数学必修第二册第8章 平面向量优质复习ppt课件

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知识点1： 向量的相关概念 1.向量的概念 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. 2.有向线段 (1)概念:具有①　方向    的线段叫做有向线段.以A为起点、B为终点的有向线 段记作②         ,线段AB的长度也叫做有向线段 的长度,记作③　| |    . (2)三要素:④　起点、方向、长度    . 3.零向量 长度为⑤　0    的向量叫做零向量,记作0. 4.单位向量 长度等于⑥　1    个单位长度的向量,叫做单位向量.
5.平行向量 方向相同或相反的⑦　非零    向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量. 规定:零向量与⑧　任意    向量平行. 6.相等向量 长度相等且方向⑨　相同    的向量叫做相等向量.
知识点2：向量的加法
知识点3：向量的表示 1.向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,⑩有向线段 的方向表示向量的方向. 2.向量可以用字母a,b,c,…表示.印刷用黑体a,书写用          .
知识点4：向量的有关性质　　1.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立. 2.在△ABC中, + + =0. 3.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=⑦    b+a    ,对于零向量与任意向量a,我们规定a+0=0+a=a. (2)结合律:a+(⑧    b+c    )=(a+b)+c.
知识点6：向量的数乘运算
知识点7：向量线性运算的常用结论　　(1)在△ABC 中,D是BC的中点,则 = ( + ); (2)O是△ABC的重心的充要条件是 + + =0; (3)与 同向的单位向量为 .
知识点8：向量的夹角 1.定义 已知两个①　非零    向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a, =b(如图所示),则②　∠AOB=θ    (0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.  2.平行与垂直 当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;当θ= 时,a⊥b.
知识点9：平面向量的数量积　　已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量③　|a||b|cs θ    叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=④　|a||b|cs θ    . 规定:零向量与任一向量的数量积为0.
知识点10：投影向量 1.如图,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,则称上述变换为向量a向向量b⑤　投影    , 叫做向量⑥    a    在向量⑦    b     上的投影向量.  2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向 量是⑧　|a|cs θ e    .
知识点11：向量数量积的性质 　　设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cs θ. (2)a⑨　⊥    b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=  . (4)|a·b|⑩    ≤    |a||b|.
知识点12：向量数量积的运算律　　对于向量a,b,c和实数λ,有 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=     a·(λb)    ; (3)(a+b)·c=     a·c+b·c    .
知识点13：平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个①　不共线    向量,那么对于这一平面内的任一 向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=②    λ1e1+λ2e2    .若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个③　基底    .
知识点14：平面向量的正交分解及坐标表示　　 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个①　互相垂直    的向量,叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i, j,取 {i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=②    xi+yj    .这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对③　(x,y)    叫做向量a的坐标,记作④    a=(x,y)    ,此式叫做向量a的坐标表示. (2)在直角坐标平面中,以原点O为起点作 =a,则点A的位置由向量a唯一确定.设 =xi+yj,则向量 的坐标(x,y)就是终点A的坐标. (3)向量i,j,0的坐标表示:i=⑤　(1,0)    ,j=⑥　(0,1)    ,0=⑦　(0,0)    .
知识点15：平面向量加、减、数乘运算的坐标表示
知识点16：平面向量共线的坐标表示　　 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,向量a,b共线的充要条件是     x1y2-x2y1=0    .
知识点17：向量的坐标表示的重要结论 1.中点向量坐标 若A(x1,y1),B(x2,y2),P为AB的中点,则 = = (O为平面内任一点). 2.三角形的重心向量坐标 △ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若△ABC的重心为G,则 = = (O为平面内任一点).
知识点18：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.平面向量数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=①    x1x2+y1y2    ,即两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔②    x1x2+y1y2=0    .
3.三个重要公式 (1)向量模的公式:设a=(x1,y1),则|a|=③         . (2)两点间的距离公式:若点A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=④   . (3)向量的夹角公式:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cs θ= =⑤         .
知识点19：重要结论 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|a·b|≤|a||b|⇔|x1x2+y1y2 |≤  . 2.设非零向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是± ,其中正、负号分别表示与a同向和反向. 3.设非零向量a=(x,y),则与a垂直的单位向量的坐标是± .
易错点1 对向量的相关概念、运算律理解不透致错1.关于向量a,b,下列命题中正确的是( )A.若|a|=|b|,则a=b B.若a=-b,则a∥bC.若|a|>|b|,则a>b D.若a∥b,b∥c,则a∥c
【答案】B 【解析】向量的模相等,向量不一定相等,故A错误;两个向量是相反向量,则两个向量平行,故B正确;向量不能比较大小,故C错误;当b=0时,若a∥b,b∥c,则a与c不一定平行,故D错误.故选B.
2.(2022上海嘉定第二中学期末)设a,b,c为任意非零向量,且相互不共线,则下列命题中是真命题的有( )(1)(a·b)·c-(c·a)·b=0; (2)|a|-|b|<|a-b|;(3)(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直; (4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C 【解析】因为(a·b)·c与c共线,(c·a)·b与b共线,而b,c不共线,所以(a·b)·c与(c·a)·b不共线,所以(a·b)·c-(c·a)·b≠0,(1)错误;a,b不共线,由向量的减法法则和三角形两边之差小于第三边,可得|a|-|b|<|a-b|,(2)正确;[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,(3)错误;(3a+2b)·(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9|a|2-4|b|2,(4)正确.故选C.易错警示 向量的数量积的运算不满足结合律.
易错点2　模的应用错误
易错点3　忽略数乘中的方向性
易错点4　不能区分点的坐标和向量的坐标表示
易错点5　转换向量关系失误