专题05 利用导函数研究恒成立问题(典型题型归类训练)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

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一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
二、典型题型
1．（2023·上海崇明·统考一模）若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江西九江·统考一模）若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对于任意的，都有，则实数的取值范围是 .
【点睛】恒成立问题方法指导：
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
5．（2023·湖南永州·统考一模）若函数，当时，恒有，则实数t的取值范围 ．
6．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
7．（2023·四川内江·统考一模）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知，且恒成立，则k的值不可以是（ ）
A．－2B．0C．2D．4
2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A．－4B．－3C．－2D．－1
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·海南·模拟预测）若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（ ）
（附：）
A．B．C．D．
三、填空题
7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ．
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 .
四、问答题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)若对一切，恒成立，求实数的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；
(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．
11．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若当时，，求的取值范围．
12．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)讨论在上的最大值；
(3)是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．