浙江省宁波市余姚市高风中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省宁波市余姚市高风中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了下列函数中，是二次函数的是，二次函数的图象的顶点坐标是，的值等于，下列各事件中，是必然事件的是，如图，，，，则的长为等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是
A．B．C．D．
2．（3分）二次函数的图象的顶点坐标是
A．B．C．D．
3．（3分）的值等于
A．B．C．1D．
4．（3分）下列各事件中，是必然事件的是
A．是实数，则B．掷一枚硬币时，正面朝上
C．三角形内角和是D．任意买一张电影票，座位号是单号
5．（3分）已知线段，，则线段和的比例中项为
A．6.5B．C．6D．
6．（3分）如图，，，，则的长为
A．9B．15C．18D．12
7．（3分）已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关为
A．B．C．D．无法确定
8．（3分）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为
A．B．C．D．
9．（3分）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
10．（3分）如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出△面积的条件是
A．B．C．D．
二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ．
12．（4分）某商店现推出三款杭州亚运会吉祥物盲盒，内分别含有吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，则小明任意抽一个盲盒，抽到“宸宸”的概率是 ．
13．（4分）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ．
14．（4分）如图，△的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为 ．
15．（4分）如图，在平行四边形中，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ．
16．（4分）如图，△内接于，，，是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ．
三.解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）城市小区生活垃圾分为、、、四种不同的类型．
（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是 ．
（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，利用树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．
18．（8分）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
19．（8分）二次函数、为实数）的图象经过点，点．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）当时，求该二次函数的最大值与最小值．
20．（10分）某商家进购了一批钥匙扣，每个进价为5元．若该钥匙扣每个售价是7元时，每天可售出160个；经市场调研，若每个售价提高1元，则每天少卖20个．
（1）设该钥匙扣每个售价定为元时为正整数，且，求该商品利润与之间的函数关系式；
（2）物价局规定利润率不得高于，求每个售价定为多少元时，每天销售钥匙扣所获利润最大？最大利润是多少元？
21．（10分）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点，到的距离为2米，到地面的距离为1.1米，求点到地面的距离的长．
（2）在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．
（参考数据：，，
22．（12分）定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，△的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）；
（2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”， ，平分．连接，若△的面积为，求的长．
23．（12分）如图，射线射线，、在射线上，在射线上，连结，．若，，设．过点，，的圆交的垂线于点，连结，直线，交于点．
（1）求．
（2）连结，记△的面积为．
①求关于的函数表达式；
②当时，求此时的值．
（3）点关于直线的对称点为，若落在△内部（不包括边界）时，请直接写出的取值范围．
2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高风中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是，其中．
【解答】解：、，是正比例函数，故本选项不符合题意；
、，是反比例函数，故本选项不符合题意；
、，符合定义，故本选项符合题意；
、，是一次函数，故本选项不符合题意；
故选．
【点评】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．
2．（3分）二次函数的图象的顶点坐标是
A．B．C．D．
【分析】二次函数的顶点坐标是．
【解答】解：根据二次函数的顶点式方程知，该抛物线的顶点坐标：．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义．
3．（3分）的值等于
A．B．C．1D．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值作答即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
4．（3分）下列各事件中，是必然事件的是
A．是实数，则
B．掷一枚硬币时，正面朝上
C．三角形内角和是
D．任意买一张电影票，座位号是单号
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解答．
【解答】解：、是实数，则，是不可能事件，故不符合题意；
、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；
、三角形内角和是，是必然事件，故符合题意；
、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了随机事件，绝对值的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
5．（3分）已知线段，，则线段和的比例中项为
A．6.5B．C．6D．
【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出答案．
【解答】解：设线段和的比例中项为，
根据比例中项的概念，得，
，
线段不能是负数，应舍去，取．
故选：．
【点评】本题考查了比例线段，掌握比例中项的概念是解决问题的关键．
6．（3分）如图，，，，则的长为
A．9B．15C．18D．12
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：，
△△，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
7．（3分）已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关为
A．B．C．D．无法确定
【分析】依据题意，由抛物线为，从而抛物线开口向上，且抛物线的对称轴是直线，故此抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，进而可以判断得解．
【解答】解：抛物线为，
抛物线开口向上，且抛物线的对称轴是直线．
抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
8．（3分）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接，
四边形内接于，
，
，
，
点为的中点，
，
是直径，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
9．（3分）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可．
【解答】解：，，，
，，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．
10．（3分）如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出△面积的条件是
A．B．C．D．
【分析】根据相似矩形设相似比，再运用相似三角形得出关键线段长，运用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：矩形矩形，
设矩形与矩形的相似比为，即，
设，，
则在矩形、矩形中，，，
矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，，
，，
△△，△△，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似矩形、相似三角形的性质及判定，找到关键线段的长运用三角形面积公式是解题的关键．
二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：平移后的抛物线的解析式是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
12．（4分）某商店现推出三款杭州亚运会吉祥物盲盒，内分别含有吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，则小明任意抽一个盲盒，抽到“宸宸”的概率是 ．
