沪教版（五四制）数学九上第24章 《相似三角形》 单元综合检测（重点）（原卷+解析卷）

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第24章 相似三角形 单元综合检测（重点）一、单选题1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解析】解：A、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；C、∵，∴四条线段成比例，不符合题意；D、∵，∴四条线段成比例，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2．下列命题中，错误的是（    ）A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似【答案】B【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案．【解析】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误；B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确；C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误；D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误，故选B．【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键．3．如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可．【解析】解：A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意；B、∵，∴，故此选项正确，符合题意；C、∵，∴，故此选项错误，不符合题意；D、∵，∴，故此选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键．4．如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ）A． B．是和的比例中项C． D．【答案】C【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可．【解析】解：点是线段的黄金分割点且，是和的比例中项，，，故选项A、、不符合题意，选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，求得的值，然后结合平面向量的三角形法则求得的值．【解析】解：∵，∴．∵，∴．又，∴．故选：D．【点睛】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用．6．根据下列条件，能判定和相似的个数是（　　）（1），，，；（2），，，，，；（3），，，，，；（4），，，，，．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据两三角形相似的判定定理，对各选项依次判断即可．【解析】解：（1）和中，，，，，∴，∴和不相似；（2）和中，∵，，但与不一定相等，∴和不相似；（3）∵，，，∴，∴和不相似；（4）∵，，，∴，∴和相似；综上，只有（4）相似，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．如图，直线，直线和分别与相交于A、B、C和D、E、F，若，则下列各式中，正确的是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值即可得到结论．【解析】解：∵直线，∴，∵，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．8．如图，已知点D、E分别在的边、上，，，那么等于（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得，与是同高，故底之比等于，从而得出面积之比．【解析】解： ∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵和的高相同，∴，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．9．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（    ）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】过点A作于H，交于M，如图，先利用三角形面积公式计算出，设正方形的边长为x，则，再证明，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可．【解析】解：如图，过点A作于H，交于M， ∵的面积是32，，∴，∴，设正方形的边长为x，则，∵，∴，∴ ， ，解得∶，即这个正方形的边长是4．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵=，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形，∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°，∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．二、填空题11．已知，那么 ．【答案】【分析】根据比例的性质即可求出答案．【解析】解：，，；故答案为：．【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．12．两个相似三角形的对应边上的中线之比，则这两个三角形面积之比为 ．【答案】/【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可．【解析】两个相似三角形的对应边上的中线之比，两个相似三角形的相似比为，两个相似三角形的面积之比为，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键．13． ．【答案】0【分析】根据即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，故答案为：0【点睛】此题考查了向量，熟练掌握互为相反向量的和为0是解题的关键．14．在的地图上，若两地图上的距离为，则两地的实际距离为 ．【答案】【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可．【解析】解：由题意得，两地的实际距离为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键．15．已知P点为线段的黄金分割点，，且，则 【答案】/【分析】如图，点P是线段上的黄金分割点，，则，再代入数据计算即可．【解析】解：如图，点P是线段上的黄金分割点，且，，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是线段的黄金分割点，掌握“线段的黄金分割点的定义”是解题的关键．16．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ．【答案】【分析】根据得到，根据比例的性质可得，再根据，即可得到答案；【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线截线段对应成比例，解题的关键是根据比例性质求得．17．如图，G是的重心，延长交于点D，延长交于点E，P、Q分别是和的重心，长为6，则的长为 ．【答案】1【分析】连接，延长交于F点，连接，由G是的重心，可证是的中位线，从而可求出的长．利用三角形重心的定义和性质得到，，再证明得到即可．【解析】解：连接，延长交于F点，连接，如图，  ∵G是的重心，∴D、E分别是的中点，∴是的中位线，∴．∵P点是的重心，∴F点为的中点，，∵Q点是的重心，∴点Q在中线上，，∵，，∴，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．18．在中，1，以为边在外作等边，设点E、F分别是和的重心，则两重心E与F之间的距离是 ．  【答案】/【分析】如图：取中点O，连接．根据含30度角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理得出，根据等边三角形的性质得出，，那么，利用勾股定理求出．然后证明，得出．【解析】解：如图：取中点O，连接在中，，∴AC=2BC=2，AB==，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴BD==．∵点E、F分别是和的重心，∴ ，又∵，∴，∴，∴．故答案为：．  【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、三角形重心的定义与性质等知识点，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．三、解答题19．已知线段a、b满足，且．(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得；（2）根据比例中项的定义求解即可得．【解析】（1）解：，，，，解得，则．（2）解：线段是线段、的比例中项，，即，解得或（不符合题意，舍去），则的值为．【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．20．如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，．(1)求、的长；(2)如果，，求的长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案；（2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可．【解析】（1）∵直线，∴，∵，，，∴，∴．∴长为，长为．（2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点，∵，，，∴，又，∴，∴，∵，，∴,∴，∴，∴的长为．【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键．21．如图，在中，点D在边上，，E是的中点．(1)求证：；(2)设，，用向量、表示向量．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题目条件，证明，即可求证；（2）利用平面向量线性运算的三角形法则即可求解．【解析】（1）∵E是的中点，∴，∴,又,∴，∴（2）∵，，∴，∵∴，∴，∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平面向量的线性运算，解题关键是找出相似三角形．22．如图，，于点，，，且，求：  (1)的长；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据已知条件证明，根据相似三角形的性质即可求解；（2）根据已知得出，根据（1）的结论得出，，即可求解．【解析】（1）解： ，，，，，，，，又，，，．，，；（2），，，，又，，则，．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．23．如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证：  (1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，再用等角的余角相等判断出，即可得出结论；（2）先判断出，进而判断出，得出．【解析】（1）证明：是菱形的对角线，，点是菱形的两条对角线的交点，，，，，，在中，，，，，，，∵，∴；（2）证明：由（1）知，，是菱形的对角线，，，，，，，，，，，．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键．24．已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．(1)求点B的坐标；(2)求直线AE的表达式；(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．【答案】(1)B（8，0）(2)直线AE的表达式为y=-2x+6(3)△OFB为等腰三角形，S△OBF=8【分析】（1）将代入直线的表达式中求出值，此题得解；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，结合勾股定理可求出的长度，再利用角平分线的性质以及等面积法即可求出点的坐标，根据点 、的坐标利用待定系数法即可求出直线的表达式；（3）过点作轴于点，由可得出，根据相似三角形的性质可得出、的长度，同理可得出，根据相似三角形的性质可得出、的长度，结合即可得出，由此可得出为等腰三角形，再根据三角形的面积公式可得出的面积．【解析】（1）解：当时，，点的坐标为；（2）解：当时，，点的坐标为，，，，平分，交轴于点，到轴距离与到直线的距离相等都等于长， 即 ，，点的坐标为，设直线的表达式为，将、代入，，解得：，直线的表达式为；（3）解：过点作轴于点，如图所示．，，，，，，，，，，．同理可得：，，，，，为等腰三角形，．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征求出点的坐标；（2）利用角平分线的性质求出点E的坐标；（3）根据相似三角形的性质求出、的长度．25．在中，， 点P在线段上，，交于点D，过点B作，垂足为E，交的延长线于点F．(1)如果，①如图1当点P与点C重合时，求证： ；②如图，当点在线段上，且不与点、点重合时，问： ①中的“”仍成立吗?请说明你的理由；(2)如果，如图11，已知 (n为常数)，当点P在线段上，且不与点B、点C重合时，请探究的值(用含n的式子表示)，并写出你的探究过程．【答案】(1)①证明见解析；②成立，证明见解析(2)，过程见解析【分析】（1）①由等角对等边可得，证明，则，证明，则，进而可证；②如图1，过作交于，交于，则，同理①可证，，则，同理①可证，，则，；（2）如图2，过作交于，交于，同理（1）可证：，则，证明，则，证明，则，即，可知，即，进而可得．【解析】（1）①证明：∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；②解：仍成立，理由如下：如图1，过作交于，交于，∴，，∴，∴，∵，∴，同理①可证，，∴，同理①可证，，∴，∴；（2）解：如图2，过作交于，交于，同理（1）可证：，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，即，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．