初中数学沪教版（五四制）（2024）九年级上册第二十四章 相似三角形第四节 平面向量的线性运算24.7 向量的线性运算精品习题

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一、实数与向量相乘
1. 实数与向量相乘的意义：
一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.
要点：
设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.
2．向量数乘的定义
一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）如果时，则：
①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；
（2）如果时，则：，的方向任意.
实数与向量相乘，叫做向量的数乘.
要点：
（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；
（2）实数与向量不能进行加减运算；
（4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；
（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.
3. 实数与向量的相乘的运算律：
设为实数，则：
（1）（结合律）；
（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；
（3） （向量的数乘对于向量加法的分配律）
二、平行向量定理
1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.
要点：
任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.
2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.
要点：
（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.
（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.
（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.
（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使.
（5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 .
三、向量的线性运算
1．向量的线性运算定义：
向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.
要点：
（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.
（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.
要点：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.
一组基底中，必不含有零向量．
(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.
(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解决平面几何问题：
（1）利用已知向量表示未知向量
用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：
①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算，研究几何元素的关系.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
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24.6实数与向量相乘
一、单选题
1．已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么或D．如果为单位向量，且，那么
【答案】C
【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可．
【解析】解：A、如果，那么，故本选正确；
B、如果，那么，故本选正确；
C、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误
D、如果为单位向量，且，那么，故本选正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键．
2．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到．
【解析】解：根据题意知，，，
则，，
则，观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
3．下列判断正确的是（ ）
A．如果||＝||，那么＝或＝﹣
B．若k＝0，则|k|＝0
C．0•＝0
D．n表示n个相乘
【答案】B
【分析】根据向量的模，实数与向量的简单计算，逐项分析判断即可．
【解析】A. 如果||＝||，则两个向量的模相等，并不能说明两个向量共线，则＝或＝﹣不一定正确，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若k＝0，则|k|＝0，故该选项正确，符合题意；
C. 0•＝，故该选项不正确，不符合题意；
D. n表示n个相加，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了向量的模，实数与向量的简单计算，理解向量的意义是解题的关键．
4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定的是（ ）
A．；B．；
C．，；D．，．
【答案】A
【分析】根据平面向量的判定方法判断即可．
【解析】A. ∵，不能判断，故本选项，符合题意
B. ∵，∴，故本选项，不符合题意；
C.∵，，∴，故本选项，不符合题意；
D.∵，，∴，故本选项，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的判定方法是解题的关键．
5．下列命题正确的个数是（ ）
①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量；
②如果，，那么的模是；
③如果，或，那么；
④如果，的方向与的方向相反．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解．
【解析】解：①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量，故①正确；
②如果，，那么的模是，故②正确；
③如果，或，那么，故③错误；
④如果，的方向与的方向相反，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键．
6．已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是( )
A．|B．
C．与方向相同D．
【答案】C
【分析】根据向量的相关概念逐项分析判断即可求解．
【解析】解：∵非零向量、，且有，
∴，， ，与方向相反，
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了向量的相关概念，掌握向量的相关概念是解题的关键．
7．已知，均为单位向量，那么下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案点评
【解析】解：∵没有指明，的方向，
∴A、B选项不正确，不符合题意；
∵，均为单位向量，
∴，故C选项不正确，不符合题意；
∴，故D选项不正确，不符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查向量数量的运算，涉及向量的基本性质，属于基础题．
8．下列命题中，错误的是（ ）
A．如果或，那么
B．如果、为实数，那么
C．如果（为实数），那么
D．如果，那么或
【答案】C
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解析】解：A、如果或，那么，故本选项正确，不符合题意；
B、如果、为实数，那么，故本选项正确，不符合题意；
C、如果（为实数），那么，故本选项错误，符合题意；
D、如果，那么或，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质，属于中考常考题型．
9．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解析】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项符合题意．
C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如果点、分别在的边上， , ，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，，进而可得，即可求解．
【解析】解：如图，
，
故选：D
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及平面向量知识点，掌握相似三角形的面积之比等于对应边比的平方是解题关键．
二、填空题
11．向量与－2的方向 ．
【答案】相反
【分析】根据负号代表方向相反解答．
【解析】与－2符号相反，因此放小相反，
故答案为：相反．
【点睛】本题考查向量的意义，要理解符号的含义．
12．已知向量与方向相反，长度为6，则
【答案】－6
【分析】根据平面向量的方向性即可得出结论．
【解析】∵向量与方向相反，长度为6，
∴，故填：6．
【点睛】本题考查向量的方向性和表示方法，较为简单．
13．单位向量有 个，不同单位向量是指它们的 不同．
【答案】 无数 方向
【分析】根据单位向量定义解答即可.
【解析】单位向量是单位为1 的向量，所以单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同.
【点睛】本题考查单位向量的定义，明确定义是解题的关键.
14．长度为的倍，且与是平行向量的向量是 ．
【答案】或/或
【分析】根据向量的方向相同或相反，即可求解．
【解析】解：长度为的倍，且与是平行向量的向量是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平面向量，注意要分类讨论：平行向量的方向有相同方向和相反方向两种情况．
15．是非零向量，设．
（1）当与同向时，有 ；
（2）当与反向时，有 ；
（3）当时，有 ．
【答案】
【分析】根据向量的定义及实数与向量相乘的意义进行解答即可.
【解析】（1）∵，且与同向，
∴；
（2）∵，且与反向，
∴；
（3）∵，
∴
又∵，为非零向量，
∴k=0.
【点睛】本题考查了向量的表示，明确向量由方向和大小共同确定，掌握实数与向量相乘的意义是解题关键..
16．如图，正方形的对角线、交于点，图中与相等的向量（除了）是 ．

