数学九年级上册第二十四章 相似三角形综合与测试单元测试同步测试题

这是一份数学九年级上册第二十四章 相似三角形综合与测试单元测试同步测试题，共15页。试卷主要包含了若＝，则的值为等内容，欢迎下载使用。

1．在一张由复印机复印出来的图片上，一个多边形的图案的一条边由原来的2cm变成4cm，那么这个复印出来的多边形图案的面积是原来的（ ）
A．2倍B．3倍C．4倍D．8倍
2．手工制作课上，小红利用一些彩纸，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心菱形、矩形、等边三角形、正方形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列图形中，形状一定相同的两个图形是（ ）
A．两个直角三角形B．两个正三角形
C．两个矩形D．两个梯形
4．如果2x＝3y，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
5．若＝，则的值为（ ）
A．﹣B．C．﹣11D．11
6．如图，△ABC为等边三角形，G为三角形的重心，延长CG交AB于E．则图中全等的三角形有（ ）对．
A．3B．5C．7D．9
7．已知ab＝cd，则下列各式不成立的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
8．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝4，点G是△ABC的重心．将△ABC平移，使得顶点A与点G重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（ ）
A．2B．3C．4D．4.5
10．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝；其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
11．如图所示的各组图形中，不相似的图形有 组．
12．直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为 ．
13．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是 ．
14．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的面积扩大为原来的 倍．
15．已知点G是边长为2的等边三角形ABC的重心，则G、A两点间的距离等于 ．
16．如果＝，那么＝ ．
17．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为6，那么它的边长是 ．
18．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC＝4，AO＝3，则四边形DEFG的周长为 ．
19．若＝＝＝k成立，则k的值为 ．
20．已知点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝4，则AC＝ ．
三．解答题
21．（1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是 图形；
（2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是 ； 用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是 ；
（3）下列各组图形中，肯定是相似图形的是 （只填序号）．
①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；⑤边长不等 的两个菱形．
22．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，中线BD和CE交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形；
（2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．
23．已知x：y＝：，y：z＝1.2：，求x：y：z．
24．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．
25．已知：＝＝，求的值．
26．在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE交于点O．
（1）如图1，若M、N分别是OB、OC的中点，求证：OB＝2OD；
（2）如图2，若BD⊥CE，AB＝8，BC＝6，求AC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由题意得，原多边形的图案与复印出来的多边形图案相似，相似比为1：2，
则面积比为1：4，
故这个复印出来的多边形图案的面积是原来的4倍，
故选：C．
2．解：A：形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求；
B：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故B选项符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：形状相同，符合相似形的定义，故D选项不符合要求；
故选：B．
3．解：A、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
B、两个正三角形，对应角都是60°，相等，对应边一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
C、两个矩形，对应角对应相等，对应边不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个梯形，对应角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误．
故选：B．
4．解：∵2x＝3y，
∴＝或＝或＝．
故选：C．
5．解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝11．
故选：D．
6．解：∵△ABC为等边三角形，G为三角形的重心，
∴AE＝BE，CE⊥AB，AG、BG、CG是△ABC的角平分线，
∴△CEA≌△CEB（SAS），△GEA≌△GEB（SAS），△CEA≌△CEB（SSS），△ABG≌△ACG≌△CBG（SAS），
故选：B．
7．解：A、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；
B、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；
C、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；
D、∵＝，∴cd+c+d＝ab+a+b，符合题意．
故选：D．
8．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，
故选：D．
9．解：∵将△ABC平移得到△GEF，
∴GE∥AB，GF∥AC，
∴∠GMN＝∠B，∠GNM＝∠C，
∴△GMN∽△ABC，
∴＝，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD，
∴＝，
∴△GMN的周长＝×（2+3+4）＝3．
故选：B．
10．解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，即，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，＝，
∴＝（）2＝，
故①正确，②错误，③正确；
设△DOE的面积为x，则△BOC的面积为4x，
∵DE∥BC，
∴，
∴＝，
∴△BOD的面积为2x，
∴△BCD的面积为6x，
∴AD＝BD，
∴S△ACD＝S△BCD＝6x，
∴＝＝，故④正确．
故选：C．
二．填空题
11．解：①形状不相同，大小不同，不符合相似定义，故不是相似图形；
②形状不相同，大小不同，不符合相似定义，故不是相似图形；
③形状不同，不符合相似定义，故不是相似图形；
所以不相似的图形有3组．
故答案为：3．
12．解：∵点O是△ABC的重心，OM＝2，
∴OA＝2OM＝4，
∴AM＝OA+OM＝6，
在Rt△CAB中，∠CAB＝90°，AM是△ABC的中线，
∴BC＝2AM＝2×6＝12，
故答案为：12．
13．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝6：2＝3：1，
故答案为：3：1；
14．解：把一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，得到的三角形与原三角形相似，且相似比为1：5，
∴面积比为1：25，
∴三角形的面积扩大为原来的25倍，
故答案为：25．
15．解：延长AG交BC于点D，
∵点G是△ABC的重心，
∴BD＝DC＝1，
∵△ABC为等边三角形，
∴AD⊥BC，
∴AD＝＝，
∵点G是△ABC的重心，
∴GA＝AD＝，
故答案为：．
16．解：∵＝，
∴＝，
1+＝，
＝，
∴＝．
故答案为：．
17．解：由比例中项的定义可得，“钻石菱形”的边长＝＝2．
故答案为：2．
18．解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED＝BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG＝BC，
∴ED＝FG＝BC＝2，
同理GD＝EF＝AO＝1.5，
∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2＝7．
故答案为：7．
19．解：当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得k＝＝1：
当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，则k＝＝﹣2．
故答案为：1或﹣2．
20．解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，
∴AC＝AB＝×4＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
三．解答题
21．解：（1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是相似图形；
（2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是全等；用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是相似；
（3）半径不等的两个圆、边长不等的两个正方形、周长不等的两个正六边形是相似图形，
故答案为：（1）相似；（2）全等；相似；（3）①②③．
22．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD和CE为△ABC的中线，
∴BE＝AB，CD＝AC，
而AB＝AC，
∴BE＝CD，
在△BEC和△CDB中
∴△BEC≌△CDB（SAS），
∴∠BCE＝∠DBC，
∴△OBC是等腰三角形；
（2）直线OA垂直平分线段BC的关系．
理由如下：
∵△OBC是等腰三角形，
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴点A和点O在线段BC的垂直平分线上，
即直线OA垂直平分线段BC的关系，
23．解：x：y＝：＝3：2＝9：6，
y：z＝1.2：＝3：1＝6：2，
∴x：y：z＝9：6：2．
24．解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵，，∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴，
同理，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：..
25．解：设＝＝＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
则＝＝．
26．（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线，
∴点D，点E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DEC∽△BCO，
∴＝＝，
∴OB＝2OD；
（2）解：∵AB＝8，BC＝6，点D，点E分别是AC，AB的中点，
∴BE＝4，DE＝3，
又∵BD⊥CE，
∴DE2＝DO2+EO2，BC2＝BO2+CO2，
BE2＝BO2+EO2，CD2＝DO2+CO2，
∴DE2+BC2＝BE2+CD2，
即32+62＝42+CD2，
解得CD＝，
∴AC＝2CD＝．