专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29623" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc29623 \h 1
\l "_Tc7167" 二、典型题型 PAGEREF _Tc7167 \h 2
\l "_Tc23997" 题型一：累加法 PAGEREF _Tc23997 \h 2
\l "_Tc29297" 题型二：累乘法 PAGEREF _Tc29297 \h 6
\l "_Tc18816" 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 PAGEREF _Tc18816 \h 9
一、必备秘籍
一、累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
二、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、典型题型
题型一：累加法
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式；
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，，
则，
叠加可得，，则，
而时也符合题意，
所以数列的通项公式为．
2．（2024·云南大理·模拟预测）在数列中，，且数列是等差数列.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）利用等差数列的基本量，求得，再利用累积法即可求得；
【详解】（1）因为，所以.
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，
所以.
当时，
，
当时，也满足上式，所以.
3．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）在数列中，.
(1)证明：是等比数列.
(2)求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将已知等式变形为，根据等比数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）可得，利用累加法，即可求得的通项公式.；
【详解】（1）证明：在数列中，，故，
又，即，故，
故是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，
故时，
，
也适合该式，故；
4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前9项和，且，，成等比数列．
(1)若数列满足，，求数列，的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由题意，根据等差数列前n项求和公式和等比中项的应用可得，结合等比数列的通项公式得，再利用累加法求数列的通项公式；
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得，，化简得．
由成等比数列，得，
化简得，又，所以，
所以，
故数列的通项公式，
，
当时，
，
当时，，符合上式，
故的通项公式为；
5．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知数列的前n项和为，且.在数列中，，.
(1)求，的通项公式；
【答案】(1)，
【分析】（1）直接利用与的关系求解，利用累加法求解；
【详解】（1）由题知，当时，，
当时，，
因为，所以.
因为，所以，
则
，
时符合，故，
综上，，.
6．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，且对任意正整数都有，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）利用累加法可求得数列的通项公式；
【详解】（1）因为数列满足，且对任意正整数都有，，
则，
所以，，，，，，
上述个等式全加得，
所以，，
故当时，，也满足，
故对任意的，.
题型二：累乘法
1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由可得，两式相减由累乘法可求出的通项公式；
【详解】（1）因为，令得，
因为，
所以，
两式相减得，
即．
所以，
所以，
即，
所以当时，，
又，所以．
2．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足，且，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助等差数列的性质与与的关系计算即可得；
（2）借助累乘法可计算出数列，借助裂项相消法可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，①
因为，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
当时，，
当时，，上式也成立，
所以，所以数列是等差数列；
（2）由（1）可知，
当时，，
因为满足上式，所以．
．
3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列中，（，）.
(1)求数列的通项公式．
【答案】(1)
【分析】
（1）根据题意，由迭代法代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为（，），所以当时，，
所以当时，
，
当时，也成立，
所以数列的通项公式为.
4．（23-24高三上·贵州安顺·期末）记为数列的前n项和，已知，且，.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）构造是等差数列，结合与的关系，利用累乘法计算即可；
【详解】（1）∵，，∴，
∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，
即，，
两式作差得，
即，∴，
即，，
∵符合上式，∴.
5．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列满足，求的通项公式.
【答案】
【分析】利用项与和的关系化简条件式，结合累乘法求出通项.
【详解】因为，
当时，可得；
当时，可得，
两式相减得，，即，
且，即，
所以；
且满足上式，不满足上式，
所以数列的通项公式为.
6．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】利用累乘法求数列通项.
【详解】因为，
所以，则，
故
.
所以数列的通项公式为
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练
1．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列，即可得到，再利用累加法计算可得；
【详解】（1）因为，所以，
所以数列是公差为的等差数列，其首项为，
于是，
则，，，
，，
所以，
所以；而符合该式，故.
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）根据给定条件，利用累加法求出的通项公式.
【详解】（1）数列中，，
当时，
，显然满足上式，
所以数列的通项公式是.
3．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）（1）在数列中，已知，且，求
【答案】（1）；
【分析】（1）利用累加法及等差数列等比数列的求和公式即可求解；
【详解】（1）因为，所以，
所以，，…，，
将以上各式相加得
.
因为，所以，
所以.
4．（2024高三·全国·专题练习）在①当时，，②数列与均为等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知正项数列满足，______．
(1)求数列的通项公式；
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）选条件①，利用累加法求通项公式；选条件②，根据等差数列的通项公式求通项公式；
【详解】（1）方案一：选条件①．
当时，
，
又，符合上式，
因此数列的通项公式为．
方案二：选条件②．
由数列为等差数列，可设，
则，即，
因此．
又数列为等差数列，因此，从而．
又，所以，
因此数列的通项公式为．
5．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列满足，，.
(1)求，；
(2)证明：数列是等差数列；
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）令，，结合递推关系即可求解；
（2）利用等差数列的定义证明即可；
【详解】（1）令，得；
令，得.
（2），
所以是以为首项，2为公差的等差数列.
6．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）利用累加法计算可得；
【详解】（1）因为，即，所以，
，
累加得，又，所以，
经检验时符合，所以.
7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）先利用整理，然后利用累乘法求解通项公式；
（2）先求出，然后直接用等差等比的求和公式求解即可.
【详解】（1）令，得.
当时，因为，所以，
两式相减得，即，所以，
所以，即，
所以
又，符合上式，所以；
8．（2024高三·全国·专题练习）设为数列的前n项和，已知．求的通项公式；
【答案】
【分析】
利用的关系式推得，再利用累乘法即可得解.
【详解】因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
整理得，
当时，易知，则，
所以，则，
当时，，都满足上式，所以．
9．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 .
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
10．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意，由累乘法即可求得数列的通项公式；
【详解】（1）由题意，，所以，即，
所以
，，
当时，也满足，
所以数列的通项公式为
11．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知数列前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由作差得到，再利用累乘法计算可得；
【详解】（1）因为，当时，，
所以，
当时，，
所以，
所以，，，，，
累乘得
所以，
当时也成立，所以.
12．（2024·广东深圳·一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得、，解得，结合求得，即可证明；
（2）由（1）可得，根据累乘法可得，结合裂项相消求和法计算即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，即，①
因为，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
当时，，
当时，，上式也成立，所以，
所以数列是等差数列．
（2）由（1）可知，
当时，，
因为满足上式，所以．
，
因为当时，，所以．