【答案】
【分析】根据正方形的性质以及平面向量的定义分析即可求解．
【解析】解：∵正方形的对角线、交于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面向量的定义以及正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．如图，分别是的边延长线上的点，，，如果，那么向量 （用向量表示）．
【答案】
【分析】由，可得且相似比为1：2，故DE：BC=1：2，又因为和方向相同，故．
【解析】∵
∴，
∴
又∵
故和相似比为1：2
则DE：BC=1：2
故
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质和向量．两角分别相等的两个三角形相似．数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长．
18．如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）

【答案】
【分析】由，即可证得，又由，即可求得和，再运用向量的和差即可求得．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查向量的和差、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想的应用以及明确向量是有方向的是解题的关键．
三、解答题
19．计算： ；
；
．
【答案】
【分析】（1）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可；
（2）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可；
（3）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则，掌握运算定律是解决问题的关键．
20．若向量、、满足，求向量．（结果用、表示）．
【答案】
【分析】数乘向量满足结合律、分配律，计算求出即可．
【解析】解：
【点睛】本题考查了平面向量的计算，熟练掌握平面向量的计算法则是解决本题的关键.
21．如图，已知平行四边形ABCD，=，=．
（1）= ；（用，的式子表示）
（2）= ；（用，的式子表示）
（3）若AC⊥BD，||=4，||=6，则|+|= ．
【答案】（1）﹣+；（2）+；（3）2．
【分析】（1）（2）根据平面向量的加法法则计算即可解决问题；
（3）利用勾股定理计算即可；
【解析】解：（1）=﹣+；
（2）==+；
（3）∵AC⊥BD，||=4，||=6，
∴|+|=．
故答案为（1）﹣+；（2）+；（3）2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．平面向量的加法法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形加法法则，属于中考常考题型．
22．用向量方法证明“三角形中位线定理”，已知在中，、E分别是、的中点，求证：DE∥BC，且．
【答案】见解析
【分析】根据向量减法的三角形法则可知，再由D、E分别是AB、AC的中点可知，，，从而得到，即可证明结论.
【解析】证明：∵D、E分别是AB、AC的中点
∴，，
∵，
∴，
∴DE∥BC，且．
【点睛】本题考查向量的减法及运用向量证平行，掌握向量减法的三角形法则及实数与向量乘积的意义是解题的关键.
24.7向量的线性运算
一、单选题
1．点是线段的中点，则等于（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的加法计算法则解答．
【解析】解：点是线段的中点，
．
．
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面向量的知识，注意：平面向量是有方向的．
2．已知点是线段的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，因为点M是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．
【解析】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，，故本选项错误．
【点睛】本题考查了线段的中点定义，注意向量的方向及运算法则．
3．如图，梯形中，为对角线与的交点，那么下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的定义与运算法则即可判断各选项．
【解析】解：∵梯形中，，
∴，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是向量的线性运算，熟记运算法则是解本题的关键．
4．下列等式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性计算，逐一进行判断即可．
【解析】解：A.，原式错误；
B.，正确；
C.，正确；
D.，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查向量的线性计算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出，再根据即可得到结果．
【解析】解：如图所示：
∵
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力．
6．如图，已知，为三角形ABC的中线，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，则，则．
【解析】解：∵为的中线，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算是解题的关键．
7．下列向量的运算结果为零向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据向量加法运算规律，逐项检验，即可求得答案.
对A，；
对B，；
对C，；
对D，.
综上所述，只有C符合题意
故选：C.
本题解题关键是掌握向量加法运算规律，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8．已知在中，点D、E分别是的中点，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，利用三角形法则求解即可求得，又由在中，D、E分别是边的中点，可得是的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．
【解析】解：∵，，
∴，
∵在中，D、E分别是边的中点，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．
9．如图，平行四边形中，E是边的中点，联结，设，那么下列向量中，可表示为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC；然后利用三角形法则解答即可．
【解析】解：在平行四边形中，，．
∵，
∴．
∵E是边的中点，，
∴．
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，注意平面向量既有大小又有方向．
10．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c，则下列各式，其中正确的等式的个数为（ ）
①=c－b ②=a+b ③=－a+b ④++=0
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】画出图形，结合图形利用平面向量加减运算的几何意义进行解答即可．
【解析】
如图所示：D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点，且，，
，故①错误；
，故②正确；
，故③正确；
，故④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，关键是根据题意画出图形，然后结合已知条件及向量的线性运算解答即可．
二、填空题
11． ．
【答案】0
【分析】根据即可得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：0
【点睛】此题考查了向量，熟练掌握互为相反向量的和为0是解题的关键．
12．已知平行四边形中，若，，则 ．（用和表示）
【答案】
【分析】根据题意，作出图形，由向量减法运算的三角形法则即可得到答案．
【解析】解：如图所示：

