高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题02圆锥曲线中的中点弦问题(点差法+联立法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题02圆锥曲线中的中点弦问题(点差法+联立法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共47页。试卷主要包含了必备秘籍，典型题型，专项训练等内容，欢迎下载使用。

一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
2、点差法
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
3．（2024上·河北保定·高二统考期末）一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．
4．（2024·全国·高二专题练习）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．
题型二：求离心率
1．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
4．（2024上·河北石家庄·高二统考期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 .
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆.
(1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程；
(2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.
(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)求线段的中点的轨迹方程.
题型四：求曲线方程
1．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G：，斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，试写出椭圆G的一个标准方程 .
3．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线C于两点，线段的中点为为坐标原点，且直线的斜率为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求实数m的值．
题型五：处理存在性问题
1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；
(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
3．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？
题型六：确定参数的取值范围
1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程；
(3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.
3．（2023上·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）椭圆，，，，四点中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上两点、，若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.
题型七：定值问题
1．（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，点为坐标原点，线段的中点恰好为，点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过作的垂线交椭圆于两点．记与面积分别为，求的值．
2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.
3．（2022上·陕西安康·高二校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点为，且离心率.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆E相交于A，B两点且P为AB的中点求弦长.
三、专项训练
一、单选题
1．（2024上·山西太原·高二统考期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·湖南·高二校联考期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
8．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A．B．2C．或2D．以上都不是
二、解答题
9．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）直线与椭圆相交于不同的两点，若的中点的横坐标为，求：
(1)的值；
(2)弦长的值．
13．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．
14．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆，，为C的左右焦点.点为椭圆上一点，且.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M满足，求M的轨迹方程.
15．（2023下·福建·高二福建师大附中校考开学考试）已知双曲线.
(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
2、点差法
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，则，
因为，两式作差得，即，
即，所以，
因此直线的方程为，即.
故选：D.
2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据题意求出即可；
（2）利用点差法求解即可.
【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
且直线的斜率为，
且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为；
（2）设、，
则，
则，所以，
化简得，
因为线段的中点为，所以，，
所以，所以，
即直线的斜率为，
经检验符合题意，
所以直线的斜率为.
3．（2024上·河北保定·高二统考期末）一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C的方程.
（2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解.
【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点的距离到直线的距离相等．
又点不在直线上，
所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以为焦点，
为准线的抛物线，所以曲线C的方程为．
（2）设，，则，
两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，所以，
则，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即，
经检验，直线与曲线相交，满足题意，
所以直线l的方程为.
4．（2024·全国·高二专题练习）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．
【答案】
【分析】由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.
【详解】解：设，，则，，
两式相减得．
∵P为线段AB的中点，∴，．
∴，即所求直线l的斜率为1，
∴直线l的方程为，即．经检验符合题意．
题型二：求离心率
1．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解.
【详解】如图，取线段的中点为，连接，

