高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题02数列求通项(累加法、累乘法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题02数列求通项(累加法、累乘法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共20页。
\l "_Tc7536" 二、典型题型 PAGEREF _Tc7536 \h 2
\l "_Tc18376" 题型一：累加法 PAGEREF _Tc18376 \h 2
\l "_Tc6163" 题型二：累乘法 PAGEREF _Tc6163 \h 3
\l "_Tc8362" 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 PAGEREF _Tc8362 \h 5
一、必备秘籍
一、累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
二、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、典型题型
题型一：累加法
例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列{}中，，且.其中，
(1)求数列{}的通项公式；
例题2．（2023·浙江·模拟预测）已知数列满足
(1)若，求数列的通项；
例题3．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．
题型二：累乘法
例题1．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知数列中，，设为前项和，．
(1)求的通项公式；
例题2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
例题3．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，．
(1)求的通项公式；
例题4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
例题5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列满足．
求数列的通项公式；
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项B．第9项
C．第11项D．第12项
2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
6．（2023春·广东佛山·高二统考期中）数列中，，（为正整数），则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）已知数列满足，，若表示不超过x的最大整数，则 ．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)写出数列的前4项；
(2)求出数列的通项公式．
专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14994" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc14994 \h 1
\l "_Tc7536" 二、典型题型 PAGEREF _Tc7536 \h 2
\l "_Tc18376" 题型一：累加法 PAGEREF _Tc18376 \h 2
\l "_Tc6163" 题型二：累乘法 PAGEREF _Tc6163 \h 4
\l "_Tc8362" 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 PAGEREF _Tc8362 \h 6
一、必备秘籍
一、累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
二、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、典型题型
题型一：累加法
例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列{}中，，且.其中，
(1)求数列{}的通项公式；
【答案】(1)，；
【详解】（1）（法一）由題意知，，则，
累加得：且，又，故，
而符合上式，故.
（法二）由题意知，则，
所以则.
例题2．（2023·浙江·模拟预测）已知数列满足
(1)若，求数列的通项；
【答案】(1)
【详解】（1）当,①,
②,
①②可得,左右同时乘以可以得出:
,即得
当时,
应用累加法可得:
,
当时,,
,且,
例题3．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，所以，
所以
，
所以．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．
【答案】（）．
【详解】由题意得（），
即，，，，
所以个式子累加得，
因为，
所以
（），
因为，所以（），
又当时，，所以（）．
题型二：累乘法
例题1．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知数列中，，设为前项和，．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由数列中，，且
当时，，解得，
当时，可得，
所以，即，
则当时，可得，所以，
当或时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
例题2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)（）
【详解】（1）因为，（），
所以，（），
所以，，，…，，（且），
所以（且），
整理得：（且），即，（且），
又因为，所以，（且），
当时，适合上式，
所以，（ ）.
例题3．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）∵，，则，
∴，两式相除得：，
当时，，
∴，即，
当时，，
∴，即，
综上所述，的通项公式为：；
例题4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)（）
【详解】（1）因为，（），
所以，（），
所以，，，…，，（且），
所以（且），
整理得：（且），即，（且），
又因为，所以，（且），
当时，适合上式，
所以，（ ）.
例题5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由可得，
当时，，，
将以上各式相乘可得：，当时，成立；
所以
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项B．第9项
C．第11项D．第12项
【答案】B
【详解】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故，
令，即，
解得，，故，即第九项最大.
故选：B.
2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得，，解得，故，
时，，
故
．
故选：A
3．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，∴，
∴
，
故选：D.
4．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因为，所以，
因为满足上式，所以，
故选：B
5．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
【答案】B
【详解】因为数列是“等比差”数列，
所以，
因为，，
所以，
所以有，
累和，得，
因此有，
累积，得，
所以，
故选：B
6．（2023春·广东佛山·高二统考期中）数列中，，（为正整数），则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A
二、填空题
7．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）已知数列满足，，若表示不超过x的最大整数，则 ．
【答案】1
【详解】由得时，，
当时，也符合，所以
，故，
，
故答案为：1
8．（2023春·吉林白城·高二校考期末）已知数列满足，且，若，则数列的前n项和 ．
【答案】
【详解】由，得，，…，（），
以上各式相乘，得（），
又，所以（），
当时，，满足上式，所以，
，
所以．
故答案为：.
9．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）若，则通项公式 .
【答案】
【详解】由，得，
所以，，，……，，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为满足上式，所以，
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前n项和为，已知，，则
【答案】
【详解】由已知可得，.
当时，，
所以；
当时，
有，，
两式相减得，，
所以.
所以有，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，，
整理可得，.
当时，，满足该式，
，满足该式，
故.
故答案为：.
三、解答题
11．（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，且，求的最小值．
【答案】
【详解】由题意，
，
则，
当时，上式成立，
由于，所以，
当且仅当时，取得最小值，
但，由对勾函数的性质可知，
所以的最小值为，
则的最小值为.
12．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知数列满足且．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题设，即，而，
所以，且，
所以，显然也满足上式，故.
13．（2023·全国·高二专题练习）若数列{an}满足：，，求数列的通项公式.
【答案】
【详解】由，得，
所以，即，
又，所以．
当时，满足上式，故．