沪教版（五四制）（2024）九年级上册第二十六章 二次函数第二节 二次函数的图像26.2 特殊二次函数的图像精品第1课时随堂练习题

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一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
要点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
要点：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
过关检测
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与轴交点的坐标是B．对称轴是轴
C．顶点坐标为D．当时，随的增大而增大
3．关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．开口向上B．时，y随x的增大而减小
C．对称轴是y轴D．抛物线过点
4．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．在二次函数：①；②；③中，图像开口大小顺序用序号表示为（ ）
A．B．C．D．
6．若是二次函数，最大值为0，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ）
A．，取任意实数B．，
C．，D．，均可取任意实数
9．如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（ ）

A．B．C．D．
10．如图，A、B、C三点均在二次函数的图像上，M为线段AC的中点，轴，且．设A、C两点的横坐标分别为、（），则的值为（ ）

A．3B．C．D．
二、填空题
11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式 ．
12．抛物线 y=2x2+1的对称轴 ．
13．抛物线位于轴左侧的部分是 的．（填“上升”或“下降”）
14．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①；②；③；④．比较的大小，用“”连接为 ．

15．已知点，，均在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为 ．
16．二次函数 ，当时，y的取值范围为 ．
17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象上两点A，的横坐标分别为，2．若为直角三角形，则的值为 ．
18．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件 ．
三、解答题
19．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：
（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；
（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．
20．已知抛物线经过点．
(1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置；
(2)判断点是否在此抛物线上．
21．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
（4）函数的图象是开口向上的抛物线．
22．已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？
23．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
24．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．

(1)求两个函数的解析式；
(2)求的面积．
25．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)若于点，．试说明点在抛物线上．
26．如图，点是轴负半轴上的一点，经过点作直线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），连接、，设点的横坐标为．
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，，求的值，并证明：；
（3）若，问“”这一结论还成立吗？试说明理由．
函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而增大；
x<0时，y随x增大而减小.
当x=0时，y最小=0
y=ax2
a<0
向下
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而减小；
x<0时，y随x增大而增大.
当x=0时，y最大=0
函数
图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，c)
(0，c)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值
当时，
当时，
x
…
0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
x
﹣2
1
5
y
m
n
p