【分析】由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“宸宸”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
【解答】解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“宸宸”的结果有1种，
小明任意抽一个盲盒，抽到“宸宸”的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
13．（4分）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ．
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：，
扇形的弧长为．
故答案为：．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是解题的关键．
14．（4分）如图，△的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为 ．
【分析】在△中，利用勾股定理可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
在△中，，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．（4分）如图，在平行四边形中，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ．
【分析】先根据平行四边形的性质得到，，再证明，接着证明△△，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
为中点，
，
即
，
，
△△，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
16．（4分）如图，△内接于，，，是的中点，则的半径为 6 ，的长度的最小值是 ．
【分析】连接并延长交于，连接，则，，得到延长到，使，作于，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】解：连接并延长交于，连接，
则，，
，
，
即的半径为6，
当时，的长度的最小，
是的中点，
延长到，使，作于，连接，，，
是的中点，
是△的中位线，
，
当长最小时，长最小，当的延长线过圆心时，长最小，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长度的最小值是，
故答案为：6，．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，当过圆心时，即可求得长的最小值．
三.解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）城市小区生活垃圾分为、、、四种不同的类型．
（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是 ．
（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，利用树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好是的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是同一类型垃圾的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好是的结果有1种，
甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中恰好是同一类型垃圾的结果有4种，
恰好是同一类型垃圾的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18．（8分）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理推论可求；
（2）由垂径定理得，应用勾股定理即可计算．
【解答】解：（1），
，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理和勾股定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
19．（8分）二次函数、为实数）的图象经过点，点．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）当时，求该二次函数的最大值与最小值．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法即可求得顶点坐标；
（2）根据的取值范围可知抛物线的顶点二次函数可取得最大值，再由二次函数的对称性和图象，即可得出找到最小值．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，，
，解得，
该二次函数的解析式，
，
顶点坐标为；
（2）的顶点坐标为，
当时，函数的最大值为5，
根据二次函数的对称性，由图象可知：当时，函数有最小值，最小值．
【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，利用二次函数图象上点的坐标特征，确定二次函数的极值和函数的解析式是解题的关键．
20．（10分）某商家进购了一批钥匙扣，每个进价为5元．若该钥匙扣每个售价是7元时，每天可售出160个；经市场调研，若每个售价提高1元，则每天少卖20个．
（1）设该钥匙扣每个售价定为元时为正整数，且，求该商品利润与之间的函数关系式；
（2）物价局规定利润率不得高于，求每个售价定为多少元时，每天销售钥匙扣所获利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）因为售出每个钥匙扣可获利润元，每天可售出个，所以，即为正整数，且；
（2）因为，由利润率不得高于，可求得，所以当时，，即每个售价定为9元时，每天销售钥匙扣所获利润最大，最大利润是560元．
【解答】解：（1）根据题意得，
整理得，
答：该商品利润与之间的函数关系式为为正整数，且．
（2），
利润率不得高于，，
，
，
当时，，
答：每个售价定为9元时，每天销售钥匙扣所获利润最大，最大利润是560元．
【点评】此题重点考查二次函数的应用，正确地求出该商品利润与之间的函数关系式是解题的关键．
21．（10分）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点，到的距离为2米，到地面的距离为1.1米，求点到地面的距离的长．
（2）在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．
（参考数据：，，
【分析】（1）先根据锐角三角函数求出的长，再求出的长即可解答；
（2）当时，，求出此时的长，再与轿车的宽进行比较即可解答．
【解答】解：（1）过点作于点，如图；
在△中，，，
，
，
；
（2）轿车不能驶入小区，理由如下：
当时，，，
，
，
在△中，，
，
，
轿车不能驶入小区．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题关键．
22．（12分）定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，△的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）；
（2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”， ，平分．连接，若△的面积为，求的长．
【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，可知为△的直角边，且两条直角边之比为，则可找出符合要求的点；
（2）由角平分线的定义得，则，从而得出△△，即可证明结论；
（3）作于点，根据相似三角形的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质得，从而得出，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1所示（答案不唯一）
（2）是四边形的“相似对角线”，理由如下：
平分，
，
，
，
，
△△，
是四边形的“相似对角线”；
（3）如图3，作于点，
” ，平分，
．
又是四边形的“相似对角线”，
，
，
，即，
，
，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，利用整体思想求出是解题的关键．
23．（12分）如图，射线射线，、在射线上，在射线上，连结，．若，，设．过点，，的圆交的垂线于点，连结，直线，交于点．
（1）求．
（2）连结，记△的面积为．
①求关于的函数表达式；
②当时，求此时的值．
（3）点关于直线的对称点为，若落在△内部（不包括边界）时，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）利用勾股定理可求得，利用同弧所对的圆周角相等和直角三角形的边角关系通过计算即可；
（2）①利用勾股定理求出的长，利用（1）②的结论，可得，的长，由题意可得为圆的直径，则；利用勾股定理求得的长．利用，可得△中边上的高等于，利用三角形的面积公式即可求得结论；
②将已知条件转化为，利用三角形的面积公式代入得到关于的方程，解方程即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想分：①当点的对称点落在上时，②当点的对称点落在上时，利用轴对称的性质可得或，进而得到关于的方程，从而求得当点落在边界上的值，由题意可得结论．
【解答】解：（1）①，，
．
射线射线，
．
在△中，
．
，
；
（2）①，，
．
设，则，
．
在△中，
．
，．
，
是圆的直径．
．
，
．
，，
．
．
②△与△的面积差为2，
．
．
即：．
．
．
解得：．
当△与△的面积差为2，此时的值为1．
（3）的取值范围：．理由：
①当点的对称点落在上时，如图，
则．
是圆的直径，
平分，
即是的垂直平分线．
．
．
解得：或．
，
．
②当点的对称点落在上时，如图，
则垂直平分，
．
，
．
．
．
．
解得：．
落在△内部（不包括边界），
的取值范围：．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，利用相似三角形的性质和勾股定理求得相应线段的长度是解题的关键．