浙江省宁波市鄞州第二实验中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省宁波市鄞州第二实验中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
2．（4分）如图所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为
A．B．C．D．
3．（4分）由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则
A．4B．5C．4或5D．3或4或5
4．（4分）若当时，二次函数的最小值为0，则
A．B．C．D．或
5．（4分）如图所示，与圆相切于点，点在圆内，线段与圆相交于点，若，，，则圆的半径等于
A．B．3C．D．
6．（4分）如图，在四边形中，，于点，，，，若△的面积为12，则四边形的面积为
A．20B．24C．26D．28
7．（4分）将正十边形的每个顶点涂成红色或蓝色，那么共有 种不同的涂色方法使得不存在颜色相同的四个点可以构成矩形．（不允许旋转、翻折）
A．192B．272C．320D．352
二、填空题（每小题4分，共28分）
8．（4分）将一张扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，已知该圆锥形桶的底面周长为，高为，则扇形纸片的面积为 （结果保留．
9．（4分）如图，在中，，，，则 ．
10．（4分）△中，，若和是方程的两个根，则 ．
11．（4分）如图，中，弦，沿折叠劣弧交直径于，，则△的面积为 ．
12．（4分）已知开口向上的二次函数，若有且仅有两个整数使得关于的不等式成立，则的取值范围为 ．
13．（4分）已知二次函数的图象与轴有两个交点，，若抛物线上存在点，使得△为直角三角形，则的取值范围为 ．
14．（4分）如图，在等腰△中，点在斜边上，将绕点顺时针旋转至，连结交于点，当时， ．
三、解答题（第15-18题每小题10分，第19-20题每小题10分，共64分）
15．（10分）初中阶段我们已经会计算一些简单的数列求和，但是如果是无穷个有规律的数相加，结果会怎样呢？
（1）借助如图1计算： ．
（2）借助如图2计算： ．
（3）甲乙二人轮流掷一枚硬币，甲先掷，规定先掷出正面者获胜，求甲获胜的概率．
16．（10分）已知二次函数的图象与轴的交点横坐标为，．
（1）求的最小值．
（2）若，为整数，求的值．
17．（10分）已知，如图，点是上的动点，半径为5，点在弦上（点不与点重合），且．
（1）若，求长的范围．
（2）若，且经过圆心，求的长．
18．（10分）项目化学习：过抛物线上一点尺规作图作抛物线的切线．
【结论得出】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线上有一点．过点的直线与抛物线相切，与轴交于点．
①若已知，，则点的坐标为 ；
②设点的横坐标为，尝试用含有的代数式表示点的坐标．
【实践操作】
（2）如图2，给出任意抛物线及其顶点，点是抛物线上任意一点（不与点重合）．请过点用尺规作图的方法作直线，使与抛物线相切．（请写出作图步骤）
19．（12分）如图1，在△中，，，为上一点，且，取的中点，连结，，，分别取，的中点，．
（1）求的值．
（2）连结，求证：△△．
（3）延长交于点，已知．
①求的值；
②设，，求与的关系式．
20．（12分）如图，在△中，点，为，上的点，，，交于，△与△的外接圆相交于点（异于，，分别为△和△的垂心．
证明：（1）平分；
（2），，三点共线．（注：利用坐标系、复数解题者不给分）
2023-2024学年浙江省宁波市鄞州第二实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共28分）
1．（4分）如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得的长、的度数，然后根据图形可知，从而可以解答本题．
【解答】解：作于点，连接，如图所示，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（4分）如图所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为
A．B．C．D．
【分析】用列举法列举出可能出现的情况，在根据概率公式求解即可．
【解答】解：由于每个开关闭合的可能性均为，则共有8种情况；
1、关、关、开；
2、关、关、关；
3、关、开、开；
4、关、开、关；
5、开、开、关；
6、开、关、关；
7、开、开、开；
8、开、开、关．
只有5、7、8电灯可点亮，可能性为．
故选：．
【点评】本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
3．（4分）由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则
A．4B．5C．4或5D．3或4或5
