高中数学沪教版（2020）必修第二册1正切函数的图像精品课后作业题

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一、单选题
1．（2023下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．既非充分也非必要条件D．充要条件
【答案】C
【分析】利用特值法，结合充分必要条件的定义即可
【详解】由于满足，但推不出，故必要性不满足；
由于满足，但正切值不存在，所以充分性不满足；
所以是的既非充分也非必要条件
故选：C
2．（2023下·上海长宁·高一统考期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】逐个分析各个函数的周期和单调性即可
【详解】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误，
对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确，
对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误，
对于D，的最小正周期为，所以D错误，
故选：B
二、填空题
3．（2022下·上海奉贤·高一校考期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】利用整体代入法求得的定义域.
【详解】令，，可得，，
故函数的定义域为．
故答案为：
4．（2022下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ．
【答案】
【分析】利用正切函数的性质即得.
【详解】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期，
因为函数的最小正周期为，
所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是.
故答案为：.
5．（2022下·上海长宁·高一华东政法大学附属中学校考期中）函数，的最小正周期为，则实数 ．
【答案】/0.5
【分析】由周期公式求出的值.
【详解】由题可知，，
∴.
故答案为：.
6．（2022下·上海浦东新·高一校考期末）函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】直接根据正切函数的周期公式得答案.
【详解】函数的最小正周期为
故答案为：
7．（2023下·上海静安·高一校考期中）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据正切函数的定义域，列不等式求解，可得答案.
【详解】由于正切函数的定义域为，
故令，
解得，
即函数的定义域是，
故答案为：
8．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是 .（只填写正确说法的序号）
【答案】①③
【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断.
【详解】对于①，令，解得，
当时，，所以函数在区间上为严格增函数，①正确；
对于②，函数的最小正周期为，②错误；
对于③，令，解得，
所以函数图象的对称中心为，③正确.
故答案为：①③
三、解答题
9．（2023下·上海浦东新·高一统考期中）对于函数且.
(1)求函数的定义域D；
(2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期.
【答案】(1)
(2)π不是的周期，证明见解析
【分析】（1）根据解析式及正切函数的性质求定义域；
（2）只需判断、是否成立即可.
【详解】（1）由解析式知：且，故的定义域.
（2）由，故π不是的周期；
由，故2π是的一个周期；
一、单选题
1．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角；
B．若是角终边上一点，则；
C．若，则、的终边相同；
D．的解集为．
【答案】D
【分析】取特例可判断AC，根据三角函数的定义判断B，利用周期解出三角方程的解集判断D.
【详解】因为象限角不能比较大小，如是第二象限角，是第一象限角，故A错误；
因为是角终边上一点，所以，
所以，故B错误；
当时，满足，但、的终边不相同，故C错误；
当时，在一个周期上的解为，故在定义域上的解为，故D正确.
故选：D
2．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知，且，其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由已知及辅助角公式可得，进而确定，再由范围即可得答案.
【详解】由，则，
又，则，
综上，，故，则，各项中只有符合.
故选：B
3．（2023下·上海浦东新·高一统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（ ）
A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称
B．关于直线成轴对称，且以2π为周期
C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心
D．夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称
【答案】C
【分析】根据题设写出在一个周期内的解析式并画出该周期的图象，数形结合判断各项的正误即可.
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时；
当时，；
综上，在一个周期内的，
在一个周期内的图象如下：
由图知：以2π为周期，没有对称中心和对称轴，值域为.
故选：C
4．（2023下·上海松江·高一统考期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①；②函数在上有4049个零点，则以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【分析】根据已知条件得，求出，可得①为假命题；令，求出，解不等式可得②为真命题.从而可得答案.
【详解】依题意得，因为，所以，故①为假命题；
所以，
令，得，，得，，
由，得，，
所以整数的值有个，函数在上有4049个零点，故②为真命题.
故选：D
二、填空题
5．（2022下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解.
【详解】因为函数的单调递增区间为，，
且函数在上为严格减函数，
所以，解得，即 .
故答案为：.
6．（2022下·上海浦东新·高一校考期末）对于函数，其中，已知，则 .
【答案】
【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果.
【详解】
而
所以，故
故答案为：.
7．（2023下·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）数，的部分图像如下图，则 .

【答案】/
【分析】由图象求得函数的解析式，然后计算函数值．
【详解】由题意的最小正周期是，所以，
，而，所以，
，，所以，
．
故答案为：．
8．（2021下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用三角形的面积公式求出面积.
【详解】由，得或，因为，
所以或或，
所以函数与函数图像的交点为，，，所以的面积
故答案为：.
9．（2023下·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知， 且， 则的最大值为 .
【答案】
【分析】由，通过研究函数单调性可得，后设，则，其中，.
【详解】因，则.
因函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，故有：.
设，其中，则
，
当且仅当时取等号，则此时，得
又函数在时单调递减，在时单调递增，，
则，
此时.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x，y式子后，通过构造函数得到.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.
三、解答题
10．（2023下·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）（1）结合函数单调性的定义，证明函数在区间上为严格增函数；
（2）某国际标准足球场长105m，宽68m，球门AB宽7.32m．当足球运动员M沿边路带球突破时，距底线CA多远处射门，对球门所张的角最大？（精确到1米）
【答案】（1）证明见解析（2）34m
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）根据两角差的正切公式解得条件表示出张角的正切，然后根据基本不等式即得.
【详解】（1）设任意的且，
则，
因为且，
，，，
所以，即，
即对任意的，当时，都有，
故在区间上是严格增函数；
（2）设运动员在，球门为，
依题意，，
设，则，
则，
则
，
当且仅当米时等号成立，
所以距底线米处射球门，对球门所张的角最大.

11．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期末）已知函数，其中.
(1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心；
(2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围.
【答案】(1),,Z;
(2)
【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解；
（2）利用正切函数的单调性求出的范围.
【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为,
令,Z,解得，Z,
∴函数图象的对称中心为,Z.
（2）∵在闭区间上是严格增函数，
∴，
∴，且ω为正实数，解得