沪教版（2020）高中数学必修第二册第7章 《三角函数》（单元测试卷）（原卷+解析卷）

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第7章 三角函数（单元测试卷）一．填空题（共12小题）1．（2023春•徐汇区校级期中）已知，则取值集合为 　　．（答案用反正弦表示）【分析】先找到一个周期内的角，然后根据终边相同的角的表达式可得．【解答】解：，则，，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的特殊值问题，属于基础题．2．（2024春•宝山区校级月考）若函数，是奇函数，则　　．【分析】根据正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式，即可得解．【解答】解：因为是奇函数，所以，，又，，所以．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正余弦函数的奇偶性，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3．（2023秋•南岗区校级期中）函数的定义域为　，　．【分析】由条件利用正切函数的定义域可得，，由此求得的范围，即为所求．【解答】解：函数，，，求得，，故函数的定义域为，，故答案为：，．【点评】本题主要考查正切函数的定义域，属于基础题．4．（2023春•闵行区校级期中）定义在区间，上的函数与的图象的交点个数为 　16　．【分析】画出，时的图像，根据图像结合函数的奇偶性得到答案．【解答】解：由于，故为偶函数，因为也为偶函数，故考虑，的情况，画出图像，如图所示：共有8个交点，且时，没有交点，故共有16个交点．故答案为：16．【点评】本题主要考查正弦函数、余弦函数的图象，属于基础题．5．（2023春•虹口区校级期中）把函数图象上每一个点的横坐标变为原来2倍，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为 　　．【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式．【解答】解：将函数图象上每一个点的横坐标变为原来2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数图象的性质，属于基础题．6．（2023秋•嘉定区校级期中）已知的表达式为，的部分图像如图所示，则　　．【分析】先根据图像确定振幅，再由五点法求，从而得的解析式，最后再求．【解答】解：由图可知，又由“五点法“得，，，，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图像与性质，五点法求，属基础题．7．（2023春•松江区校级期中）秋．如皋市期末）已知函数，与函数的图象交于，两点，则　　．【分析】说明，关于点，对称，即可求出．【解答】解：由题意，函数，与函数的图象关于点，对称，，关于点，对称，，故答案为：．【点评】本题考查三角函数图象的对称性，考查向量知识的运用，确定，关于点，对称是关键，是基础题．8．（2023春•普陀区校级期中）函数，的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为 　　．【分析】直接利用函数的性质求出函数的解析式．【解答】解：函数，的振幅是2，最小正周期是，所以；；初始相位是，故解析式为．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（2023春•青浦区校级期中）函数在，上的严格减区间为 　，　．【分析】利用正弦函数的单调递减区间可得．【解答】解：，由，．得，，又，，，，故答案为：，．【点评】本题考查了正弦函数的单调性，属中档题．10．（2023春•普陀区校级期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则　，　．【分析】利用三角函数图象平移变换求出函数的解析式，利用函数是偶函数建立条件进行求解即可．【解答】解：将函数的图像向左平移个单位后得到函数，则，若函数是上的偶函数，则，得，，得，，故答案为：，．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换以及函数奇偶性的应用，根据平移关系求出函数的解析式，利用三角函数的奇偶性建立方程关系是解决本题的关键，是中档题．11．（2023春•松江区校级期中）函数，，的部分图像如图所示，则　　．【分析】由顶点坐标求出，由周期求出，由五点作图求出，可得结论．【解答】解：根据函数，的部分图像，可得，，．再根据五点法作图，可得，，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查由函数的部分图像求函数的解析式，由顶点坐标求出，由周期求出，由五点作图求出，属于中档题．12．（2023春•徐汇区校级期中）函数的图象如下，求它的解析式 　　．【分析】根据最高点可确定，利用周期，将代入即可求解．【解答】解：由图象最高点可知，由点和，可得周期，此时，将代入得，由于，所以取，故，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．二．选择题（共4小题）13．（2023春•虹口区校级期末）已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将　　A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度 B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度 C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍 D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍【分析】根据已知条件可知，，即可求得，再代入点的坐标，根据已知条件的来确定解析式，最后根据伸缩平移法则即可求得．【解答】解：依题意，，解得，故，则，而，故，而，故，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，再将横坐标伸长为原来的倍，得到．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．14．