因为，所以为中点，又为中点，
所以，
直线的斜率与的斜率乘积为，所以．
设，则，
两式相减可得，
整理得，即，
所以，所以，则．
故选：B．
2．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得.
【详解】设，，线段AB的中点为E，
由，，两式相减可得，
即，又由，，则，
设直线的方程为，（），可得，，
又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得，
所以，所以，即，
得，
故选：A
3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】令，应用点差法及直线斜率、中点坐标得，即可求离心率.
【详解】令，则，可得，
所以，又为线段的中点，且直线斜率为，
所以，则.
故答案为：
4．（2024上·河北石家庄·高二统考期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 .
【答案】
【分析】利用点差法得到，根据题意和渐近线方程得到，故，从而求出离心率的取值范围.
【详解】设，
则，两式相减得，
若，则的中点在轴上，不合要求，
若，则的中点在轴上，不合要求，
所以，
因为为的中点，所以，
故，
因为的渐近线方程为，
要想直线与双曲线：交于A、B两点，则，
即，解得，
所以离心率.
故答案为：
【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆.
(1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程；
(2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用“点差法”求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，从而可得结论；
（2）设过点的直线与椭圆截得的弦的中点，交点为，利用点差法分析求解.
【详解】（1）因为，
所以在椭圆的内部，则所求弦必然存在，
设这条弦与椭圆交于点，
由中点坐标公式知，
把代入，则，
作差整理得，可得，
所以这条弦所在的直线方程为，即.
（2）由题意可知：过点引椭圆的割线的斜率存在且不为0，
设割线方程为，
联立方程，消去得，
则，解得，
设过点的直线与椭圆截得的弦的中点，交点为，
根据椭圆性质可知，则，
令，则，
可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，可知，
则，所以，
则，可得，
把代入，则，
两式相减得，整理得，
即，整理得.
【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤；
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.
(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点坐标，即可求解直线的方程；
（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得点的坐标，并利用直线与直线的关系，求得点的坐标，即可求解点，再通过消参求得点的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点，，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
所以，直线的方程为，
化简为直线的方程为；
（2）设直线的方程为，设，，
联立，得，
得，
所以中点的横坐标为，纵坐标为，
即，将换成得，
得的中点的坐标为，
即，得，
题型四：求曲线方程
1．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，利用点差法求解即可．
【详解】设，代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得：．
由，，代入上式可得：
＝0，化为．
又，，联立解得．
∴椭圆的方程为：．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G：，斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，试写出椭圆G的一个标准方程 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】设点，，利用点差法可得答案.
【详解】设点，，
则，
两个等式作差得，
整理可得，
因为线段AB的中点为，
可得，
又，
所以，
所以，故可设，
此时椭圆G的方程为.
故答案为：.（答案不唯一）

3．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线C于两点，线段的中点为为坐标原点，且直线的斜率为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求实数m的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，进而可得抛物线方程，
（2）联立直线与抛物线方程，得韦达定理，由中点坐标公式和斜率公式即可求解.
【详解】（1）抛物线C的焦点为，
，即．
∴抛物线C的方程为．
（2）由消去得，此时，
．
．
点M坐标为．
，解得或．

题型五：处理存在性问题
1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；
(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；
（3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点，
则，解得，所以，双曲线的方程为.
（2）解：设直线交双曲线于点、，
联立可得，
因为直线与双曲线左支有两个交点，则，
解得，故实数的取值范围是.
（3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，
设点、，因为为线段的中点，则，
将点、的坐标代入双曲线的方程可得，
作差可得，即，
即，所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
联立可得，则，
因此，不存在满足题设条件的直线.
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不能，证明见解析；
【分析】（1）由渐近线方程求得一个关系，再代入点的坐标，可解得得双曲线方程；
（2）设出交点坐标，若是线段的中点，利用点差法求出直线l方程，再联直线与双曲线查看是否有解，即可判断.
【详解】（1）由题双曲线()经过点，其渐近线方程为，
所以，，
解得，
所以双曲线C的方程为：.
（2）
当直线l垂直x轴时，直线l的方程为，此时直线l与双曲线只有一个交点，不满足；
当直线l不垂直x轴时，斜率存在，
设，
所以，
两式作差得，
即，
若是线段的中点，则，
则，
所以直线l的斜率，
则直线l的方程为，
将直线l与双曲线联立，得，
，方程无解，
所以这样的直线不存在，即点P不能是线段的中点.
3．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【分析】（1）画出图形，由圆的外切、圆心坐标、圆的半径以及双曲线的定义即可得解.
（2）画出图形，中点弦问题用到中点坐标公式以及点差法来做稍微方便一些.
【详解】（1）如图所示：

由题意，的圆心分别为，，
且动圆与两定圆分别外切与两点，所以，，解得，
所以圆心的轨迹是以为焦点，为实轴顶点的双曲线但不包括实轴顶点，
所以曲线C的方程为，（且）.
（2）如图所示：

过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能为线段的为中点，理由如下：
由题意设点在双曲线上，且点为弦的中点，
所以，
又因为，所以，
即，，
存在过点且斜率为的直线：，即，
且联立，
消去并整理得，,两根均小于，满足题意，
综上所述：存在过点且斜率为的直线交曲线C于A，B两点，且点Q为线段的中点.
题型六：确定参数的取值范围
1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程；
(3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由椭圆及圆的性质可得，则，结合即可求得结果；
（2）由题可知，又，求解即可；
（3）设线段的中点为，由结合点差法求得的坐标，根据点P在椭圆内部得的范围，又点P在直线上，代入得的关系式，从而得实数的取值范围.
【详解】（1）椭圆C的短半轴，圆的圆心为原点，半径为，
∵椭圆C与圆有公共点，∴，，则，
又，从而解得，
所以a的取值范围为.

