沪教版 (五四制)九年级上册26.2 特殊二次函数的图像优秀教案

§26.2（1）特殊二次函数的图像（二次函数的图像）

【教学目的】

(1)了解二次函数的图像是抛物线，会用描点法画二次函数的图像．

(2)借助二次函数的图像归纳二次函数的基本性质并加以直观描述．（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性）．

(3) 在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法．

(4) 培养学生通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法.

【教学重点】会用描点法画出二次函数的图像，概括出图象的特点及函数的性质．

【教学难点】会用描点法画二次函数的图像.

【教学过程】一、复习导入

问题 1.二次函数的一般式及定义域；

2.一次函数的特殊函数是什么函数？它的解析式及图像分别是什么？

二、探究新课  用描点法画出函数的图像

（1）描点法画函数的图像前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（由解析式可以看出可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的的值，看看画出来的图形的大致形状，如有问题再加以修正或补充．）

步骤：1）列表：

2）   描点：

3）   连接成光滑曲线：

说明：画图时曲线不能画到端点为止，必须超过端点，表示可以向上（或向下）无限延伸．顶点处要画得光滑，不能画成尖端．

（2）观察函数的图象，它的形状、位置有哪些特征？（引导学生观察列表中的数据）

函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把这种图像叫做抛物线。

通过观察可以发现，抛物线经过原点O，且位于y轴的左右两侧，向上无限延伸；当自变量取互为相反数的两个数时，它们所对应的函数值相同；从图像中也可以看出，横坐标互为相反数的任意两个点总有相同的纵坐标，这样的两点是关于y轴对称的点，所以抛物线关于y轴对称．同时，通过图像，我们还能观察到抛物线与对称轴y轴有交点，将它定义为顶点．顶点是抛物线的最低点．

试一试  用上述方法画出函数的图像，再归纳它的图像特征.

例题  在同一直角坐标系xOy中，分别画出二次函数和的图像. 并指出它们有何共同点？有何不同点？（解：略.）

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：的图像开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．的图像开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

二次函数的图像是抛物线。

性质：（让学生观察图像得出结论）

1）   抛物线是关于轴对称，即对称轴是轴。

2）   抛物线和轴有一个交点是原点（0，0），叫做顶点。

3）   顶点是这个抛物线的最低点

4）   抛物线上的点除顶点在轴上之外，其余的点都在轴的上方。

一般地，抛物线的对称轴是轴，即直线x=0，顶点是原点，，当a＞0时，它的开口向上，顶点是最低点，当a＜0时，它的开口向下，顶点是最高点。

注：1）a的符号决定图像的开口方向。

2）∣a∣的大小，决定着图像的开口大小，∣a∣越大，抛物线的开口越小，∣a∣越小，抛物线的开口越大，

3）若a是互为相反数，则它们的图像是关于轴对称。若函数的图像绕着顶点旋转180°（或沿轴翻折）得到函数的图像。

思考：求函数的解析式需要已知几个点的坐标？（待定系数法）

三、课内练习： P89/1、2、3.

补充：1.（1）函数的开口       ，对称轴是        ，顶点坐标是         ；

（2）函数的开口      ，对称轴是        ，顶点坐标是         ．

2．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图像的草图．

四、小结：今天你学到了哪些知识?掌握了吗？

五、作业：练习册：P51/习题26.2（1）

补充： A组

1.填空：（1）抛物线，当x=     时，y有最     值，是     ．

（2）当m=     时，抛物线开口向下．

（3）已知函数是二次函数，它的图象开口      ，当x      时，y随x的增大而增大．

2．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；  （2）作出函数的图象（草图）．

3．已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值．

B组

4．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．

5．二次函数与直线交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．

6.一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．

（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．

7.已知两点A（2，0），B（1，1），直线AB与抛物线相交于B、C两点。

1）   求直线AB及抛物线所表示函数的解析式；

2）   如果抛物线上有一点D，使S△OAD=S△OBC，求这时D的坐标。

A．  圆的周长与圆的半径之间的关系