根据向量减法运算的三角形法则可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的加法运算，熟练掌握向量运算法则是解决问题的关键．
13．如图，已知在中，点D是边AC上一点，且．设，，那么向量 ．（用的形式表示，其中x、y为实数）
【答案】
【分析】先求解，，再根据可得答案．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面向量的线性运算，熟练的掌握运算法则是解本题的关键．
14．如图，在平行四边形中，为对角线，E是边的中点，连接．如果设，，那么 （含的式子表示）．
【答案】
【分析】由，可得，由E是边的中点，可得，从而可得答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是向量的加减法运算，理解运算法则是解本题的关键．
15．已知点为的重心，，，那么 ．（用、表示）
【答案】
【分析】根据中线的性质得到，再利用重心的性质即可解答．
【解析】解：如图所示，
∵点是的中点，
∴，
∵点为的重心，
∴，
∵，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了中线的性质，重心的性质，重心的定义，掌握重心的性质是解题的关键．
16．如图，已知、分别是的边、上的点，且，联结，如果，，当时，那么 ．（用含、的式子表示）
【答案】
【分析】利用平行线分线段成比例定理，向量的计算解答即可．
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，向量的计算，熟练掌握定理，向量的计算是解题的关键．
17．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ．
【答案】
【分析】过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解．
【解析】解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H
四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形
，
若，
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．
18．如图，已知四边形中，点、、分别是对角线、和边的中点．如果设，，那么向量 （用向量、表示）．
【答案】
【分析】先证明分别是的中位线，从而得到，，则．
【解析】解：∵点、、分别是对角线、和边的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，向量的运算，证明分别是的中位线是解题的关键．
三、解答题
19．如图，已知、、，求作：

(1)；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平面向量的运算法则，三角形法则表示出来即可；
（2）根据平面向量的运算法则，三角形法则表示出来即可．
【解析】（1）解：表示如下：

（2）表示如下：

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，熟练掌平面向量的运算法则是解答本题的关键．
20．如图，已知两个不平行的向量、先化简，再求作：．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量
【答案】，见解析
【分析】去括号合并同类向量，再利用三角形法则画出图形即可．
【解析】解：．
如图，即为所求．
【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，解题的关键是掌握平面向量的加减混合运算，属于中考常考题型．
21．已知四边形是平行四边形，点在上．
(1)填空：________；________；
(2)求作：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，利用三角形法则求解即可．
（2）利用三角形法则求解即可．
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AC＝OB，AC//OB，∴，∴，，故答案为：，；
（2）解：连接AB．∵，∴即为所求．
【点睛】本题考查向量的运算，熟练运用三角形法则是解题的关键．
22．如图，点在平行四边形的对角线的延长线上．
(1)______；______．
(2)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可；
（2）延长到，使得，连接，即为所求．
（1）
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
故答案为：，；
（2）
如图，延长到，使得，连接，即为所求．
证明：连接AT，如图，
在平行四边形中有，，
即有，
∵DT=CD，
∴DT=AB，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量的和差，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，在中，点F为的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．
(1)求的值；
(2)如果，，用，表示和．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据重心是三角形三边中线的交点即可得到DE是△ABC的中位线，则，DE∥AB，即可证明△ABF∽△DEF，得到；
（2）先求出，再由，即可求出；由△ABF∽△DEF，得到，可以推出，则．
【解析】（1）解：∵F是三角形ABC的重心，
∴D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴△ABF∽△DEF，
∴；
（2）解：∵F是△ABC的重心，
∴D、E分别是BC、AC的中点，
∵，，
∴，
∴，
∵△ABF∽△DEF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，向量的线性运算等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
24．如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设．
(1)用向量、表示向量；
(2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质 且．且，根据三角形法则得出；
（2）作，，根据平行四边形法则，得出向量为向量分别在向量、方向上的分向量，即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴且．且
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，作,，根据平行四边形法则，
向量为向量分别在向量、方向上的分向量
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键．
25．如图，、是的边、上的中线，、相交于点，联结，设，．
(1)用、来表示 ， ， ．
(2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
【答案】(1)；；
(2)图见解析
【分析】（1）根据平面向量运算法则即可求出答案；
（2）根据平面向量的基本定理进行求解即可．
【解析】（1）解：，分别是边，上的中线，
是的重心，是的中位线，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：；；
（2）解：作图如下：为所求，
【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于中等题型．