【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图2列中的个数，分析其中的数字，从而求解．
【解答】解：由俯视图可知，该组合体有两行两列，
左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列叠有2个正方体，故；
由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故或2，
则或，
故选：．
【点评】本题考查了根据三视图判断几何体的构成及对几何体三种视图的空间想象能力．注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数．
4．（4分）若当时，二次函数的最小值为0，则
A．B．C．D．或
【分析】分两组情况讨论，当时，则当时，有最小值求得；当时，则时，有最小解得，即可求得．
【解答】解：，
图象的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
当时，有最小值，，
解得，
当时，抛物线开口向上，在时，随的增大而减小，
时，有最小值，，
解得（不合题意，舍去），
综上，．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（4分）如图所示，与圆相切于点，点在圆内，线段与圆相交于点，若，，，则圆的半径等于
A．B．3C．D．
【分析】根据切线的性质和相似三角形的判定和性质定理求出，然后求出，利用勾股定理求出圆的半径即可．
【解答】解：延长交圆于，过作与，连接，，
是圆的切线，切点为，
，
，
△△，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键，
6．（4分）如图，在四边形中，，于点，，，，若△的面积为12，则四边形的面积为
A．20B．24C．26D．28
【分析】过作．证明△△，得，设，则，设，则，得．再证明△△，得，故，，，
，，由△的面积得，通过换算得，故△面积，再计算即可．
【解答】解：如图，过作．
，，
△△，
，
设，则，
设，则，
．
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
△的面积，
，
，
，
，，
，
，
，
，
△面积，
四边形的面积△面积△的面积，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的面积，构造相似三角形，运用勾股定理进行计算是解题关键．
7．（4分）将正十边形的每个顶点涂成红色或蓝色，那么共有 种不同的涂色方法使得不存在颜色相同的四个点可以构成矩形．（不允许旋转、翻折）
A．192B．272C．320D．352
【分析】对于正十边形，任意两条经过正十边形中心的对角线的4个顶点就能构成矩形．根据10个顶点对应5条对角线的端点，然后分情况讨论：任意一条对角线两端点颜色不同；只有一条对角线两端点颜色相同；只有两条对角线两端点颜色相同，但两条对角线之间的端点颜色不同．最后求出各种情况的数量和即可．
【解答】解：根据对角线相等且互相平分的四边形为矩形，所以可以把正十边形的10个顶点看作为过正十边形中心的5条对角线的10个端点．由于这5条对角线的任意2条对角线的4个顶点均可以构成矩形，根据题意，需要5条对角线中任意2条对角线的4个端点不能涂成相同的颜色（红色或蓝色）．
因此，分为三种情况讨论：
5条对角线中，任意一条对角线的2个端点颜色都不相同，有（种；
5条对角线中，只有一条对角线的2个端点颜色相同，有（种；
5条对角线中，只有2条对角线各自的2个端点颜色相同，但这两条对角线之间的端点颜色不同，这种情况有（种．
（种．
所以共有352种涂色方法．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定，正多边形的性质，涂色问题，分类讨论的思想等．本题的关键是把所求转化为正十边形的5条对角线的端点涂色问题．本题对逻辑推理能力要求较高，注意分类讨论时的严谨性．
二、填空题（每小题4分，共28分）
8．（4分）将一张扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，已知该圆锥形桶的底面周长为，高为，则扇形纸片的面积为 （结果保留．
【分析】先利用圆的周长求圆的底面圆的半径为，再利用勾股定理计算出圆锥的母线长为，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
即扇形纸片的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
9．（4分）如图，在中，，，，则 3.4 ．
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：过作的平分线交于，如图所示，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