（2023春•宝山区校级月考）函数的部分图象如图所示，则，的值分别是　　A．2， B． C． D．【分析】根据周期求出的值，利用五点对应法求出的值即可．【解答】解：由图象知，，，即，则，得，则，由五点对应法得，得，得，的值分别是2，，故选：．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据周期求出的值，利用五点对应法求出的值是解决本题的关键，是基础题．15．（2024春•宝山区校级月考）函数（其中常数，的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图像　　A．关于点中心对称 B．关于点中心对称 C．关于直线轴对称 D．关于直线轴对称【分析】首先根据周期求，再根据函数的性质求，可求函数的解析式，然后根据三角函数的对称中心和对称轴的性质判断各项．【解答】解：由函数的最小正周期是以及可得，所以；图像向右平移个单位后，得到函数，所得图像关于原点中心对称可知，，又，解得，所以，当时，，故不关于点中心对称，不关于线轴对称，故、错；当时，，故不于中心对称，则关于直线轴对称，故错；对；故选：．【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题．16．（2023春•黄浦区校级期中）设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是　　A． B．的图像关于直线对称 C．在上单调递增 D．过点的直线与函数的图像有公共点【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而有，整理得，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【解答】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，所以，整理得，，，，，所以，错误；与函数在对称轴处取得最值矛盾，不正确；：令，，解得，，显然不包含区间，，不正确；由于的定义域，最大值，故，从而点的直线与函数的图像必有公共点，正确．故选：．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用，属于中档题．三．解答题（共5小题）17．（2023春•徐汇区期末）已知函数，，的图像的一部分如图所示．求函数的解析式．【分析】由题意，根据图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数，，的图像的一部分，可得，，．再根据五点法作图，可得，，故．【点评】本题主要考查根据函数的部分图象求函数的解析式，由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式，属于基础题．18．（2023春•徐汇区校级期中）函数，的最小正周期为，且在内的图像经过，，三点，求的表达式．【分析】根据，是一个周期内的两个相邻的零点，或不相邻两个零点分情况求得，进而求得和，即可得到函数的解析式．【解答】解：当，是一周期内的两个相邻的零点，则，，，，又，，，所以函数；当，是一周期内的两个不相邻的零点，则，，，又，，，所以函数．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．19．（2023春•闵行区校级期中）已知．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）求函数在区间上的取值范围．【分析】由三角恒等变换得，（1）根据三角函数的周期公式、单调递增区间求解即可；（2）由可得，，再结合正弦函数的图象及性质求值域即可．【解答】解：因为，（1），由，，可得，，所以的单调递增区间为：，，；（2）当时，，，所以，，所以，，所以在区间上的取值范围为：，．【点评】本题考查了三角恒等变换、正弦函数的图象，属于基础题．20．（2021春•闵行区校级期中）已知函数，其中，．（1）若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心；（2）若函数在，上严格递增，求的取值范围；（3）若函数在，，且满足：方程在，上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021，求的取值范围．【分析】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论．（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围．（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围．【解答】解：（1）由于，，，的最小正周期为，令，求得，，故的图象的对称中心为，，．（2）若函数在，上严格递增，则，求得，即的范围为．（3）方程在，上至少存在2021个根，故当，时，至少有2021个根，即，，至少有2021个根，即当，时， 至少有2021个根．且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021，故至少包含2020个周期，即，，．【点评】本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．21．（2023春•浦东新区校级期末）已知函数，，的图象如图所示．（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作．①求函数的最小值；②若函数在内恰有6个零点，求的值．【分析】（1）根据部分图象，找出函数的振幅，周期，确定，，再由图象上的定点代入求，进而可求单调递减区间；（2）①根据图象变换及三角恒等变换得到，直接得出最小值；②化简后的是复合函数，需将其中的看成整体，通过分类讨论得出符合条件的的范围．【解答】解：（1）由图可得，最小正周期，则，由，可得，，又，所以，所以，由，，可得，，所以的单调递减区间为，；（2）由题意得，①，所以的最小值为；②，令，可得，令，，得，由于△，故方程必有两个不同的实数根，，且，，由知、异号，不妨设，，若，则，，无解，在内有四个零点，不符题意；若，则，在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得；若，，在有4个零点，故在内应恰有2个零点，，此时，，，综上所述，或．【点评】本题考查三角函数的图象与性质以及函数零点的综合应用，属中档题．