（2）由题可知，又，
联立解得，，
所以椭圆的方程为.
（3）设线段的中点为,
∵，∴①，
设，，则，，
两式作差得，即，
即，即②，
联立①②解得，即，
因为点P在椭圆内部，则，
代入点P坐标化简得，
又点P在直线上，代入得，
因此，实数的取值范围是．

2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.
【答案】
【分析】联立直线和椭圆的方程，由判别式大于0可得，以及可得根与系数的关系，根据，可得，结合根与系数的关系化简可得，解不等式即可求得答案.
【详解】由题设，联立，得，
由题设知，即①，
设，则，
因为为弦的中点，
∴，从而，
又由题意知,，
∴，
∵，则，即②，
把②代入①得，解得，又，
故的取值范围是.
3．（2023上·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）椭圆，，，，四点中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上两点、，若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，结合以及点差法求得直线的斜率的取值范围.
【详解】（1）由于，，关于轴对称，所以经过，两点，故不过，所以在上.
由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设其方程为，
由，得，
由，得，
设，，则，，
所以
，
因为，所以，
得，所以，
设直线的斜率为，因为，所以，
化简得，所以，
所以，解得或，
所以直线的斜率的取值范围为
题型七：定值问题
1．（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，点为坐标原点，线段的中点恰好为，点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过作的垂线交椭圆于两点．记与面积分别为，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据题意可得，又点到直线的距离为列式计算求得；
（2）设线段的中点，利用点差法可得，三点共线，即直线过线段的中点，得解.
【详解】（1）设，则，由线段的中点恰好为，得，
所以，整理得，
由得直线方程为，
所以点到直线的距离为，
所以，
椭圆的方程为．
（2）设，线段的中点，
则．
由（1）知，直线的斜率，
当时，直线的斜率．
因为点在椭圆上，所以，两式相减，
整理得，
又，
所以，直线的斜率为，
因为直线的斜率为，
所以三点共线，即直线过线段的中点，
当时，直线也过线段的中点，
所以到直线的距离相等，即与等底等高．
所以．
【点睛】思路点睛：设，线段的中点，利用点差法可得，三点共线，即线段的中点在直线上，得解.
2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可.
（2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可.
【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以，
化简得：.所以的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，解得或（舍去），
所以直线为，所以，
所以.
3．（2022上·陕西安康·高二校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点为，且离心率.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆E相交于A，B两点且P为AB的中点求弦长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由焦点坐标求出c，再根据离心率求出a，可得，可得椭圆方程；
（2）设出A，B坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式分解因式，转化为斜率与中点坐标的关系式，可求出弦所在直线斜率和直线的方程，将直线方程代入椭圆方程，求出,坐标，求出弦长.
【详解】（1）由题意椭圆的焦点在轴上，，又，
，，
所以椭圆的方程为.
（2）由题知直线的斜率不为0，设，，
代入椭圆方程得，作差得，
即，可得，
所以直线的斜率，
故直线的方程为即.
联立，消去得，解得或，
所以，,
所以弦长.
三、专项训练
一、单选题
1．（2024上·山西太原·高二统考期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，
又，两式相减得，
整理得，
所以以点为中点的弦所在的直线方程为，
即.
故选：D.
2．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解.
【详解】如图，取线段的中点为，连接，

