，
在中，由余弦定理，
可得，
所以四边形的面积
，
因为，所以，
所以当，即时，四边形的面积取到最大值.
15．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设函数，，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知凸四边形中，，，，求凸四边形面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意知，得．
因为，所以，
所以，所以，
∴
，
令，解得，
所以的单调递增区间为，．
（2）
由，可得，而，
故，故，故，
设，，而四边形的面积，
则
，
其中，，且，而
故，故当时，.
16．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）凸四边形中，，，，．
(1)当，且时，证明：；
(2)求四边形的面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）在中，由余弦定理得：
.因为，，
所以，
则在中，由正弦定理得：，
所以. 又因为，所以∠CBD必为锐角，所以，所以∠ADB=∠CBD，所以.
（2）由（1）知，所以.
在中，由余弦定理得：，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以当且仅当时，四边形的面积取最大值.
17．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若，求三角形ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
所以，所以；
（2），故，
则，
则，
当时，，
所以三角形ABC面积的最大值为．
18．（2023·河南·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若在线段上且和都不重合，，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，由正弦定理得
，
所以，又因为，所以，
所以，又，所以，
（2）由，得，由余弦定理知，又因为，所以，
所以，所以，如图，设,
则,,，
在中，由正弦定理可知，
，又，
于是，则有，
整理得，即，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为．