在和中，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3.4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似三角形并根据相似比求出的值．
10．（4分）△中，，若和是方程的两个根，则 ．
【分析】根据锐角三角函数关系式，得；根据一元二次方程根与系数的关系，得，，再进一步利用完全平方公式得到关于的方程进行求解．
【解答】解：和是方程的两个根，
，，
△中，，
，
，
，
，
解得，．
故答案为：．
【点评】此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．
11．（4分）如图，中，弦，沿折叠劣弧交直径于，，则△的面积为 ．
【分析】连接，过作于，由折叠的性质得到，根据圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，通过△△，得到，得到，由勾股定理得到，列方程即可得到结论．
【解答】解：连接，过作于，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
解得：或（舍去），
，，
△的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
12．（4分）已知开口向上的二次函数，若有且仅有两个整数使得关于的不等式成立，则的取值范围为 ．
【分析】根据所给二次函数解析式，得出当时，，当时，，再结合抛物线开口向上及有且仅有两个整数使得关于的不等式成立，得出（1），（2）即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为二次函数解析式为，
所以当时，．
又因为抛物线开口向上，
所以，
则当时，．
因为有且仅有两个整数使得关于的不等式成立，
所以（1），（2），
则，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，能根据题意得出（1），（2）是解题的关键．
13．（4分）已知二次函数的图象与轴有两个交点，，若抛物线上存在点，使得△为直角三角形，则的取值范围为 ．
【分析】由抛物线的解析式为可知抛物线开口向上，与轴的交点为，．由抛物线的形状可知，如果△为直角三角形，那么直角顶点只能是点．过点作于，由射影定理得出，由此列出方程，通过该方程的根的判别式大于等于零列出关于的不等式，通过解不等式求得的取值范围．
【解答】解：，
抛物线开口向上，与轴的交点为，，
由抛物线的形状可知，如果△为直角三角形，那么直角顶点只能是点，且点在轴下方．
设点的横坐标为，过点作于，如图．
，
，
即，
整理得，
△，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，射影定理，能够理解题意得到关于的方程是解题的关键．
14．（4分）如图，在等腰△中，点在斜边上，将绕点顺时针旋转至，连结交于点，当时， ．
【分析】连接，可证得△△，得出，，再证得，得出，推出△△，设，，则，，再利用相似三角形的性质和解直角三角形即可求得答案．
【解答】解：如图，连接，
，
，
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
，
△是等腰直角三角形，
，，，
△是等腰直角三角形，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
△△，
，
设，，
则，，
，
即，
，
令，则，
解得：，
，
，
，
在△中，，
故答案为：．
【点评】本题是相似三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程等，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题关键．
三、解答题（第15-18题每小题10分，第19-20题每小题10分，共64分）
15．（10分）初中阶段我们已经会计算一些简单的数列求和，但是如果是无穷个有规律的数相加，结果会怎样呢？
（1）借助如图1计算： ．
（2）借助如图2计算： ．
（3）甲乙二人轮流掷一枚硬币，甲先掷，规定先掷出正面者获胜，求甲获胜的概率．
【分析】（1）根据图形即可得到结论；
（2）根据图形即可得到结论；
（3）根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：（1）根据图形分析可得原式，
故答案为：；
（2）根据图形分析可得原式，
故答案为：；
（3）掷一枚硬币，出现反面和出现正面的情况各占一半，
甲获胜的概率为．
【点评】本题考查了概率公式，有理数的混合运算，规律型：图形的变化类，正确的识别图形是解题的关键．
16．（10分）已知二次函数的图象与轴的交点横坐标为，．
（1）求的最小值．
（2）若，为整数，求的值．
【分析】（1）由进行判断即可．
（2）由得，由，为整数，设，，再分组讨论即可．
【解答】解：（1），
，
的最小值为．
（2），
，，
，为整数，