因为，所以为中点，又为中点，
所以，
直线的斜率与的斜率乘积为，所以．
设，则，
两式相减可得，
整理得，即，
所以，所以，则．
故选：B．
3．（2024上·湖南·高二校联考期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得.
【详解】设，，则，
两式作差得，，
当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；
当时，得．
设线段中点，因为坐标，且过焦点，
所以，
则的斜率，
解得．
故选：A.
4．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得.
【详解】设，，线段AB的中点为E，
由，，两式相减可得，
即，又由，，则，
设直线的方程为，（），可得，，
又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得，
所以，所以，即，
得，
故选：A
5．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据得到，结合点差法相关知识计算求得，进而求得离心率.
【详解】如图所示，
因为，所以，
所以，
设，
则，两式相减得，
则，
因为直线，为线段中点，，
所以，，
代入上式得，则，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
6．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法结合选项得出方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.
【详解】设的中点，
所以，
易知，
由点差法可得
，
若，此时，
与双曲线联立，
即与双曲线只有一个交点，故A错误；
若，则此时，
与双曲线联立
，
即与双曲线有两个交点，故B正确；
若，则此时，
与双曲线联立，
即与双曲线有一个交点，故C错误；
若，则此时，
与双曲线联立，显然无解，
即与双曲线没有交点，故D错误；
故选：B
7．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.
【详解】设该弦为， 设，
则有，两式相减，得，
因为双曲线C的一条弦的中点为，
所以，
因此由，
即这条弦所在直线的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以该弦存在，
故选：D
8．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A．B．2C．或2D．以上都不是
【答案】B
【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解.
【详解】设，因为中点的横坐标为，则，
可得，
又由，两式相减得到，可得，
可得，解得或，
联立方程组，整理得，
由，解得，所以.
故选：B.
二、解答题
9．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）直线与椭圆相交于不同的两点，若的中点的横坐标为，求：
(1)的值；
(2)弦长的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法构造关于的方程，即可求得的值；
（2）联立直线方程与椭圆方程，得出和的值，利用弦长公式代入计算即可．
【详解】（1）设，中点为，
因为在直线上，
所以，
由，得：，
所以，即，
解得．
（2）由（1）得，直线方程为，
由，得，则，，
所以．
10．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.
(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点坐标，即可求解直线的方程；
（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得点的坐标，并利用直线与直线的关系，求得点的坐标，即可求解点，再通过消参求得点的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点，，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
所以，直线的方程为，
化简为直线的方程为；
（2）设直线的方程为，设，，
联立，得，
得，
所以中点的横坐标为，纵坐标为，
即，将换成得，
得的中点的坐标为，
即，得，
11．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点和，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点的坐标为，求直线的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆的方程为，代入点的坐标，得到方程组，求解即可得出答案；
（2）设，根据点差法结合已知得出直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【详解】（1）设椭圆的方程为，
由已知可得，，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）设，
则有，，
两式作差可得，
所以有.
又，
所以有，
所以直线的斜率，
所以，直线的方程为，整理可得，.

12．（2023上·江西·高二校联考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，是椭圆上两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点代入椭圆方程, 结合离心率为，列方程求出，可得椭圆的方程
（2）利用点差法求中点弦的斜率，再点斜式求直线方程.
【详解】（1）由题可知解得
故椭圆的方程为.
（2）设，，则

两式相减得，即.
因为线段的中点坐标为，所以，，所以，
所以直线的方程为，即.
13．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出，即可得双曲线的方程；
（2）将点坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程.
【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为，
，解得，
双曲线的方程为；
（2）线段的中点为，
,
点都在双曲线上，
，即，
所以，化简得，
即，
所以，若，此时直线AB过点P，不合题意舍去；
故，所以，所以直线AB方程为 ，
设，因为，所以M为AB的中点，
所以，则，
消去m得，又，且，所以，
所以，所以点M的轨迹方程为.
15．（2023下·福建·高二福建师大附中校考开学考试）已知双曲线.
(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
【答案】(1)不能，理由见解析；
(2)，.
【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.
（2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线垂直的直线方程，即可求解作答.
【详解】（1）点不能是线段的中点，
假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，
显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
而双曲线渐近线的斜率为，即，
由得，则有，解得，
此时，即方程组无解，
所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点.
（2）依题意，由消去y整理得，
因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，
则有，即，点M的横坐标为，
点，，过点与直线垂直的直线为，
因此，，，，
所以点的轨迹方程为，.