高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题06利用导函数研究能成立(有解)问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题06利用导函数研究能成立(有解)问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共34页。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc23643" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc23643 \h 1
\l "_Tc3812" 二、典型题型 PAGEREF _Tc3812 \h 2
\l "_Tc18744" 题型一：单变量有解问题 PAGEREF _Tc18744 \h 2
\l "_Tc930" 题型二：双变量不等式有解问题 PAGEREF _Tc930 \h 3
\l "_Tc15011" 题型三：双变量等式有解问题 PAGEREF _Tc15011 \h 5
\l "_Tc15252" 三、专项训练 PAGEREF _Tc15252 \h 6
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2023·四川乐山·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛:用导数求参数的范围问题，将题目转化两个函数的交点问题求解是解题的关键.
4．（2023·云南·校联考三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 .
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，使得，求实数的最小值．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数解决含参函数单调区间问题，以及不等式能成立问题，难度较难，解答本题的关键在于将不等式问题通过分离参数法，转化为最值问题，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，解决问题.
6．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
题型二：双变量不等式有解问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在，使能成立是其一，其二需要构造函数后分离参数转化为在上能成立，再次构造函数，多次利用导数求其最大值.
3．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数，对于，都，使，则的取值范围为 .
4．（2023下·重庆·高二校联考期中）已知函数，若对任意都存在，使成立，则实数的取值范围是 .
5．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．
题型三：双变量等式有解问题
1．（2020·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （ ）
A．B．
C． D．
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
4．（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的能成立问题的求解，解题关键是能够将能成立的条件转化为两个函数最值之间大小关系的比较问题，从而利用导数、三角函数知识求得两函数的值域，根据最值大小关系构造出不等式组.
5．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023下·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023下·江苏南通·高二统考阶段练习）已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022下·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期中）已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．[，4]
,使得成立,则实数的最小值是
A．B．C．2D．3
二、填空题
10．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数，对于，都，使，则的取值范围为 .
11．（2021下·四川凉山·高二统考期中）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为 ．
12．（2023下·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ．
三、问答题
13．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
14．（2023上·云南昆明·高三统考期中）已知（其中e为自然对数的底数，）
(1)求的单调区间；
(2)若存在实数，使能成立，求正数a的取值范围．
专题06 利用导函数研究能成立（有解）问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc23643" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc23643 \h 1
\l "_Tc3812" 二、典型题型 PAGEREF _Tc3812 \h 1
\l "_Tc18744" 题型一：单变量有解问题 PAGEREF _Tc18744 \h 1
\l "_Tc930" 题型二：双变量不等式有解问题 PAGEREF _Tc930 \h 7
\l "_Tc15011" 题型三：双变量等式有解问题 PAGEREF _Tc15011 \h 12
\l "_Tc15252" 三、专项训练 PAGEREF _Tc15252 \h 15
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2023·四川乐山·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，
，
令，即，由，得，
令，则原问题等价于存在，使得成立，
求导得，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
而，又，
则当时，，若存在，使得成立，
只需且，解得且，即，
所以的取值范围为.
故选：D
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由有意义可知，.
由，得.
令，即有.
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得.
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以当时，.
因为存在，使得成立，所以只需且，解得.
故选：.
二、填空题
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数存在唯一的整数，使得，
设与,
即存在唯一的整数，使得在直线上方,
，当时，,在上单调递增；当时，,在上单调递减，,，

若要存在唯一的整数，使得在直线上方，
则或，代入得或，
解得,
故答案为：.
【点睛】关键点点睛:用导数求参数的范围问题，将题目转化两个函数的交点问题求解是解题的关键.
4．（2023·云南·校联考三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由函数，设和
因为存在唯一整数，使得，
所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示，
因为，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极小值，也为最小值，
且当时，，当时，，
又由直线恒经过原点，斜率为（其中），
所以且，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：