为整数，
设，
，
，
或或或，
（舍去）或或（舍去）或，
当，时，，，符合题意．
当，时，，，符合题意．
或2．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题关键．
17．（10分）已知，如图，点是上的动点，半径为5，点在弦上（点不与点重合），且．
（1）若，求长的范围．
（2）若，且经过圆心，求的长．
【分析】（1）过点作，得，由勾股定理得：，得，由勾股定理得，当点与点重合时，最小值为，故长的范围为；
（2）过点作，连接，过作，由三线合一得，由勾股定理得，故△为等腰△，设，由换算得，过作，换算得，故，再计算即可．
【解答】解：（1）如图，过点作，连接、，
，，
，
在△中，由勾股定理得：
，
，
在△中，由勾股定理得：
，
当点与点重合时，最小值为，
长的范围为；
（2）过点作，连接，过作，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理的性质，利用勾股定理正确运算是解题关键．
18．（10分）项目化学习：过抛物线上一点尺规作图作抛物线的切线．
【结论得出】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线上有一点．过点的直线与抛物线相切，与轴交于点．
①若已知，，则点的坐标为 ， ；
②设点的横坐标为，尝试用含有的代数式表示点的坐标．
【实践操作】
（2）如图2，给出任意抛物线及其顶点，点是抛物线上任意一点（不与点重合）．请过点用尺规作图的方法作直线，使与抛物线相切．（请写出作图步骤）
【分析】（1）①由得直线解析式为，联立，再计算即可．
②由，得过的直线解析式为，联立，再计算即可．
（2）由（1）中①②知点的横坐标是点的横坐标的一半画图即可，具体过程见解答．
【解答】解：（1）①设直线解析式为，
代入得，
直线解析式为，
联立得，
△，
，
直线解析式为，
，．
故答案为：，．
②点的横坐标为，且在上，
，
设过的直线解析式为，
，
，
过的直线解析式为，
联立得，
△，
，
过的直线解析式为，
，
（2）①以为圆心，为半径作弧，交抛物线于另一点．
②连接，交于，以、为圆心，以大于一半的长为半径作弧，交于、，连接，则垂直平分，且过点．
③以为圆心，以任意长为半径画圆，交直线于、，以、为圆心，以大于一半的长为半径作弧，交于，连接，则．
④同②中方法作的垂直平分线，交于，连接，则直线与抛物线相切，即直线与抛物线相切．
【点评】本题考查了二次函数综合题，找到点和点的关系是解题关键个．
19．（12分）如图1，在△中，，，为上一点，且，取的中点，连结，，，分别取，的中点，．
（1）求的值．
（2）连结，求证：△△．
（3）延长交于点，已知．
①求的值；
②设，，求与的关系式．
【分析】（1）由，，为中点，可得△是等边三角形，，而，是，的中点，即得，，又，故；
（2）在△中，可得，在△中，可得，从而，根据是△的中位线，可得，则，且，即可证△△；
（3）①过作于，由，，可得，，又，可得，根据△△，可得，而，故△△，进而得到，进而得解；
②由得到，进而求得．
【解答】（1）解：，，
，
为中点，
，
△是等边三角形，
，
，是，的中点，
是△的中位线，
，
，
是的中点，△是等边三角形，
，
；
（2）证明：在△中，，
，
在△中，，
，
，
，
是△的中位线，
，
，
，
，
，
△△；
（3）解：过作于，如图
，，
，，
，
，
，
，
①由（2）知△△，
，
，
，
，
而，
△△，
，
；
②由①得，
，
整理化简得：．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形性质与应用，解题的关键是证明△△，利用对应边成比例解决问题．
20．（12分）如图，在△中，点，为，上的点，，，交于，△与△的外接圆相交于点（异于，，分别为△和△的垂心．
证明：（1）平分；
（2），，三点共线．（注：利用坐标系、复数解题者不给分）
【分析】（1）通过证明△△得出，然后由推导出，再由邻补角的性质得出，即可证明结论；
（2）根据题意构造、、、四点共，以及、、、四点共，然后由相似三角形推导出点、对于和等幂，再由根轴的性质得出是的垂直平分线，最后根据得到，进而证得三点共线．
【解答】（1）证明：在△和△中，，，，
△△．
，
，
为△的外接圆半径）．
．
又，
，
平分．
（2）证明：连接、并延长分别交于、，连接、并延长交于、．
中点为，中点为
，，
、、、四点共．
，，
、、、四点共．
，△，
△△，
，
．
同理得．
点、对于和等幂，
，在和的根轴上．
和的根轴是过两圆的交点的直线．
，在和的公共弦上．
又，即和是等圆，
四边形为菱形．
是的垂直平分线，为中点．
由（1）知△△，
、分别为△和△的对应边上的中线，
，
点在的垂直平分线上．
，，三点共线．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆幂定理，菱形的性质，等腰三角形的性质等．本题辅助线繁多，综合性强，通过四点共圆判断出、两点对于和等幂是解答本题的关键．