5．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，使得，求实数的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以的定义域为．
当时，；
当时，令，解得或（舍去），
所以当时，，当时，．
综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）若存在，使得，则存在，使得成立，
令，令，则，
当时，，即在单调递减，
当时，，则 在单调递增，
所以在取得极小值，即最小值，所以，
即在上恒成立，
即存在，使得成立，
即．
令，则，
令，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的最小值为．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数解决含参函数单调区间问题，以及不等式能成立问题，难度较难，解答本题的关键在于将不等式问题通过分离参数法，转化为最值问题，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，解决问题.
6．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
因为存在，使得当时，恒有成立，
则存在，使得当时，，
令，即有，恒成立，
求导得，令，，
因此函数，即函数在上单调递增，而，
当，即时，，函数在上单调递增，
，成立，从而，
当时，，，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
题型二：双变量不等式有解问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为对于存在，存在，使，
所以，，，
又，，
显然在上单调递减，则，
当时，，即在上单调递增，
则，
由解得：，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
2．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在上为增函数，
由知，，
令，则，
当时，，
即在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
不妨设，则，，
可化为，
即，
令，
则，
， 使能成立，
在上能成立，
即在上能成立，
，，
令，，
则，令，
则，当时，，
故在上单调递增，所以，
故，在上单调递增，
，
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在，使能成立是其一，其二需要构造函数后分离参数转化为在上能成立，再次构造函数，多次利用导数求其最大值.
3．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数，对于，都，使，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，
对于，，所以，
由题意知对于，都，使，
故，则，所以或，
故答案为：.
4．（2023下·重庆·高二校联考期中）已知函数，若对任意都存在，使成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】对任意都存在使成立，
而，所以，
即存在，使，
此时，，所以，
因此将问题转化为：存在，使成立，
设，，
当，，单调递增，
所以，
由题意，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）∵，∴，
令，可得两根分别为1，，
∵，∴
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
（2），，由（1）知，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴在上的最小值为．
对，，使，即
在上的最小值不大于在上的最小值，（*）
又，
∴①当时，，此时与（*）矛盾；
②当时，，同样与（*）矛盾；
③当时，，且当时，，
解不等式，可得，
∴实数b的取值范围为．
题型三：双变量等式有解问题
1．（2020·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【详解】，，当时，，
函数单调递减，函数的值域是，
，，当时，，
函数单调递增，函数的值域是，
因为，，使得，
所以，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由，使得成立，
则函数的值域包含的值域.
当时，函数开口向上，对称轴，
所以在上单调递减，且，
所以；
当时，，则，
①若，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，即，解得；
②若，则，在上单调递增，
此时值域为，符合题意.
③当时，的值域为，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：B.
3．（2023上·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
4．（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，，
在上单调递增，又在上单调递减，，，
；
当时，，，，
若存在，使得成立，则，
即，解得：，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的能成立问题的求解，解题关键是能够将能成立的条件转化为两个函数最值之间大小关系的比较问题，从而利用导数、三角函数知识求得两函数的值域，根据最值大小关系构造出不等式组.
5．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】对求导，判断在(－∞,－1]、在上的单调性并确定值域，根据函数等量关系能成立有1＋<，即可求参数范围.
【详解】由题设，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0，
当x∈(－∞,0)时f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[.
∵g(x)＝，
∴g′(x)＝′＝＝，
∵x<－时，g′(x)>0，
∴g(x)在上单调递增，且值域为.
若∃x1∈(－∞,－1]，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则1＋<，可得a<.
综上，故实数a的取值范围是.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023下·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，且，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且，
由题意可得，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.

2．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】若存在，使，即，
所以，令，，
，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以.
故选：D.
3．（2023下·江苏南通·高二统考阶段练习）已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为存在实数，使得，
所以，即，
令，则，
函数在R上单调递增，，
即的最小值，
令，，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
，
.
故选：D
4．（2022下·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期中）已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．[，4]
C．D．
【答案】B
【详解】解：的导函数为，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，
故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，
所以对于任意的，．
因为开口向下，对称轴为轴，
所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，
由题意，得，，
可得，解得．
故选：B.
5．（2022下·全国·高三校联考开学考试）已知函数，若，成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，得，同时除以得：，使该不等式成立．设，，当时，，所以在为减函数，所以，由得，即，因为，所以，，即a的取值范围是.
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=，函数g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，1]B．[，]C．[，]D．[，2]
【答案】B
【详解】当x∈[0，]时，y=﹣x，值域是[0，]；
x∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），为增函数，值域是[2﹣2a，2﹣]，
∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]≠，
若[0，1]∩[2﹣2a，2﹣]=，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即a＜，或a＞．
∴a的取值范围是[，]，
故选：B．
7．（2021上·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）已知函数，．若，都，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，都，使成立，；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又时，；时，；，
当时，；
①当，即时，在上单调递增，，
，解得：，；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，解得：或，
；
③当，即时，在上单调递减，，
，解得：，；
综上所述：的取值范围为.
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
8．（2021下·全国·高三校联考专题练习）设函数，，若在区间上存在，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由得，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
∴，即，
∴，
∴存在，使得成立，
即，
记，
则，
∵，∴，∴，
当时，，则函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，
∴，∴，
故实数a的取值范围为.
故选：D.
9．（2018下·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知函数若对,使得成立,则实数的最小值是
A．B．C．2D．3
【答案】C
【详解】 由题意，对于，使得成立，
可转化为对于，使得成立，
又由，可得，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数单调递减，
所以当时，函数有最大值，最大值为，
又由二次函数，开口向上，且对称轴的方程为，
①当，即时，此时函数，令，
解得（不符合题意，舍去）；
②当，即时，此时函数，令，
解得，（符合题意），
综上所述，实数的最小值为，故选C．
二、填空题
10．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数，对于，都，使，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，
对于，，所以，
由题意知对于，都，使，
故，则，所以或，
故答案为：.
11．（2021下·四川凉山·高二统考期中）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意得．
因为，
当时，，故在上单调递增，．
因为，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，．
由，即，解得．
故答案为：．
12．（2023下·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】∵，∴，
∴当时，，在区间上单调递减，
∴在区间上的最小值为；
又∵，
∴由二次函数知识，在上的最小值为，
若，，使成立，等价于，即，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
三、问答题
13．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）∵，∴，
令，可得两根分别为1，，
∵，∴
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
（2），，由（1）知，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴在上的最小值为．
对，，使，即
在上的最小值不大于在上的最小值，（*）
又，
∴①当时，，此时与（*）矛盾；
②当时，，同样与（*）矛盾；
③当时，，且当时，，
解不等式，可得，
∴实数b的取值范围为．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；